专题05 空间几何体的表面积与体积八种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）

专题05 空间几何体的表面积与体积八种考法 一、知识清单 知识梳理 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 二、方法讲解 1.空间几何体的结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧 （1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． （2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可 2.空间几何体的表面积计算 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积． （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系． （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 注意：在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加． 3.空间几何体的体积计算 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 4.空间几何体的直观图问题 直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变． “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变． 斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系： 5.空间几何体中最短路径问题 求解空间几何体表面最短路径问题通常涉及以下步骤： （1）化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线； （2）考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径； （3）利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径． 6.截面问题 （1）作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 7.球的截面性质与计算 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面； ②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； ③球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为． 注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的． 8.与球有关的内接外切问题 外接球与内切球的解题思路 （1）求解几何体外接球的半径的思路 ①根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； ②将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． （2）解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。 三、重难点例题及变式 类型一、空间几何体的结构特征 例．下列说法正确的是（ ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 【变式训练1】下列命题正确的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【变式训练2】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 类型二、空间几何体的表面积计算 例．（1）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ） A．3 B． C． D．48   （2）若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ） A．72 B．82 C．92 D．112 类型三、空间几何体的体积计算 例．（1）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 . （2）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ） A．高为4 B．母线与底面所成角为 C．侧面积为 D．体积为 【变式训练2】以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________． 类型四、空间几何体的直观图问题 例．（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【变式训练1】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A． B．1 C．8 D． 【变式训练2】已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A． B． C． D． 类型五、空间几何体中最短路径问题 例．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【变式训练1】如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【变式训练2】如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ． 类型六、截面问题 例．已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱SC上且，过点且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数为 ，的面积为 ． 【变式训练1】在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【变式训练2】（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 类型七、球的截面性质与计算 例．用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ） A．13π B．52π C．20π D．36π 【变式训练1】（多选）已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ ） A．    B．   C．   D．   【变式训练2】已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 类型八、与球有关的内接外切问题 例．（1）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ） A B. 2 C. D. （2）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______. 四、限时冲刺练 1．下列命题中正确的是（ ） A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C. 空间三点确定一个平面； D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B．28 C． D．14 6.如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（ ）    A． B． C． D． 7.（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 8．（多选）如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（ ） A．过的圆锥的截面中，的面积最大 B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ） A．四面体的体积为定值 B．不存在动点M，P，使得 C．直线CM与平面所成角的范围是 D．若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为 10．设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为 ． 11.如图，在棱长为4的正方体中，已知是上靠近的四等分点，点分别在上，则周长的最小值为 . 12.如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 13.如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 14.如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 空间几何体的表面积与体积八种考法 一、知识清单 知识梳理 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 二、方法讲解 1.空间几何体的结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧 （1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． （2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可 2.空间几何体的表面积计算 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积． （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系． （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 注意：在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加． 3.空间几何体的体积计算 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 4.空间几何体的直观图问题 直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变． “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变． 斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系： 5.空间几何体中最短路径问题 求解空间几何体表面最短路径问题通常涉及以下步骤： （1）化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线； （2）考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径； （3）利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径． 6.截面问题 （1）作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 7.球的截面性质与计算 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面； ②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； ③球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为． 注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的． 8.与球有关的内接外切问题 外接球与内切球的解题思路 （1）求解几何体外接球的半径的思路 ①根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； ②将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． （2）解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。 三、重难点例题及变式 类型一、空间几何体的结构特征 例．下列说法正确的是（ ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 【答案】A 【解析】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确； 对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误； 对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误； 对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误. 故选：A. 【变式训练1】下列命题正确的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】D 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确. 故选：D 【变式训练2】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 【答案】BC 【解析】对于选项A，长方体为底面为长方形的直四棱柱，故A错误； 对于选项B，由棱柱的定义可知，上下底面全等且平行， 所以侧面都是平行四边形，故B正确； 对于选项C，根据正棱锥定义，底面为正多边形，侧棱都相等， 所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于选项D，若棱台为正棱台，则侧面都是等腰梯形，故D错误； 故选：BC 类型二、空间几何体的表面积计算 例．（1）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ） A．3 B． C． D．48 【答案】B 【解析】如图，作平面，，垂足分别为，连接. 由题可知，，所以， 所以表面积. 故选：B    （2）若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积. 故选：A. 【变式训练1】已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意圆台的上、下底面面积分别为和，高为， 可得，，所以， 故圆台的母线长为， 所以圆台的侧面积为． 故选：B． 【变式训练2】已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ） A．72 B．82 C．92 D．112 【答案】C 【解析】因为正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高， 所以一个侧面积， 棱台的上、下底面面积， 所以该棱台的表面积为. 故选:C． 类型三、空间几何体的体积计算 例．（1）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得，则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 故答案为： （2）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 【变式训练1】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ） A．高为4 B．母线与底面所成角为 C．侧面积为 D．体积为 【答案】ACD 【解析】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别，腰长， 对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高，A正确； 对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角，，B错误； 对于C，圆台的侧面积，C正确； 对于D，圆台的体积，D正确. 故选：ACD 【变式训练2】以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】根据题意，如图，以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥， 取底面中心，中点， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，则， 所以， 从而该多面体的体积为， 考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为. 故答案为：； 类型四、空间几何体的直观图问题 例．（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】CD 【解析】对于A，还原平面图如下图，则，，，故A错误； 对于B，如图过作交于点， 由等腰梯形且，又，， 可得是等腰直角三角形，即，故B错误； 对于C，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D，四边形的面积为：，即D正确． 故选：CD． 【变式训练1】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A． B．1 C．8 D． 【答案】B 【解析】由直观图还原平面图形可知，在中，，， , 所以 故选：B． 【变式训练2】已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C 类型五、空间几何体中最短路径问题 例．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【答案】/ 【解析】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 【变式训练1】如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，连接，如图所示： 由长方体结构特征，易得，由， ， 所以， 由， 故答案为： 【变式训练2】如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设是的中点，， 所以，则. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，平面， 所以， 由于，平面，所以平面， 又平面，所以， 则，易得. ，， ， 所以， 当三点共线，且是的中点，是与的交点， 此时取得最小值为，所以的最小值为. 故答案为： 类型六、截面问题 例．已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱SC上且，过点且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数为 ，的面积为 ． 【答案】 5 【解析】取中点且，平面，可知平面， 根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图为五边形. 因为，所以，则， 可得， 则，可得， 所以， 又因为与的夹角为与夹角，而与垂直， 易知且，，即为矩形，则， 可得， 故答案为：5； . 【变式训练1】在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 【变式训练2】（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【答案】BCD 【解析】因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 对于A，因为圆锥的体积为，故A错误； 对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为， 又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为， 当时，面积有最大值，最大值为，故C正确； 对于D，圆锥的侧面积为，故D正确. 故选：BCD. 类型七、球的截面性质与计算 例．用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ） A．13π B．52π C．20π D．36π 【答案】B 【解析】设平面截得截面圆的半径为，球半径为, 所以， 所以外接球的表面积为， 故选：B 【变式训练1】（多选）已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ ） A．    B．   C．   D．   【答案】BCD 【解析】在直三棱柱中，，， 显然四边形是正方形，的截面小圆圆心分别为， 线段中点即为直三棱柱的外接球的球心， 平面过球心，截球及内接直三棱柱得球的截面大圆及内接正方形，B是； 矩形所在平面过球心，截球及内接直三棱柱所得截面如选项D所示，D是； 过三条侧棱中点的平面过球心，截球及内接直三棱柱所得截面如选项C所示，C是； 过球心的截面截直三棱柱所得三角形不可能为球的截面大圆的内接等腰直角三角形，A不是. 故选：BCD    【变式训练2】已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的半径为，因为圆M的面积为，可得，解得， 设球O的半径为，由截面圆的性质， 可得，即，解得， 所以球的表面积为． 故选：C． 类型八、与球有关的内接外切问题 例．（1）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ） A B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为 ， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点， 如图，过球心作的垂线交于， 则， 又因为，所以， 又与相似，所以， 所以， 因为外接圆的半径为， 正三棱锥外接球的球心在上，设半径为， 所以，即， 解得. 故选：D. （2）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形， 如图，作，垂足为D，则球的半径，， 此时，，， 水面半径， 设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为， 所以饮料的体积为. 故选：C. 【变式训练1】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线， 因此，从而，故. 设圆台的体积为，球的体积为，则. 故选：B. 【变式训练2】已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______. 【答案】## 【解析】设外接球半径为，则，解得，故， 由于均在球面上，故， 由勾股定理得， 取的中点，连接，则⊥，⊥， ， 又，平面，故⊥平面， 其中，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 故， 故， 故三棱锥的体积为 故答案为： 四、限时冲刺练 1．下列命题中正确的是（ ） A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 【答案】B 【解析】对于A，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥， 若以斜边所在直线为旋转轴，得到的是同底的两个圆锥的组合体，故A错误. 对于B，根据棱柱的定义可知，棱柱的上下底面互相平行，故B正确， 对于C，如图，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可能不相交于一点， 所以有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，C错误， 对于D，如图，三棱锥中，，满足底面是等边三角形， 三个侧面，，都是等腰三角形， 但长不一定等于，即三条侧棱不一定全相等，故D错 故选：B. 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 3．下列说法正确的是（ ） A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C. 空间三点确定一个平面； D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】B 【解析】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误； 对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确； 对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误； 对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误； 故选：B. 4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误； 对于B，如图，设，，点是平面内一点， 过点作，垂足点，过点作，垂足为点， 因为，且，， 且，， 所以，.又， 则，.又，所以，故B正确； 对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误. 故选：B 5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B．28 C． D．14 【答案】B 【解析】设正四棱台的斜高为h，高为H， 表面积为，得， 则侧棱长为， 正四棱台上下底面对角线长为， 正四棱台的高， 正四棱台的体积. 故选：B 6.如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，    设球与母线切于点，（为球的半径）， 与全等，，同理 ， 圆台的内切球半径内切球的表面积. 故选：B. 7.（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【答案】BCD 【解析】因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 对于A，因为圆锥的体积为，故A错误； 对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为， 又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为， 当时，面积有最大值，最大值为，故C正确； 对于D，圆锥的侧面积为，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（ ） A．过的圆锥的截面中，的面积最大 B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】对于选项A：设点是底面圆上异于点的任意一点，则，.且. 当时，，此时的面积最大； 当时，若，则，此时的面积不是最大； 故选项A错误. 对于选项B：当时，，即. 圆锥侧面的展开图的圆心角为. 故选项B正确. 对于选项C：如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长. 当时，，即. 圆锥侧面的展开图的圆心角为， 此时的弦长为， 故选项C错误. 对于选项D：当时，，即. 当时，. 因为， 所以三棱锥的外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的表面积为. 故选项D正确. 故选：BD. 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ） A．四面体的体积为定值 B．不存在动点M，P，使得 C．直线CM与平面所成角的范围是 D．若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，,A正确， 对于B，连接相交于，当P是棱上的动点时， 过作交于，过作交于，连接, 由于,故, 由于，平面， 故平面,平面, 故,平面，平面， 故， 由于N，Q分别是棱的中点，所以， 所以，故B错误， 对于C，由于平面，平面，故， 又，平面， 故平面,故到平面的距离为， 又平面， 平面， 故平面， 因此到平面的距离与到平面的距离相等，即距离为， 由于, 设直线CM与平面为，则， 由于，故，C正确， 对于D， ，分别是棱，的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形， 某球能够被整体放入，该球的半径最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球， 正六边形的边长为，面积为， 正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为， 设该球的半径为，由体积法可得，解得， D正确． 故选：ACD 10．设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为 ． 【答案】 【解析】设球O半径为R，正三棱柱的底面边长为a，则R＝＝a，即a＝2R， 又正三棱柱的高为2R， 所以球O的体积与正三棱柱的体积的比值为＝＝ 故答案为： 11.如图，在棱长为4的正方体中，已知是上靠近的四等分点，点分别在上，则周长的最小值为 . 【答案】 【解析】将分别沿展开到与平面共面的位置，如图所示， 其中点为原来的点的周长， （当且仅当四点共线时取等号）. ， 又， ， ，即周长的最小值为. 故答案为：. 12.如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F， 交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以， ，， 则截面的周长为. 13.如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 【答案】(1)；(2)最小值为，且取最小值时. 【解析】（1）作点在平面内的射影，连接.    根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 所以. （2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知.    在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以 所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 14.如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 【答案】(1)截面见解析，；(2) 【解析】（1）连接并延长交于，连接交于，则四边形即为平面截正方体所得的截面. 由于平面平面，平面平面， 平面平面，故， 因为是的中点，则、分别为和的中点， 所以在中，且， 因为正方体的棱长为， 所以截面为梯形，且，，利用勾股定理得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则易得， 所以，梯形的面积为. （2）多面体为三棱台，，， 该棱台的高为，所以，该棱台的体积为：， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$