专题06 空间中的平行与垂直七种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）

专题06 空间中的平行与垂直七种考法 一、知识清单 知识梳理 点、直线、平面之间的位置关系 1、四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、平面与平面垂直 （1）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 3、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 二、方法讲解 1.平面的基本性质 平面基本事实及推论的概念辨析问题，要逐个讨论，正确地利用相关基本事实或推论进行论证，错误地要能举出反例 2. 平行，垂直有关命题的判断 平行问题的转化关系 垂直问题的转化关系 3.直线与平面平行的判定与性质定理的应用 应用线面平行的判定定理的关键点： 关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． 应用线面平行的性质定理的关键点： 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内,所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面． 4.直线与平面垂直的判定与性质定理的应用 证明线面垂直的方法： （1）线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直，符号表示为：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. （2）面面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直，符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. （3）性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. （4）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) （5）常见证明线线垂直的方法： 5.平面与平面平行的判定与性质定理的应用 （1）利用面面平行的定义． （2）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （3）利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． （4）利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． （5）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． （6）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行与另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线。 （7）提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件。 6.平面与平面垂直的判定与性质定理的应用 证明面面垂直的方法： 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。 7.平行与垂直中的动点探究 （1）立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么. ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么. （2）对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明. ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性. ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件. （3）对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设. 三、重难点例题及变式 类型一、平面的基本性质 例．下列命题正确的是（　　） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】D 【解析】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内， 故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误； 由空间四边形不是平面图形可知，C错误； 由公理知，两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确. 故选：D 【变式训练1】下列命题是真命题的是（　　） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【解析】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面； 当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 【变式训练2】（多选）在空间中，下列命题正确的是（　　） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 【答案】ABC 【解析】选项A：如果两个平面有一个交点，则个平面必有过该点的一条交线， 所以这两个平面有无数个公共点，故A正确； 选项B：若其中三点共线，则一条直线和直线外一点确定一个平面， 则四点共面，与四个点不共面矛盾，所以其中任意三点不公线，故B正确； 选项C：若点既在平面内，又在平面内， 则点是两个平面的公共点，是两个平面的交线， 根据公共点一定在交线上，所以一定在上，故C正确； 选项D：只有平面与底面平行时，得到的平面和底面间的几何体才是圆台，故D错误. 故选：ABC. 类型二、平行，垂直有关命题的判断 例．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 【变式训练1】设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】在A中，若，，则，可能相交或平行，故A错误： 在B中，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误： 在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确； 在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D错误. 故选：C. 【变式训练2】设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 类型三、直线与平面平行的判定与性质定理的应用 例．（1）如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，． ①证明：∥平面PAB． ②求三棱锥的体积． 【答案】①证明见解析；② 【解析】①如图，取PA的中点E，连接EB，EM， 因为ME是△PAD的中位线，则∥，且 又因为N是BC的中点，则∥，且， 可得∥，且， 可知四边形MEBN是平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB． ②在高为的四棱锥中，因为M为PD的中点， 可知三棱锥的高为， 且， 所以三棱锥的体积． （2）如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】①证明见解析；②证明见解析 【解析】① 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； ②易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 【变式训练1】如图，在多面体中，是四边形的外接圆的直径，是与的交点，，．四边形是直角梯形，，平面，．    (1)求证：平面； (2)求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：分别延长、交于点，如下图所示：    因为且，所以，，则， 故为的中点， 因为，，为四边形外接圆的直径， 所以，，且，故， 所以，，所以，，故为的中点， 所以，，即， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：因为、、、四点共圆，则， 由（1）可知，， 又因为，则，同理可得， 且， ， ， 因为平面，则， 因为，且四边形为直角梯形， 所以，， 因为平面，，则平面， 所以，， 因此，. 【变式训练2】如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是 ．    【答案】平行 【解析】连接交于，连结， 因为是平行四边形，所以为中点. 因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因为平面， 又过和作平面交平面于，即平面平面，且平面， 所以. 故答案为：平行.   类型四、直线与平面垂直的判定与性质定理的应用 例．（1）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】由题意可知，平面，又平面，所以， 又，所以， 又，面，所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，， 在中，，所以， 所以，即， 而，面， 故有平面. （2）已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图，取的中点，连结， 因为M是PD的中点， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC； （2）连结， 因为，N是BC的中点， 所以， 在中，，，， 所以， 由条件，所以， 又N是BC的中点，所以， 因为DN，平面PDN，， 所以平面PDN， 因为平面PDN，所以． 【变式训练1】如图，在直三棱柱中， ，，、分别为、的中点．求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，，则，所以，， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以，，同理， 在侧面内，则，又因为， 所以，四边形为正方形，故， 因为，、平面，因此，平面. 【变式训练2】如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面． (1)求证：； (2)当为的中点，时，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1） 因为平面，平面，平面平面， 所以， 又在直三棱柱中，， 所以． （2）因为为的中点，且由（1）问可知， 所以为的中点， 又，所以， 因为三棱柱是直棱柱， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以． 类型五、平面与平面平行的判定与性质定理的应用 例．已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 【变式训练1】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：. 【答案】证明见解析 【解析】连接，如图， ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 【变式训练2】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：设的中点为，连接， 为的中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形的中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 类型六、平面与平面垂直的判定与性质定理的应用 例．（1）如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（　　） A．∥平面 B． C． D．平面平面 【答案】C 【解析】对于选项A：在矩形中，∥，平面，平面， ∥平面，故选项A正确； 对于选项B：平面，平面，， 在矩形中，，，平面， 所以平面，而平面，，故选项B正确； 对于选项C：因为平面，而平面，所以， 所以，而， ， 在一般矩形中，与不垂直，所以，即，与不垂直，故选项C不正确； 对于选项D：平面，平面，所以平面平面，故选项D正确． 综述：只有选项C不正确． 故选：C. （2）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是的中点．    (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）连接，因为四边形是菱形，所以， 又因为，所以是正三角形， 因为为的中点，则， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面平面，所以， 又因为，，所以 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【变式训练1】（多选）在三棱锥中，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论：其中正确的是（　　） A．异面直线SA与BC所成的角为 B．直线平面 C．平面平面SAC D．点C到平面SAB的距离是 【答案】BCD 【解析】 对于A，B，依题意，， 而平面，则平面， 又平面，于是， 由，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以， 又因为，所以不垂直于平面， 所以异面直线SA与BC所成的角不可能为，故A错误，B正确； 对于C，由平面，平面，得平面平面，故C正确； 对于D，取中点，连接，由，得， 由平面，平面，得平面平面， 而平面平面平面，于是平面， 又，则，即点C到平面的距离是，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练2】如图，已知四边形是矩形，将矩形沿对角线把折起，使 移到点，且在平面上的射影恰好在上.    (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解 【解析】（1）证明：连接，由在平面上的射影在上， 可得平面，平面，所以， 又由为矩形，，且平面，， 所以平面，因为平面，所以. （2）证明：因为四边形为矩形，所以， 由（1）知，，且平面， 所以平面， 又由平面，所以平面平面.    类型七、平行与垂直中的动点探究 例．（1）在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1） 如图所示，连接交于N，连接， 由题意可知为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）存在点，使得平面，理由如下： 如图所示，作交直线于E点，过E作交于F， 过F作交于Q， 因为底面为平行四边形，所以C为的中点，则为中点， 又，即为的中点， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面，平面, 又，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 因为平面平面，所以两平面重合， 即平面平面， 因为平面，所以存在一点，使得平面， 且． （2）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面， 又平面，于是， 而平面，所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接， 于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则， 又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 【变式训练1】如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见详解；(3)存在， 【解析】（1）因为正四棱锥中，，， 则侧面的高， 所以正四棱锥的表面积． （2）设，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面， 所以平面. （3） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接． 由于，即．则， 且平面，平面，所以平面， 由（2）可知：平面， 因为，平面，可得平面平面， 且平面，所以平面. 【变式训练2】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 四、限时冲刺练 1．下列说法正确的是（ ） A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C. 空间三点确定一个平面； D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】B 【解析】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误； 对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确； 对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误； 对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误； 故选：B. 2．如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（　　） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【解析】因为，， 所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾， 所以与不平行， 又平面， 所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确. 故选：D 3．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误； 对于B，如图，设，，点是平面内一点， 过点作，垂足点，过点作，垂足为点， 因为，且，， 且，， 所以，.又， 则，.又，所以，故B正确； 对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误. 故选：B 5．已知在正方体中，，交于点，则（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【解析】连接，作出图形如图所示， 因为且，所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 同理可证，即可证明平面， 又，平面，所以平面平面， 故平面，故C正确； 对于A，因为，平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误； 对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误． 故选：C． 6.（多选）如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（　　） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【解析】, ,又平面⊥平面， 且平面平面，平面， 又面，， ，且平面， 平面，又平面， 平面平面, 故选：AD. 7.（多选）如图，在四棱锥中，PD⊥底面，且底面为正方形.，E，G，M，N分别是PA，PB，AB，CD的中点，过点E作EF⊥PB，垂足为F，则（　　） A． B．GN∥平面PAD C．PB⊥平面DEF D．平面GMN∥平面DEF 【答案】ABC 【解析】对于A，因为PD⊥底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别为的中点，所以∥，所以，所以A正确， 对于B，连接，因为分别为的中点，所以∥，， 因为分别为的中点，∥，，所以∥，， 所以∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以B正确，    对于C，因为，为的中点，所以， 因为PD⊥底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面，所以C正确， 对于D，因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 由选项B可知∥平面，因为，平面， 所以平面∥平面，因为平面平面， 所以平面与平面不可能平行，所以D错误， 故选：ABC 8．（多选）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（　　） A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 【答案】ABC 【解析】对于选项A，在正方体中，平面， 平面，所以，即， 四边形为正方形，则， 又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确. 对于选项B，在正方体中, 平面平面， 平面，所以平面ABCD，故B正确. 对于选项C，连接交于点，设三棱锥的高为， ，平面，平面， 所以点B到直线的距离即为，， 又因为平面，即平面，所以AO为三棱锥的高， 在中，，所以， （定值），故C正确. 对于选项D，设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点， 当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接， 在正方体，且，所以四边形为平行四边形， 所以，即为异面直线AE，BF所成的角， 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为. 当点与重合时，，此时点与点重合，，即， 即为即为异面直线AE，BF所成的角， 在中，，，， ，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为, 异面直线AE，BF所成的角不是定值,故D错误. 故选：ABC. 9．（多选）棱长为1的正方体中，分别是的中点.下列说法正确的是（　　） A．点在直线上运动时，三棱锥体积不变 B．点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C．平面平面 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】选项A：因为点在直线上运动时，的面积为矩形的面积的一半，到平面的距离不变， 又，所以三棱锥的体积不变，故A说法正确； 选项B，点在直线上运动时，由分别是的中点，可得，， 又，，平面，平面， 所以平面平面，又平面，始终与平面平行，故B说法正确； 选项C，因为在正方体中，，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故C说法正确； 选项D，， 利用等体积法知，故D说法错误，      故选：ABC 10．如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是 .（填序号）    ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， 【答案】①②③ 【解析】在棱长为1的正方体中，连接，，连，如图，    对于①，正方体的对角面是矩形，则， 而平面，平面，则有平面，同理平面， 又平面，于是平面平面， 当为直线与平面的交点时，有平面平面，①正确； 对于②，平面，平面，则，而， 平面，因此平面，平面， 则，同理，又平面， 于是平面，当为直线与平面的交点时，平面，②正确； 对于③，由于平面，平面，则，令，而， 则，当且仅当时取等号， 因此的面积，所以对任意点，的面积都不等于，③正确； 对于④，由于平面平面，则在平面上的正投影图形 的面积与在平面的正投影图形面积相等， 显然点在平面上的投影在线段，投影长为， 于是投影图形面积为， 点到平面的距离为，于是， 由，，解得，所以存在点，使得，④错误. 故答案为：①②③ 11.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______． 【答案】 【解析】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 12.如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点， 又分别为中点，则， 由平面，平面，则平面； （2）由分别为中点，则， 在正三棱柱中且，则， 所以，则， 由正三角形，为中点，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面 13.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】(1)证明见解析(2)点M为的中点 【解析】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点．    14.如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)存在， 【解析】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，如图所示， 因为是等边三角形，的中点为M， 所以, 因为， 所以， 在图②中，，平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH，且， 在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示， 因为， 所以， 又因为平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH， 又因为平面AMF， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面BDH， 所以存在点F满足题意，且； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间中的平行与垂直七种考法 一、知识清单 知识梳理 点、直线、平面之间的位置关系 1、四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、平面与平面垂直 （1）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 3、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 二、方法讲解 1.平面的基本性质 平面基本事实及推论的概念辨析问题，要逐个讨论，正确地利用相关基本事实或推论进行论证，错误地要能举出反例 2. 平行，垂直有关命题的判断 平行问题的转化关系 垂直问题的转化关系 3.直线与平面平行的判定与性质定理的应用 应用线面平行的判定定理的关键点： 关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． 应用线面平行的性质定理的关键点： 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内,所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面． 4.直线与平面垂直的判定与性质定理的应用 证明线面垂直的方法： （1）线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直，符号表示为：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. （2）面面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直，符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. （3）性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. （4）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) （5）常见证明线线垂直的方法： 5.平面与平面平行的判定与性质定理的应用 （1）利用面面平行的定义． （2）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （3）利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． （4）利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． （5）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． （6）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行与另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线。 （7）提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件。 6.平面与平面垂直的判定与性质定理的应用 证明面面垂直的方法： 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。 7.平行与垂直中的动点探究 （1）立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么. ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么. （2）对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明. ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性. ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件. （3）对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设. 三、重难点例题及变式 类型一、平面的基本性质 例．下列命题正确的是（　　） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【变式训练1】下列命题是真命题的是（　　） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【变式训练2】（多选）在空间中，下列命题正确的是（　　） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 类型二、平行，垂直有关命题的判断 例．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【变式训练1】设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练2】设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 类型三、直线与平面平行的判定与性质定理的应用 例．（1）如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，． ①证明：∥平面PAB． ②求三棱锥的体积． （2）如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式训练1】如图，在多面体中，是四边形的外接圆的直径，是与的交点，，．四边形是直角梯形，，平面，．    (1)求证：平面； (2)求多面体的体积． 【变式训练2】如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是 ．    类型四、直线与平面垂直的判定与性质定理的应用 例．（1）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面. （2）已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 【变式训练1】如图，在直三棱柱中， ，，、分别为、的中点．求证：平面. 【变式训练2】如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面． (1)求证：； (2)当为的中点，时，求证：． 类型五、平面与平面平行的判定与性质定理的应用 例．已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【变式训练1】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：. 【变式训练2】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 类型六、平面与平面垂直的判定与性质定理的应用 例．（1）如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（　　） A．∥平面 B． C． D．平面平面 （2）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是的中点．    (1)证明：； 【变式训练1】（多选）在三棱锥中，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论：其中正确的是（　　） A．异面直线SA与BC所成的角为 B．直线平面 C．平面平面SAC D．点C到平面SAB的距离是 【变式训练2】如图，已知四边形是矩形，将矩形沿对角线把折起，使 移到点，且在平面上的射影恰好在上.    (1)求证：； (2)求证：平面平面. 类型七、平行与垂直中的动点探究 例．（1）在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． （2）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【变式训练1】如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【变式训练2】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 四、限时冲刺练 1．下列说法正确的是（ ） A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C. 空间三点确定一个平面； D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（　　） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 3．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．已知在正方体中，，交于点，则（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D． 6.（多选）如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（　　） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 7.（多选）如图，在四棱锥中，PD⊥底面，且底面为正方形.，E，G，M，N分别是PA，PB，AB，CD的中点，过点E作EF⊥PB，垂足为F，则（　　） A． B．GN∥平面PAD C．PB⊥平面DEF D．平面GMN∥平面DEF 8．（多选）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（　　） A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 9．（多选）棱长为1的正方体中，分别是的中点.下列说法正确的是（　　） A．点在直线上运动时，三棱锥体积不变 B．点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C．平面平面 D．三棱锥的体积为 10．如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是 .（填序号）    ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， 11.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______． 12.如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： （1）平面； （2）平面． 13.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 14.如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$