专题04 复数七种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）

专题04 复数七种考法 1、 知识清单 知识梳理 1.复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 2.复数的四则运算 复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 3.复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、 方法讲解 1.复数的概念 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 2.复数的四则混合运算 解决复数四则运算问题的思路： （1）复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部．把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； （2）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，. （3）复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 3.复数的几何意义 复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 4.复数的相等与共轭复数 复数相等： 共轭复数：． 5.复数的模 6.与复数有关的最值问题 与复数模有关的最值问题 （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的 7.复数方程 复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式进行求解。 三、重难点例题及变式 类型一、复数的概念 例．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】A 【解析】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 【变式训练1】复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】复数，故复数的实部为. 故选：A. 【变式训练2】若为纯虚数（为虚数单位），则实数______． 【答案】2 【解析】因为，所以当时，为纯虚数． 故答案为：2 类型二、复数的四则混合运算 例．（1）已知为虚数单位，则（ ） A．5 B．-1 C．1 D．7 【答案】D 【解析】 . 故选：D.   （2）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 故选：D. 【变式训练1】已知i为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】由，得， 则. 故选：B 【变式训练2】（多选）下列各式的运算结果是实数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A项中，，故A正确； B项中，，故B错误； C项中，，故C正确； D项中，，故D错误. 故选：AC. 类型三、复数的几何意义 例．（1）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】,故复数对应的点为，位于第一象限， 故选：A （2）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练1】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B 【变式训练2】已知复数 是虚数单位． （1）若对应的点在实轴上，求实数的值； （2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由复数，可得， 因为复数对应的点在实轴上，可得，解得. （2）由，可得 因为复数在复平面上对应的点在第二象限，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 类型四、复数的相等与共轭复数 例．（1）若，则 . 【答案】1 【解析】因为， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：1. （2）复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】, 则复数的共轭复数为. 故选：A. 【变式训练1】若，则 . 【答案】1 【解析】因为， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：1. 【变式训练2】已知复数满足，则复数 . 【答案】 【解析】易知，所以. 故答案为： 类型五、复数的模 例．设为虚数单位，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】， 则. 故选：B. 【变式训练1】已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：C. 【变式训练2】（多选）已知复数，，，则下列说法正确的有（ ） A B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】由题意， 设 A项，， ， ∴,A正确； B项，当时，若两复数是虚数，不能比较大小，B错误； C项，， ， ， 当时， ，， ∴，任取，或，任取， 即至少有一个为0 ∴（其中至少有两项为0），C正确； D项，∵，∴， ∵，∴，即，D正确； 故选：ACD. 类型六、与复数有关的最值问题 例．若复数z满足，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】若复数z满足， 则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中， 所以的最小值为. 故选：B 【变式训练1】（多选）已知，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. 的最大值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：设，则， 又，所以，所以点为以为圆心，为半径的圆上的点 所以，表示点与点的距离， 因为， 所以，故C正确； 对于D：设所对应的向量为，所对应的向量为， 因为，则， 所以， 所以， 所以， 所以，即，故D错误. 故选：BC 【变式训练2】（多选）已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ） A. B. 若，则，中至少有个是 C. 满足点形成的图形的面积为 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】设复数， 对于A，，则 ， 所以， 而，故A错误； 对于B，若， 则，即，则或， 则或，则，中至少有个是，故B正确； 对于C，， 所以，所以点形成的图形面积为，故C错误； 对于D，因为，所以， 且， 所以 ，且 所以， 所以最小值为，故D正确. 故选：BD. 类型七、复数方程 例．已知是关于复数z的方程的一个根，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】将代入方程可得， 整理得，即， 可得，解得，所以. 故选：C 【变式训练1】 若复数是方程的一个根，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】方程，即，解得或， 若，则，所以的虚部为； 若，则，所以的虚部为； 综上可得的虚部为. 故答案为： 【变式训练2】已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为 【答案】4或 【解析】， 若，则方程的两根为实数，且，解得. 若，则方程的两根为虚数，该方程可化简为： ，故两根分别为，， 所以，故， 故答案为或 四、限时冲刺练 1．复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2．若 则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】， 故选：C. 3．若复数为纯虚数，则（ ） A. B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】因为为纯虚数， 所以且，则． 故选：B. 4．若，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知，， 所以. 故选：C 5．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以．令，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 6.（多选）已知、都是复数，下列选项正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则． 【答案】BD 【解析】A选项，设，，满足，但，A错误； B选项，若，设，， 故， 则 ， 又，故，B正确； C选项，设，，满足，不满足，C错误； D选项，设，， 则，， 因为，所以， 解得，或，故，D正确. 故选：BD 7.（多选）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 8．（多选）已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为4； B. ； C. ； D. 是的一个平方根 【答案】ABD 【解析】A选项，的虚部为4，A正确； B选项，，B正确； C选项，， ，故，C错误； D选项，，故是的一个平方根，D正确. 故选：ABD 9．（多选）下列有关复数的说法正确的是（ ） A. 若则 B. C. D. 若，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为时，所以A错误， 对于B，令，则， 所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C，设对应的向量分别为，则, ， 因为，所以，所以C正确， 对于D，令，则由，得 ，， 所以点在以为圆心，2为半径的圆上， 所以的最小值为，最大值为， 即的取值范围为，所以D正确， 故选：BCD 10．若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 【答案】5 【解析】由可得； 则可得，因此. 故答案为：5 11.若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 【答案】 【解析】因为，可得， 所以对应的点的坐标是. 故答案为：. 12.已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 【答案】 【解析】因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根， 所以也是该方程的一个根， 由韦达定理得，解得，所以. 故答案为：. 13.已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 14.已知复数（其中是虚数单位，）． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 若复数是纯虚数，则，所以. （2）由（1）得，， 因为是开口向上的抛物线，有最小值, 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 复数七种考法 1、 知识清单 知识梳理 1.复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 2.复数的四则运算 复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 3.复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、 方法讲解 1.复数的概念 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 2.复数的四则混合运算 解决复数四则运算问题的思路： （1）复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部．把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； （2）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，. （3）复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 3.复数的几何意义 复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 4.复数的相等与共轭复数 复数相等： 共轭复数：． 5.复数的模 6.与复数有关的最值问题 与复数模有关的最值问题 （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的 7.复数方程 复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式进行求解。 三、重难点例题及变式 类型一、复数的概念 例．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【变式训练1】复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】若为纯虚数（为虚数单位），则实数______． 类型二、复数的四则混合运算 例．（1）已知为虚数单位，则（ ） A．5 B．-1 C．1 D．7 （2）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知i为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【变式训练2】（多选）下列各式的运算结果是实数的是（ ） A． B． C． D． 类型三、复数的几何意义 例．（1）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 【变式训练1】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【变式训练2】已知复数 是虚数单位． （1）若对应的点在实轴上，求实数的值； （2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围． 类型四、复数的相等与共轭复数 例．（1）若，则 . （2）复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】若，则 . 【变式训练2】已知复数满足，则复数 . 类型五、复数的模 例．设为虚数单位，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【变式训练1】已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】（多选）已知复数，，，则下列说法正确的有（ ） A B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 类型六、与复数有关的最值问题 例．若复数z满足，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【变式训练1】（多选）已知，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. 的最大值为 D. 若，则 【变式训练2】（多选）已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ） A. B. 若，则，中至少有个是 C. 满足点形成的图形的面积为 D. 若，则的最小值为 类型七、复数方程 例．已知是关于复数z的方程的一个根，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】 若复数是方程的一个根，则的虚部为__________． 【变式训练2】已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为 四、限时冲刺练 1．复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．若 则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3．若复数为纯虚数，则（ ） A. B. －2 C. D. 4．若，则复数（ ） A. B. C. D. 5．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（多选）已知、都是复数，下列选项正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则． 7.（多选）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 8．（多选）已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为4； B. ； C. ； D. 是的一个平方根 9．（多选）下列有关复数的说法正确的是（ ） A. 若则 B. C. D. 若，则的取值范围为 10．若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 11.若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 12.已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 13.已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若，求m的值． 14.已知复数（其中是虚数单位，）． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$