精品解析：2025年山西省吕梁市石楼县中考二模数学试题

2024—2025学年九年级学业水平质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣9的相反数是【 】 A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 因此﹣9的相反数是9． 故选A． 2. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解： 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选： ． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则，熟记相关运算法则是解题的关键． 依次根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则进行计算即可得解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示， 故选：A． 5. 山西陶瓷文化源远流长，平定刻花瓷以其独特的雕刻技艺闻名遐迩．工匠们制作的一种传统陶罐，罐身圆润，颈部修长，罐口外敞，罐底平稳，是山西陶瓷艺术的精美体现．如图，这是该陶罐的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 左视图与俯视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解题关键是正确把握观察的角度． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：C． 6. “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，类似现在简谱中的1，2，3，4，5，也称作“五音”．现有一款叫作“一起听古音”的音乐小程序（如图），五个音所在的圆绕着圆 匀速运动．小明点击圆 时会随机发出其中一个音，小亮再点击圆 时会随机发出其中一个音，则小明和小亮两人点击圆 发出的音恰好相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两步概率问题，涉及列表法或列树状图求概率、简单概率公式等知识，先列表，根据表中信息得到全部等可能的结果及满足题意的结果，代入简单概率公式求解即可得到答案，熟练掌握列举法求两步概率问题是解决问题的关键． 【详解】解：列表如下： 亮 明 宫 商 角 徵 羽 宫 宫宫 宫商 宫角 宫徵 宫羽 商 商宫 商商 商角 商徵 商羽 角 角宫 角商 角角 角徵 角羽 徵 徵宫 徵商 徵角 徵徵 徵羽 羽 羽宫 羽商 羽角 羽徵 羽羽 由表可知，共有25种等可能的结果，其中发出的音恰好相同的结果有5种， 小明和小亮两人点击圆 发出的音恰好相同的概率为， 故选：C． 7. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2， 是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像， 与 交于点，．若点到 的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰 的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 8. 如图， 为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜 反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 故它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为：． 故选：D． 10. 如图， 为半圆的直径，为的中点，将半圆绕着点顺时针旋转90°，得到半圆，点 ，，的对应点分别为，，，半圆的直径与半圆交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 连接，由旋转的性质得，，从而得到， 根据是的中点，求得，进而求出，的度数，再根据扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】如图，连接， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加 个是解题的关键． 根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 故答案为： ． 13. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度 （单位：）与其总质量（单位：）呈反比例函数关系．当此教智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度；当其载重后的总质量时，它的最快移动速度 是______． 【答案】1.6 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， ， 当时， ． 故答案为：1.6． 14. 如图，在中，以 为直径的 交边 于点，交边 于点，连接 ．若为 的中点，，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．连接 ，根据 为 的直径，以及为 的中点，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 为 的直径， ∴，即， ∵为 的中点， ∴ 垂直平分 ， ∴， ∴， ∵四边形是 的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，在四边形 中，，，连接 ．若，，则 的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长到点 ，使得，连接．根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长到点 ，使得，连接． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法是解题关键． （1）先对绝对值、负整数指数幂、除法化简，再加减即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） ． （2）由①②，得：，解得：， 将代入①，得，解得：， ∴原方程组的解为． 17. 如图，， 平分，交于点C， 平分，交 于点D，连接.请判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】四边形 是菱形， 证明：∵， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】由平行线的性质和角平分线定义得出，证出 ，同理，则，再证四边形 是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 18. 近日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）登顶全球动画电影票房榜首，成功吸引了全球观众的目光，提升了中国文化的国际影响力．徐艺同学想了解自己所在省份《哪吒2》的票房情况，随机抽取了本省个县，调查了这个县的《哪吒2》票房，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所调查数据中，《哪吒2》票房的众数为_____百万元，中位数为_____百万元； （2）请计算这个县《哪吒2》票房的平均数； （3）若徐艺同学所在省份共有个县，请你估计这个县的《哪吒2》总票房． 【答案】（1）2，2 （2）这20个县《哪吒2》票房的平均数为2.5百万元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查求众数、平均数，中位数及利用平均数判断： （1）根据出现次数最多的是众数，最中间两数的平均数是中位数直接求解即可得到答案； （2）利用加权平均数公式直接求解即可得到答案； （3）利用平均数乘以县份个数求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 出现了次最多，故众数为2， ∵，， ∴中位数落在2上， 故答案为：2，2； 【小问2详解】 解：（百万元）， 这个县《哪吒2》票房的平均数为百万元； 【小问3详解】 解：（百万元）（亿元）， 估计这个县的《哪吒2》总票房为2亿元． 19. 电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 【答案】200千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系列出分式方程是解题的关键； 设电动垂直起降飞行器的速度为 千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟，列出分式方程，解方程并检验即可解答． 【详解】解：设电动垂直起降飞行器的速度为 千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：电动垂直起降飞行器的速度为200千米/时． 20. 鹳雀楼（如图1）是我国古代四大名楼之一，位于山西省永济市，因常有鹳雀栖息其上而得名，更因王之涣的《登鹳雀楼》一诗而声名远扬．某数学活动小组到鹳雀楼景区测量鹳雀楼的高度．如图2，他们选取的测量点与鹳雀楼底部在同一条水平线上，鹳雀楼台基到地面的高度为米，在处测得台基的仰角为，楼的顶部 的仰角为．根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出鹳雀楼 的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，） 【答案】74米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 根据题意得出米．，．再由正切函数得出，继续利用正切函数求解即可． 【详解】解：由题意，得米．，． 在中，， ∴（米）． 在中，， ∴（米）． 答：鹳雀楼 的高度约为74米． 21. 阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 关于黄金分割 如图1，是线段 上的一点，且，即，我们把点叫作线段 的黄金分割点．利用一元二次方程的知识，可得，我们把叫作黄金比．另外，除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形．如图2，在中，，，平分交 于点，我们把这样的叫作黄金三角形．易知也是黄金三角形（结论一），是黄金比（结论二）． 下面我们推导这两个结论： 证明：∵，，∴． …… 任务： （1）补全材料中的证明过程． （2）如图3， 是正十边形的外接圆， 是正十边形的一条边，请用尺规在图3中作的平分线，交于点 ．若，求 的长．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是黄金三角形． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点是线段 的黄金分割点， ∴，即是黄金比． （2） 如图，即为所求． 2 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，黄金分割，正确理解题意是解题的关键。 （1）由等边等对角和三角形内角和定理得到，由角平分线的定义可得，则可证明得到，再证明得到，得到，则可证明是黄金三角形；证明，得到，，则可得到，则点是线段 的黄金分割点，进而得到，即是黄金比． （2）先根据角平分线的尺规作图方法作图；可得，，则是黄金三角形．根据（1）可得 是线段的黄金分割点，则，则，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是黄金三角形． ∵平分， ∴ 是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践 【问题情境】如图1，小明与小刚在进行篮球的传球训练，小明在点 处，小刚在点 处，两人相距6米，小明给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．小明投出篮球时，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小明的水平距离为，离地的高度为，函数图象如图2所示，其中抛物线上点的坐标为，顶点 的坐标为．（水平距离 水平速度×时间） 【问题解决】 （1）求图2中抛物线的函数表达式． 【问题探究】 （2）小刚在小明传球的瞬间就做出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地面的高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功． ①若小刚选择面对篮球后退，且小刚面对篮球后退过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米，请问小刚能否接球成功？请判断，并说明理由． ②若小刚侧对篮球向正前方前进并接球成功，且小刚侧对篮球向正前方前进过程中的速度为米/秒，请直接写出小刚侧对篮球时的最小接球高度． 【答案】（1）； （2）①不能接球成功．理由如下： 设秒时，篮球位于小刚的正上方， ∴篮球飞行的水平距离为， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴小刚选择面对篮球后退不能接球成功； ②米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①设秒时，篮球位于小刚的正上方，则篮球飞行的水平距离为，解得，当时，，即可得出答案； ②设秒时，篮球位于小刚的正上方，根据题意得，解得，当时，，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①略 ②设秒时，篮球位于小刚的正上方， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴小刚侧对篮球时的最小接球高度为米． 23. 综合与探究 【问题情境】在中，分别以 和 为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边 的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是 ， ，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 【答案】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵是 的中点， ∴， ∴和都是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①，． 理由如下： 过点作，过点作，垂足分别是 ， ，连接，，如图1所示： ∴ ， 分别是 ， 的中点， ∴，． 由（1）得四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②2 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质得到，，进而由三角形中位线的判定与性质得到，，最后由平行四边形的判定即可得证； （2）过点作，过点作，垂足分别是 ， ，连接，，如图1所示，由（1）的证明过程得到得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得到相关边与角度关系，再结合三角形全等的判定与性质得到，，再结合平行线性质，数形结合表示出角度关系得到得证； （3）延长到点，使得，连接 ，，，如图2所示，由①的证明过程得到，由全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质得到，，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②延长到点，使得，连接 ，，，如图2所示： 由①，可得， ∴． ∵是 的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线性质、等腰直角三角形判定与性质等知识．熟练掌握相关几何性质、数形结合构造辅助线求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年九年级学业水平质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣9的相反数是【 】 A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣ 2. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 山西陶瓷文化源远流长，平定刻花瓷以其独特的雕刻技艺闻名遐迩．工匠们制作的一种传统陶罐，罐身圆润，颈部修长，罐口外敞，罐底平稳，是山西陶瓷艺术的精美体现．如图，这是该陶罐的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 左视图与俯视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 三种视图都相同 6. “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，类似现在简谱中的1，2，3，4，5，也称作“五音”．现有一款叫作“一起听古音”的音乐小程序（如图），五个音所在的圆绕着圆匀速运动．小明点击圆时会随机发出其中一个音，小亮再点击圆时会随机发出其中一个音，则小明和小亮两人点击圆发出的音恰好相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2， 是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像， 与 交于点，．若点到 的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰 的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜 反射后，从光线变成光线 ，再经过水面折射，从光线 变成光线．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度 （单位：）与生长月数之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 为半圆的直径， 为的中点，将半圆绕着点 顺时针旋转90°，得到半圆，点，，的对应点分别为，，，半圆的直径与半圆交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____ 12. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 13. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度（单位：）与其总质量 （单位：）呈反比例函数关系．当此教智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度；当其载重后的总质量时，它的最快移动速度是______． 14. 如图，在 中，以 为直径的交边 于点，交边 于点，连接 ．若为 的中点，，则的度数为______． 15. 如图，在四边形 中，，，连接 ．若，，则 的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组： 17. 如图，， 平分，交于点C， 平分，交 于点D，连接.请判断四边形 的形状，并说明理由． 18. 近日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）登顶全球动画电影票房榜首，成功吸引了全球观众的目光，提升了中国文化的国际影响力．徐艺同学想了解自己所在省份《哪吒2》的票房情况，随机抽取了本省个县，调查了这个县的《哪吒2》票房，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所调查数据中，《哪吒2》票房的众数为_____百万元，中位数为_____百万元； （2）请计算这个县《哪吒2》票房的平均数； （3）若徐艺同学所在省份共有个县，请你估计这个县的《哪吒2》总票房． 19. 电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 20. 鹳雀楼（如图1）是我国古代四大名楼之一，位于山西省永济市，因常有鹳雀栖息其上而得名，更因王之涣的《登鹳雀楼》一诗而声名远扬．某数学活动小组到鹳雀楼景区测量鹳雀楼的高度．如图2，他们选取的测量点与鹳雀楼底部 在同一条水平线上，鹳雀楼台基到地面的高度为米，在处测得台基的仰角为，楼的顶部的仰角为．根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出鹳雀楼 的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，） 21. 阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 关于黄金分割 如图1， 是线段 上的一点，且，即，我们把点 叫作线段 的黄金分割点．利用一元二次方程的知识，可得，我们把叫作黄金比．另外，除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形．如图2，在 中，，，平分交 于点，我们把这样的 叫作黄金三角形．易知也是黄金三角形（结论一），是黄金比（结论二）． 下面我们推导这两个结论： 证明：∵，，∴． …… 任务： （1）补全材料中的证明过程． （2）如图3，是正十边形的外接圆， 是正十边形的一条边，请用尺规在图3中作的平分线 ，交于点．若，求 的长．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 【问题情境】如图1，小明与小刚在进行篮球的传球训练，小明在点处，小刚在点处，两人相距6米，小明给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．小明投出篮球时，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小明的水平距离为，离地的高度为，函数图象如图2所示，其中抛物线上点的坐标为，顶点的坐标为．（水平距离水平速度×时间） 【问题解决】 （1）求图2中抛物线的函数表达式． 【问题探究】 （2）小刚在小明传球的瞬间就做出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地面的高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功． ①若小刚选择面对篮球后退，且小刚面对篮球后退过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米，请问小刚能否接球成功？请判断，并说明理由． ②若小刚侧对篮球向正前方前进并接球成功，且小刚侧对篮球向正前方前进过程中的速度为米/秒，请直接写出小刚侧对篮球时的最小接球高度． 23. 综合与探究 【问题情境】在 中，分别以 和 为边向外作等腰直角 和等腰直角 ，其中，，，是边 的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接 ， ． ①试判断线段 与 的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和 的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $