2025届宁夏六盘山高级中学高三下学期第五次模拟考试数学试题

宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第二学期高三第五次模拟考试试卷答案 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：瞿 军 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B B D B A 1解：由题意，满足的子集是，，，故选． 2解：由题意可知，指数越小，空气质量越好，所以A错，B错；前半月的数据分散，方差大，所以C正确,前半月的平均数大于后半月，所以D错，故选C . 3.解：因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为：， 所以．故故选D . 4.解：，，，． ，，，故选B. 5.解：因为与的夹角为锐角，所以，解得， 与的夹角不能为0，所以有 ，所以，因此的取值范围是 故选：B 6.解：由面面平行的判定可知，只有，为相交时，，，，才能够得到，故不正确； 如果，，则或者，故不正确； ，或，异面，则不正确． ，，则D正确；故选D. 7.解：由，得，所以 由，得，所以；由，得，所以． 故选B． 8.解：连接，，，，设和直线相交于点，因为，B，，四点共圆，结合图象的对称性，所以四边形B是矩形，是正三角形， 点B到直线的距离为，E x 1 A B C D y O ，解得，故选 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD BD BCD 9.解：令，可得，即，故A正确； 令1，可得 ①，故B正确； 令1，可得 ②， ①②，得；①②，得，故C错误； 将两边求导，可得 ，令，可得， 所以，D正确，故选ABD． 10.解：因为在后侧面的射影为，而不垂直，所以根据三垂线定理可知与不垂直，所以错误； 易知，且，•F A D1 C1 B1 A1 B C D •E 所以可得平面平面，所以正确； 对于选项C，因为三棱锥的体积为 ，所以错误； 根据分割补形法可知四面体的外接球直径即为棱长为的正方体的体对角线长，所以，所以四面体的外接球的表面积为，所以正确．故选． 11.解：对于A，因为，所以在上单调递增，所以不是“自公切线函数”，所以错误； 对于，因为，当时，，， 则在点处的切线方程为，即， 所以是“自公切线函数”，所以正确； 对于，当时，，则， 当时，，则，所以，， 所以曲线在点和点处的切线方程均为， 即曲线的“自公切线”方程为，所以正确； 对于，因为，所以， 则，所以为上的偶函数， 令，则，当时，，当时，， 所以即在上单调递减，在上单调递增， 所以必存在，，且，使得，且， 不妨设两切点分别为， 因为，显然为奇函数，所以为偶函数， 又，所以切线的斜率， 又，，所以， 整理得，解得或，取，， 所以曲线的“自公切线”方程为，所以选项正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 1; 13. 4 ; 14. 4 . 12.解：因为复数为纯虚数. 13.解：原式 ，故答案为． 14.解：设直线的方程为，，，联立，可得， 所以，所以，又，，所以， 因为直线，的斜率之积为，所以，所以，解得， 所以直线的方程为，即为，所以点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，所以点到直线的最大距离为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.本小题满分分 解：设等差数列的公差为，，4，(2分) ，，解得，(3分) 数列的通项公式，(5分) 设等比数列的公比为，，，，，(6分) 数列的通项公式，；(8分) 由可知， ①(9分) 2 ②(10分) ①②得，，(12分) 解得． (13分)A B C D • E A B C P • E 16.本小题满分分 证明：连接，因为是菱形，为的中点， 所以，，(2分)  又因为，，所以， 由已知，所以， 所以，(4分)  而，、平面，所以平面；(6分)  解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， ，，(8分)  设为平面的一个法向量， 则，即(9分)  可取，(10分)  平面的法向量，(11分)  设二面角的大小为，由图可知二面角是锐二面角，所以.(12分)  所以， (14分)  所以二面角的余弦值为． (15分)  17.本小题满分分 解：Ⅰ若，则的导数为，(1分) 可得曲线在处的切线斜率为， (2分) 又因为，所以切点为，(3分) 可得曲线在处的切线方程为， 即为； (4分) Ⅱ函数的导数为， (5分) 当时，，在递增； (6分) 当时，令，解得，(7分) 由，可得；由，可得 (8分) 综上可得，当时，有增区间；  当时，的增区间为，减区间为； (9分) Ⅲ若对任意，都有成立，  即有，即为的最小值， (10分) 令，， (11分) 当时，，递增；(12分) 当时，，递减． (13分) 可得在处取得极小值，且为最小值 可得 (14分) 则实数的取值范围为 (15分) 18.本小题满分分 解：由题意 (2分) 得．(4分) 由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，(5分) 故由题意可知，零件是批量生产，容量较大，随机抽取零件服二项分布，即 (6分) 故， ， (7分) ， ， (8分) 故的分布列为 的数学期望为； (9分) 设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”，则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， (10分) 由题意，， (11分) 则 (12分) ， (14分) ， (16分) 故从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率为． (17分) 19.本小题满分分 解：Ⅰ依题意，设椭圆方程为，(1分)，则依题意有，(2分) 解得，(3分)，所以椭圆的方程为．(4分) Ⅱ由题意知，直线，的斜率均存在且不为，设的方程为，(5分) 设，，，，，， 联立，消去得，(6分) 所以，所以，， 同理可得：，，(7分) 因为，，三点共线，当轴时，则，所以； 当与轴不垂直时，因为，(8分) 所以，(9分) 所以．综上所述，．(10分) 证明：因为，所以，(11分) 由，得：，且，(13分) 所以，(15分) 所以 ， 所以．(17分). 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学五模试卷第 1页，共 2页 宁夏六盘山高级中学 2024-2025 学年第二学期高三第五次模拟考试试卷 学科：数学 测试时间：120 分钟 满分：150 分 命题教师：瞿 军 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡 条形码区域内。 2．选择题答案用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写， 字体工整，笔迹清楚。 3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合M 满足  1 2M  ， ，则集合M 的个数是( )个 A.4 B.3 C.2 D.1 2.空气质量指数 AQI是一种反映和评价空气质量的方法， AQI 指数与空气质量对应如下表所示： AQI 0 50 51 100 101 150 151 200 201 300 100以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市 2023年 12 月全月的 AQI 指数变化统计图．根据统计图判断，下列 结论正确的是( ) A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差 B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 C. 从 AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D. 从 AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 3.直线 1y x  与圆  22 1 4x y   相交于 A， B两点，则 AB ( ) A.1 B. 2 C.2 D. 2 2 4.已知 ABC 的三个内角 ， ，A B C所对的边分别为 ， ，a b c，且 3a ， 30B ， 3 ABCS ，则 b ( ) A. 3 B. 7 C.2 3 D. 2 7 5.已知平面向量  1 2a  ， ，  2b x  ， ， a与  b 的夹角为锐角，则 x的取值范围是( ) A.  1 ， B.( )1 4，- È  4 ， C.  1 ， D.( )1 4， È  4 ， 6.已知 ，m n为两条不同的直线， ，  为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. ， ， ，m n m n          B. ，m n n m   C. ，m n m n   D. ，n n    7.已知函数 ( ) xf x e x= + ， ( )g x ln x x= + ， ( ) 1h x ln x= - 的零点依次为 ， ，a b c，则( ) A.  c b a B.  a b c C.  c a b D.  b a c 8.已知函数 3 sin( ) 1( 0)   y x   的部分图象如图所示，若 ， ， ，A B C D四点在同一个圆上，则 = ( ) A. 2  B. 2 C. D.4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9.设( )5 2 3 4 50 1 2 3 4 52x a a x a x a x a x a x- = + + + + + ，则( ) A. 0= 32a - B. 0 1 2 3 4 5= 1a a a a a a+ + + + + - C. 0 2 4 1 3 5=a a a a a a+ + + + D. 0 1 2 3 4 52 3 4 5 = 27a a a a a a+ + + + + - 10.如图，已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 E， F 分别为 1 1,BB DD 的中点， 则（ ） A． 1AC CF B．平面 1 1EAC  平面 FAC C．三棱锥 1C EC F 的体积为 4 3 D．四面体 EACF的外接球的表面积为 12π x 1 A B C D y O 数学五模试卷第 2页，共 2页 11.若函数  f x 在其图象上两个不同点 ，A B处的切线完全重合，则称直线 AB为曲线  y f x 的“自公切 线”，  f x 为“自公切线函数”，则（ ） A．函数   2 exf x x  是“自公切线函数” B．函数   cosf x x x  是“自公切线函数” C．曲线   2 2 | |f x x x   的“自公切线”方程为 y=1 D．曲线   3 16f x x x   的“自公切线”方程为 8y x 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分 12.已知复数 2(1 ) ( 1) ( )    z a a i i R 为纯虚数，则 a . 13. 1 3 sin10 cos10    . 14.已知抛物线 2: 8 ,C y x O 为坐标原点，直线 l与抛物线C相交于 ,A B两点，且直线 ,OA OB的斜率之积为 2 ，则点O到直线 l的最大距离为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知 na 是等差数列，其前 n项和为 nS ， nb 是等比数列，且 2 1 2 a b ， 7 28S ， 4 16b ． （1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （2）求数列 n na b 的前 n项和 nT ． 16.已知 ABCD是菱形， 3 2 ，AB AC ， E为 AC的中点，将DAC沿 AC折起，使点D与点 P重合，且 4PB ． （1）证明： PE 平面 ABC； （2）求二面角  B PA C的余弦值． 17.已知函数   ln ( )  f x ax x a R ． （1）若 =2a ，求曲线  y f x 在 1x 处的切线方程； （2）求  f x 的单调区间； （3）若对任意  0 + ，x ，都有   2f x 成立，求实数 a的取值范围． 18.某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机 抽查了 100个零件的直径进行了统计如下： 零件直径 (单位：厘米)  1.0 1.2，  1.2 1.4，  1.4 1.6，  1.6 1.8，  1.8 2.0， 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布 21.5 0.228     ，N ，据此估计这批零件直径在区间  1.044 1.5， 内的 概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取 4个，记直径在区间  1.2 1.4， 内的零件个数为，求的 分布列和数学期望； （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2倍，且甲 机器生产的零件的次品率为 0.3，乙机器生产的零件的次品率为 0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若 检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率． 参考数据：若随机变量 2      ，N   ，则 ( ) 0.6827    P      ， ( 2 2 ) 0.9545    P      ， ( 3 3 ) 0.9973    P      ． 19.已知椭圆 E的中心为坐标原点，焦点在 x轴上，离心率为 2 2 ，点 2(1 ) 2 ，- 在椭圆 E上． （1）求E的方程； （2）过点 1( 0) 2 ，nT 且斜率存在的两条直线 1l ， 2l 互相垂直，直线 1l 交 E于 ，A B两点，直线 2l 交E于 ，C D两 点， ，M N分别为弦 AB和CD的中点，直线MN交 x轴于点 ( 0)，nQ q ，其中 *n NÎ ． ①求 nq ； ②设椭圆�的上顶点为P，记PTQ的面积为 nS ，令 2 2 1 1ln(9 ) 1   ， ，n n n n na S b b b b ， 求证： 1 1 2 2 2 3 1 1 2 3 ( 1)         n n n b a b a n b a ． A B CD •E BA C P E