精品解析：2025年山西省晋中市平遥县中考二模数学试题

2025年山西省晋中市平遥县中考二模数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个正六角螺母，其主视图轮廓是一个正六边形，中心是一个圆，那么它的左视图为（ ） A B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 肺炎支原体是一种大小介于细菌和病毒之间的微生物，肺炎支原体直径约为0.00000005米，约为一根头发的五万分之一，却有着不可小蔇的威力．其中数据0.00000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 和是一副三角板，，，，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据：，，，，，若去掉一个数据，得到一组新的数据，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（ ） A. 分类思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 8. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，扇形纸片，是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点的对称点为，当点恰好落在上时，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个比小且比大的无理数___________________． 12. 年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客人数为_____． 13. 刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，如图，点A、B、C在量角器的内弧上，点A、C对应的刻度分别为，则的度数为__________________． 14. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 15. 如图，中，，，为的中点，点是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点，若，则的长为______． 三、解答题：（本大题8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）化简： 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得D，E两点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第______组和第______组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为______；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有______人； （2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？ （3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议． 19. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 20. 新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图1是我县某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得． （1）请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． （2）为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ，（_________________________）． ………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 22. 项目学习实践 项目主题：如何合理设计简易遮阳棚 项目背景：军属李大爷的家在我县某小区，他的卧室的窗户朝南，夏天的时候，阳光通过窗户全部照到了房间里，感觉比较晒，在一次“拥军优属”活动后，九（一）班智慧小组决定为李大爷设计安装一个简易遮阳棚． 任务一：测量收集数据 查阅资料可知，我省位于北半球北回归线以北地区，夏至日太阳直射北回归线，此时该地区正午太阳高度角达到一年中的最大值，即太阳光线与水平面夹角最大约，冬至则太阳光线与水平面夹角最小约，李大爷卧室窗户高1.9米． ，）． 任务二：模型初步设计 小明设计了如图1遮阳棚，它的伸出距离是70厘米，为了在夏至的时候能挡住所有的阳光，遮阳棚应安装在窗户上面多高的墙上？请你结合模型探究，如图2：已知窗户，遮阳棚，求． 任务三：模型优化设计 小花进一步思考：遮阳棚的作用是夏天最大限度遮挡太阳光，冬天能最大限度使阳光照射进来．通过上述的思考，请你结合图3探究，选择伸出长度为多少厘米？安装在什么位置才能让遮阳棚发挥最大的作用？如图3：求和的长． 任务四：项目反思 请你通过本题的解决，为遮阳棚的供应商提一个合理化建议． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省晋中市平遥县中考二模数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：根据题意，这天的温差为， 故选：C． 2. 如图是一个正六角螺母，其主视图轮廓是一个正六边形，中心是一个圆，那么它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据三视图的意义画图即可． 【详解】解：由左视图是从左面看到的图形，则是一个长方形，且中间有一条实线， 故选：B． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点． 4. 肺炎支原体是一种大小介于细菌和病毒之间的微生物，肺炎支原体直径约为0.00000005米，约为一根头发的五万分之一，却有着不可小蔇的威力．其中数据0.00000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.00000005用科学记数法表示为， 故选：C． 5. 和是一副三角板，，，，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质． 先根据平行线性质：两直线平行，内错角相等得到，结合对顶角相等和三角形外角等于与它不相邻两个内角的和即可求解． 【详解】解：设、交于， ， ， ， ． 故选：． 6. 一组数据：，，，，，若去掉一个数据，得到一组新的数据，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的概念和性质，解题关键在于理解方差对数据波动的敏感性：其他统计量可能因数据对称性或重复值而保持不变，而方差因反映数据离散程度，即使平均数不变，只要数据分布改变就会变化．根据众数、平均数、中位数、方差的定义和计算公式分别求出新旧众数、平均数、中位数、方差即可． 【详解】解：原数据为：，，，，， 平均数为，众数为，中位数为，方差为， 新数据为：，，，， 平均数为，众数为，中位数为，方差为， 故变化的为方差， 故选：． 7. 约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（ ） A. 分类思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 根据题中的材料，结合一元一次方程的解法来进行求解． 【详解】解：约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是：转化思想． 故选：C． 8. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标． 【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点，点， ∴相似比为， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故选：C． 9. 如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质及函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数在坐标系中的平移与变换后的二次函数图象的位置关系． 先找到一次函数与新图象有三个交点的和，再求出此时m的取值，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得， 令，则， 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，如图所示： ①当直线位于时，此时l1过点， ∴，即； ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴方程， 即有两个相等实根， ∴， 即 由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为． 故选C． 10. 如图，扇形纸片，是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点的对称点为，当点恰好落在上时，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，扇形面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，交于点，则，假设，利用勾股定理求出，利用即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，则， 由轴对称的性质可得垂直平分线段， ， ， 假设， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ， ， 故选：A． 二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个比小且比大的无理数___________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，实数大小的比较，根据可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小且比大的无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为_____． 【答案】人 【解析】 【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故答案为：人． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13. 刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，如图，点A、B、C在量角器的内弧上，点A、C对应的刻度分别为，则的度数为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意可得，由圆周角定理可得，则可求出，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示，设点O是内弧所在圆的圆心，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：把王红和李明分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，画树状图如图： 共有20种等可能出现结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种， ∴王红和李明至少有一人参与演奏的概率为． 故答案为：． 15. 如图，中，，，为的中点，点是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，过作于点，由中位线定理可得，，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出，，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 详解】解：如图，取中点，连接，过作于点， ∴， ∵为的中点，H为中点， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）化简： 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、分式的加减乘除混合运算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值的化简，再加减运算即可求解； （2）根据分式的混合运算法则和运算顺序求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得D，E两点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，等边对等角等等，作线段的垂直平分线交于D，再以C为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求． 【详解】解；如图所示，作线段的垂直平分线交于D，再以C为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求； 可得，则， 由，则是等边三角形． 18. 某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第______组和第______组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为______；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有______人； （2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？ （3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议． 【答案】（1）③，③，，560； （2）； （3）此次活动不成功，建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义以及用样本估计总体的思想求解即可； （2）首先求出每组的平均阅读时间，然后根据算术平均数的计算方法求解即可； （3）将一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比与进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：∵第③组的人数最多， ∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组； ∵第50、51名学生均在第③组， ∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组； 由题意得：， 即一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为； （人）， 即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人， 故答案为：③，③，，560； 【小问2详解】 解：由题意得，每组平均阅读时间分别为1.5，2.5，3.5，4.5，5.5， ∴估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为：小时； 【小问3详解】 解：一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比为， ∵， ∴本次课外经典阅读活动不成功， 建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，由样本估计总体，中位数和众数，从统计图获取有用信息是解题的关键． 19. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 20. 新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图1是我县某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得． （1）请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． （2）为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 【答案】（1） （2）点横坐标为5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线解析式为，设，则，可得，再由，得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴交于点， 设直线解析式， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴ ， ∵， 当时，的面积最大，则点横坐标为5． 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ，（_________________________）． ………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 【答案】任务一：同弧或等弧所对的圆周角相等；任务二：见解析；任务三： 【解析】 【分析】任务一：根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得； 任务二：根据余角的性质证明，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，得出，根据等腰三角形的判定得出，同理得出，即可得出结论； 任务三：作于点G，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据勾股定理求出，再证明，根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：任务一：根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得， 故答案为：同弧或等弧所对的圆周角相等； 任务二：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴F为的中点； 任务三：如图，作于点G， 由条件可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 22. 项目学习实践 项目主题：如何合理设计简易遮阳棚 项目背景：军属李大爷的家在我县某小区，他的卧室的窗户朝南，夏天的时候，阳光通过窗户全部照到了房间里，感觉比较晒，在一次“拥军优属”活动后，九（一）班智慧小组决定为李大爷设计安装一个简易遮阳棚． 任务一：测量收集数据 查阅资料可知，我省位于北半球北回归线以北地区，夏至日太阳直射北回归线，此时该地区正午太阳高度角达到一年中的最大值，即太阳光线与水平面夹角最大约，冬至则太阳光线与水平面夹角最小约，李大爷卧室窗户高1.9米． ，）． 任务二：模型初步设计 小明设计了如图1的遮阳棚，它的伸出距离是70厘米，为了在夏至的时候能挡住所有的阳光，遮阳棚应安装在窗户上面多高的墙上？请你结合模型探究，如图2：已知窗户，遮阳棚，求． 任务三：模型优化设计 小花进一步思考：遮阳棚的作用是夏天最大限度遮挡太阳光，冬天能最大限度使阳光照射进来．通过上述的思考，请你结合图3探究，选择伸出长度为多少厘米？安装在什么位置才能让遮阳棚发挥最大的作用？如图3：求和的长． 任务四：项目反思 请你通过本题的解决，为遮阳棚的供应商提一个合理化建议． 【答案】任务二：遮阳棚应安装在窗户上面的墙上；任务三：BC的长为的长为；任务四：针对不同省份生产不同长度的遮阳棚 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务二：解，求出，根据可得结论； 任务三：设，在中求出，在中求出，根据列方程可求出的值即可得解． 【详解】任务二： 解：根据题意得：， 在中， 答：遮阳棚应安装在窗户上面的墙上． 任务三： 解：根据题意得：， 设， 在中， ， 在中， 答：的长为的长为． 任务四： 建议：针对不同省份生产不同长度的遮阳棚． 建议在安装说明书中增加不同省份的安装高度的建议． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）成立，见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）由矩形性质得到的长度，求的长度，用勾股定理求解的长度，可得，用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故． （2）连接和，结合矩形性质和勾股定理可求的长度，求得，且，故，可得、，求得，故，得证； （3）有两种情况，若当点在的延长线上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求；若点在线段上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求． 【详解】解：如下图，连接，延长相交于， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴在中，， 同理：， ， ∴ ∵， ∴是直角三角形， ∴，． 故答案为：垂直，； （2）成立 理由：如下图，连接和． 四边形是矩形，， ∴，， ∴ 四边形是矩形，， ∴， ∴ 在和中， ，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）的长为或 情况一：如下图，当点在的延长线上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 情况二：如图，当点在线段上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 综上所述，当三点共线时，线段的长为或． 【点睛】本体考查图像旋转问题，用到旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，孰料掌握知识点、正确做出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $