【最后一卷】2025年江苏省中考数学三轮冲刺专项突破模拟卷（江苏常州专用）

试题 第 1页（共 10页） 试题 第 2页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025 年江苏中考数学模拟卷（常州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本卷共 28小题，全卷满分 120分．考试时间为 120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位 置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 第Ⅰ卷（选择题共 16分） 一．选择题（共 8小题，满分 16分，每小题 2分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答 案用 2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．以下四个城市中某天中午 12时气温最低的城市是（ ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 2 ℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 2．下列平面图形中，是三棱柱平面展开图的是（ ） A． B． C． D． 3．一季度是全年经济风向标，是实现全年良好开局的关键．日前，江苏 13市陆续发布了一季度经济数据， 江苏 13市一季度的经济总量均超 1000亿元．苏州以 6095亿元的经济总量稳居首位，比去年 5549亿元还 多出了 500多亿元．数据“6095亿”用科学记数法可表示为（ ） A． 126.095 10 B． 1060.95 10 C． 116.095 10 D． 120.6095 10 4．下列运算正确的是（ ） A．  3 2 5a a a   B． 3 2a a a  C． 12 3 4a a a  D．  32 52 6a a 5．若关于 x的一元二次方程 2 2 1 0x x k    没有实数根，则直线 3y kx  不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互 换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只 x两，燕每只 y两，则可列出方程 组为（ ） A． 5 6 16 5 6 x y x y y x       B． 5 6 16 4 5 x y x y y x       C． 6 5 16 6 5 x y x y y x       D． 6 5 16 5 4 x y x y y x       7．如图， ABCD 的对角线 AC，BD相交于点O，点 E是 BC的中点．若 90BAC  ， 10BC  ， ABCD 的周长为 32，则 COE 的周长为（ ） A．7 B．10 C．12 D．14 8．如图 1所示，E为矩形 ABCD的边 AD上一点，动点 ,P Q同时从点 B出发，点 P沿折线 BE ED DC  运 动到点C时停止，点Q沿 BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是每秒 1个单位长度．设点 ,P Q同时 出发 t秒时，△BPQ的面积为 s，已知 s与 t的函数关系图象如图 2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列 结论：① 5BE AD  ；② 3cos 5 AEB  ；③当0 5t  时， 2 4 5 s t ；④当 9t  时， 5s  ；⑤当 29 4 t  时， ABE 与 QBP△ 相似；其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试题 第 3页（共 10页） 试题 第 4页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … 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PA， PC，则 APC△ 的面积为 ． 18．如图，在矩形纸片 ABCD中， 1AB  ， 2BC  ，点O是对称中心，点 P、Q分别在边 AD、BC上，且 PQ经过点O．将该纸片沿 PQ折叠，使点A、B分别落在点 A、B的位置，则 BA B  面积的最大值为 ． 三、解答题（本大题共 10个小题，共 84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（每小题 3分，共 6分）解方程组或不等式组 (1) 2 4 5 1 x y x y      (2) 3 2) 4 1 4 10 x x x x        （ 20．（6分）化简代数式： 2 2 2 41 a a a a a      ，然后从 3 3a   的范围内选取一个合适的整数作为 a的值代入 求值． 试题 第 5页（共 10页） 试题 第 6页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 21．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为 x分，满分为 100分，规定：85 100x  为 A级，75 85x  为 B级，60 75x  为 C级， 60x  为 D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中 的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，  ______%； (2)补全条形统计图；扇形统计图中 C级对应的圆心角为______度； (3)若该校共有 4000名学生，请你估计该校 D级学生有多少名？ 22．（8分）某体育馆有 A，B两个入口，每个入口有 3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中 C、 D出口有 2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行 100人，规定：观众进馆时须持 票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选 择一个入口进入． (1)求甲从 A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级 80人，八年级 150人，九年级 160人，比赛 结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从 C、 D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 23．（8分）如图，在△ABC中，O是 AC边上一点， EFD 和△ABC关于点 O成中心对称，连接 BD BE AF CF， ， ， ． (1)求证：四边形 ABEF 是平行四边形． (2)若 AB AC ， BAC DBC   ，求证：四边形 ABEF是菱形． 24．（8分）如图，直线 y x b   与双曲线 ( 0) ky x x   交于点 (1,3)A 和点 B． (1)求 k、b的值； (2)写出点 B的坐标_____； (3)点M 是 x轴正半轴上一动点，当 ABM 的面积为 3时，直接写出点M 的坐标_____． 试题 第 7页（共 10页） 试题 第 8页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 25．（8分）项目学习：探究正方体表面积． 材料：用橡皮泥做一个棱长为 4cm的正方体． 【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________ 2cm ； 【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为 1cm的正方形的长方体通孔， 打孔后的橡皮泥的表面积为__________ 2cm ； 【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个 底面边长为 1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________ 2cm ； 【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为 1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底 面为长 x cm、宽 1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为 2130cm ？如果能，请求出 x；如果不 能，请说明理由． 26．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为 :1k （ k为正整数），这样的直角三角形称为“ k 型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图 1，已知Rt ABC△ 是“ 2型三角形”，其中 <AC BC， 90C  ，点D在斜边 AB上，且 BD BC ， 过点D作DE AC 于点 E，连接 BE，求证：Rt BCE 是“ 3型三角形”． (2)如图 2，已知Rt ABC△ 是“ k 型三角形”（ k为正整数），其中 <AC BC， 90C  ，请利用直尺和圆规 在Rt ABC△ 中作出一个Rt BCE ，使得Rt BCE 是“ 1k  型三角形”．（其中 90C  ，CE CB ） 27．（10分）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是 一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的 4A 纸，对折后得到两个全 等的 5A 纸、A5纸折叠后得到两个全等的 6A 纸等等（图 1）， 5A 纸、 6A 纸等的长与宽的比都等于白银比， 这样的矩形称为白银矩形． 【探索发现】问题一，根据以上材料，如图 2，一张规格为 4A 的矩形 ABCD纸片，长 cmAD a ，宽 AB b cm 4A， 纸长将其沿长边对折（ EF为折痕），得到两个全等的 5A 矩形纸片，两种规格张片的长与宽 的比相同，即 AD AB AB AE  ，推算白银比为___________ 【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这 个点就称为这条线段的白银分割点． 如何找到任意一条线段的白银分割点呢？ 小然是这样做的：如图 3，已知线段 AB，以 AB为直角边作等腰Rt ABC△ ，再作出 AB的对角 ACB 的平 分线，与 AB的交点 P即为线段 AB的白银分割点．请你说明小然这么做的理由． 【拓展探究】如图 4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形 （1）若菱形 ABCD为白银菱形， C  ___________ ． （2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图 4的菱形为基础组成如图 5的矩 形且矩形的较短边长为 8，则这个矩形的面积为___________ 试题 第 9页（共 10页） 试题 第 10页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 28．（12分）如图 1，抛物线 2 1 2 y x 与一次函数  0, 0y kx b k b    交于 A、B两点，连接 OA，OB． (1)当 3 2 k = ， 2b  时，求 A、B两点的坐标． (2)若 2b  ，作OP AB ，则点 P到 y轴距离的最大值为______． (3)如图 2，若 1k  ，设直线 AB与 y轴交于点 C，过点 B作 x轴垂线交 AO延长线于点 E，交 x轴于点 D． ①求证：CO DE ； ②连接 CE，交 OD 于点 F，请判断直线 BF与抛物线的公共点个数，并说明理由． 2025年江苏中考数学模拟卷（常州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校： 年级： 姓名： 考号： 注意事项： 1．本卷共28小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键． 根据，即可得到答案． 【详解】解：， 四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原， 故选：C． 2．下列平面图形中，是三棱柱平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图的特征是解题关键．分别判断选项中的几何体，即可得到答案． 【详解】解：A、是三棱柱的展开图，符合题意； B、是四棱锥的展开图，不符合题意； C、是圆柱的展开图，不符合题意； D、是圆锥的展开图，不符合题意； 故选：A． 3．一季度是全年经济风向标，是实现全年良好开局的关键．日前，江苏13市陆续发布了一季度经济数据，江苏13市一季度的经济总量均超1000亿元．苏州以6095亿元的经济总量稳居首位，比去年5549亿元还多出了500多亿元．数据“6095亿”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据6095亿用科学记数法表示为； 故选C． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方，负整数指数幂等知识，根据同底数幂相乘法则、同底数幂相除法则、积的乘方法则，负整数指数幂的意义等逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算正确，符合题意； C． ，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 5．若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 6．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设雀每只两，燕每只两，分别根据“五只雀、六只燕，共重两”和“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，进行列式即可 ． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， 由“五只雀、六只燕，共重两”，得：， 由“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重” ，得：， 则可列出方程组为， 故选：B． 7．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线，求出的长是解题的关键． 先根据平行四边形的周长公式求出，再由勾股定理求出，然后根据平行四边形的性质求，根据中位线性质求出，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O是的中点， ∵点是的中点． ∴，， ∴的周长， 故选：C． 8．如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，△BPQ的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是每秒1个单位长度， ∴， ∴由矩形的性质可得，故①正确； ∵从M到N用了2秒， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 过点P作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，故③错误； 当时，此时点Q在点C，点P在上，且， ∴， ∴，故④正确； 当秒时，点P在上，此时，， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共104分） 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，以及同底数幂的乘法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据积的乘方，同底数幂的乘法运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 10．有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 【答案】10 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以球的总数等于白球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以袋中白球有10个． 故答案为：10． 11．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数为 ． 【答案】36 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：36． 12．已知 是反比例函数的图像上三点，且，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特征和函数的增减性是解答此题的关键． 先根据反比例函数的系数判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据，判断出，，的大小即可． 【详解】解：∵ ∴函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴点、在第三象限内，点在第一象限， ∴， 故答案为：． 13．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，结合题意可得且，求解即可． 【详解】解：解分式方程可得， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 14．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入思想，解题的关键是将展开后，把作为一个整体代入计算． 先根据多项式乘法法则将展开，然后对展开式进行变形，再把已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：， 已知，即，将其代入上式可得： ， 故． 故答案为：4． 15．如图，点A、B、C在上，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据可以得到的度数，再根据，三角形内角和是，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，已知码头A与小岛C的距离是20海里，那么，码头B与小岛C的距离是 海里（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等角对等边，理解题意，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．过点作交的延长线于，根据等角对等边，得，得海里，在中，由锐角三角函数，即可解答． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于，则， ∵一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向， ∴，， ∴， ∵海里， ∴海里， 在中，， ∴海里， 故答案为： ． 17．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 设，则，然后根据的面积，代入数据即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵轴，垂足为，交反比例函数的图象于点， ∴， ∴的面积； 故答案为：3． 18．如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，勾股定理，矩形的性质，平行线分线段成比例，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，可得结论． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作于点． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（每小题3分，共6分）解方程组或不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法． 把代入得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出，再把代入求出的值即可； 分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 整理得：， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ． 20．（6分）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件，首先根据分式的运算法则进行计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知、、，所以只能取，把代入化简后的分式进行计算即可． 【详解】解：， ， 分式的分母不能为，除数不能为， ， 、、， ， 原式 ． 21．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，______%； (2)补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为______度； (3)若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 【答案】(1)(2)72(3)估计该校D级学生有320名 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，涉及求扇形统计图中相关量，补全条形统计图，及样本估计总体数量等知识． （1）根据B级的人数及占比即可求解一共抽取的学生数；根据A级的学生数与抽取的学生数的比即可求得的值； （2）由抽取的学生数及已知的A、B、D级人数可求得C级的人数，从而补全条形统计图；由C级的占比与周角度数之积即可求解； （3）由D级的占比与全校学生数之积即可求解． 【详解】（1）解：（名），， 故答案为：； （2）解：C级的学生数为：（名）， 补充的条形统计图如下： 扇形统计图中C级对应的圆心角为， 故答案为：72； （3）解：（名）， 即4000名学生中，估计该校D级学生有320名． 22．（8分）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 23．（8分）如图，在△ABC中，O是边上一点，和△ABC关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 24．（8分）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解析式联立，解方程组即可求得； （3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； （3）解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 25．（8分）项目学习：探究正方体表面积． 材料：用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体． 【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________； 【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底面为长cm、宽1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为？如果能，请求出；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，96；（2）110；（3）116；（4）不能使所得橡皮泥的表面积为 【分析】本题考查了立体图形的识别和列代数式，解题关键是准确掌握正方体的相关知识，会求它的表面积； （1）根据正方体有6个面，求出每个面的面积再求表面积即可； （2）去掉长方体的两个底面面积再加上四个侧面的面积即可； （3）再（2）的基础上，加上新增加的表面积即可； （4）根据表面积为列出方程求解即可． 【详解】解：（1）正方体有6个面，每个面都是正方形，一个面的面积为， 表面积为， 故答案为：6，96； （2）原正方体打孔后的表面积为，底面边长为1cm的正方形的长方体的增加的表面积为， 打孔后的橡皮泥的表面积为， 故答案为：110； （3）原正方体打孔后的表面积为，打孔后增加的表面积为， 打孔后的橡皮泥的表面积为， 故答案为：116； （4）原正方体打孔后的表面积为，打孔后增加的表面积为， 根据题意列方程得，， 所以不能使所得橡皮泥的表面积为． 26．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解； （2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可． 【详解】（1）解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 27．（10分）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________ 【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点． 如何找到任意一条线段的白银分割点呢？ 小然是这样做的：如图3，已知线段，以为直角边作等腰，再作出的对角的平分线，与的交点即为线段的白银分割点．请你说明小然这么做的理由． 【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形 （1）若菱形为白银菱形，___________． （2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________ 【答案】问题一：；问题二：见解析；拓展探究：（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质等等，正确理解白银分割的定义是解题的关键． 问题一：由折叠的性质可得，则可求出，即，据此可得答案； 问题二：过点P作于E，由勾股定理得，由角平分线的性质可得，根据，可得； 拓展研究：（1）根据题意可得，则； （2）作于点，于，于，在上截取，连接，由对称性可得，由菱形的性质可得，则，证明，同理可得，再证明，设，则，，可得，据此求解即可． 【详解】解；问题一：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴白银比为； 问题二：如图所示，过点P作于E， 在等腰中，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴点P即为白银分割点； 拓展探究：（1）如图所示，过点B作于F， ∵菱形为白银菱形， ∴， ∴； （2）如下图，作于点，于，于，在上截取，连接， 由对称性可得， 由菱形的性质可得， ∴， ∴， 由题可知：， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ∵矩形的较短边长为8，即， ∴， ∴． 28．（12分）如图1，抛物线与一次函数交于A、B两点，连接OA，OB． (1)当，时，求A、B两点的坐标． (2)若，作，则点P到y轴距离的最大值为______． (3)如图2，若，设直线AB与y轴交于点C，过点B作x轴垂线交AO延长线于点E，交x轴于点D． ①求证：； ②连接CE，交OD 于点F，请判断直线BF与抛物线的公共点个数，并说明理由． 【答案】(1)，(2)1(3)①见解析；②直线BF与抛物线的公共点个数为1个 【分析】（1）把，代入，得，再联立两函数解析式，得方程组，求解即可； （2）设直线交y轴于C， 根据，得出点P在以为直径的圆上，过点P作于D，则当时，最大，最大值为，又因为，即可求解； （3）①先求出，从而得到，再联立两函数解析式得：，求解得到，，然后用待定系数法求得直线解析式为，从而求得，即可求得，即可得出结论； ②先证明，得到，从而求得，再用待定系数法求得直线解析式为，联立函数解析式得，化简整理得，根据，得出方程有两相等实数根，则直线与抛物线只有一个交点．即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入，得 联立，解得：，， ∴，． （2）解：设直线交y轴于C，如图， ∵ ∴ ∴点P在以为直径的圆上， 过点P作于D， ∴当时，最大，最大值为， ∵， ∴， ∴最大，即点P到y轴距离的最大值为1． 故答案为：1． （3）①证明：∵， ∴ 当，， ∴ ∵ ∴ 联立得：， 解得：，， ∴，， 设直线解析式为， 把代入，得 ∴ ∴直线解析式为 ∵轴于D， ∴点E横坐标与点B横坐标相同， 把代入，得 ∴ ∵ ∴， ∴； ②解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， ∴， 即， ， ∴方程有两相等实数根， ∴直线与抛物线只有一个交点． 即直线BF与抛物线的公共点个数为1个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年江苏中考数学模拟卷（常州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本卷共28小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 2．下列平面图形中，是三棱柱平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．一季度是全年经济风向标，是实现全年良好开局的关键．日前，江苏13市陆续发布了一季度经济数据，江苏13市一季度的经济总量均超1000亿元．苏州以6095亿元的经济总量稳居首位，比去年5549亿元还多出了500多亿元．数据“6095亿”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 8．如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，△BPQ的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题，共104分） 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 9．计算： ． 10．有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 11．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数为 ． 12．已知 是反比例函数的图像上三点，且，则，，的大小关系是 ． 13．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 14．已知，则 ． 15．如图，点A、B、C在上，，则的度数是 ． 16．如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，已知码头A与小岛C的距离是20海里，那么，码头B与小岛C的距离是 海里（结果保留根号）． 17．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 18．如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（每小题3分，共6分）解方程组或不等式组 (1) (2) 20．（6分）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 21．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，______%； (2)补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为______度； (3)若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 22．（8分）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 23．（8分）如图，在△ABC中，O是边上一点，和△ABC关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 24．（8分）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 25．（8分）项目学习：探究正方体表面积． 材料：用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体． 【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________； 【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底面为长cm、宽1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为？如果能，请求出；如果不能，请说明理由． 26．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 27．（10分）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________ 【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点． 如何找到任意一条线段的白银分割点呢？ 小然是这样做的：如图3，已知线段，以为直角边作等腰，再作出的对角的平分线，与的交点即为线段的白银分割点．请你说明小然这么做的理由． 【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形 （1）若菱形为白银菱形，___________． （2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________ 28．（12分）如图1，抛物线与一次函数交于A、B两点，连接OA，OB． (1)当，时，求A、B两点的坐标． (2)若，作，则点P到y轴距离的最大值为______． (3)如图2，若，设直线AB与y轴交于点C，过点B作x轴垂线交AO延长线于点E，交x轴于点D． ①求证：； ②连接CE，交OD 于点F，请判断直线BF与抛物线的公共点个数，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏中考数学模拟卷（常州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校： 年级： 姓名： 考号： 注意事项： 1．本卷共28小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 2．下列平面图形中，是三棱柱平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．一季度是全年经济风向标，是实现全年良好开局的关键．日前，江苏13市陆续发布了一季度经济数据，江苏13市一季度的经济总量均超1000亿元．苏州以6095亿元的经济总量稳居首位，比去年5549亿元还多出了500多亿元．数据“6095亿”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 8．如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，△BPQ的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题，共104分） 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 9．计算： ． 10．有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 11．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数为 ． 12．已知 是反比例函数的图像上三点，且，则，，的大小关系是 ． 13．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 14．已知，则 ． 15．如图，点A、B、C在上，，则的度数是 ． 16．如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，已知码头A与小岛C的距离是20海里，那么，码头B与小岛C的距离是 海里（结果保留根号）． 17．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 18．如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（每小题3分，共6分）解方程组或不等式组 (1) (2) 20．（6分）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 21．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，______%； (2)补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为______度； (3)若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 22．（8分）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 23．（8分）如图，在△ABC中，O是边上一点，和△ABC关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 24．（8分）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 25．（8分）项目学习：探究正方体表面积． 材料：用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体． 【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________； 【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底面为长cm、宽1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为？如果能，请求出；如果不能，请说明理由． 26．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 27．（10分）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________ 【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点． 如何找到任意一条线段的白银分割点呢？ 小然是这样做的：如图3，已知线段，以为直角边作等腰，再作出的对角的平分线，与的交点即为线段的白银分割点．请你说明小然这么做的理由． 【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形 （1）若菱形为白银菱形，___________． （2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________ 28．（12分）如图1，抛物线与一次函数交于A、B两点，连接OA，OB． (1)当，时，求A、B两点的坐标． (2)若，作，则点P到y轴距离的最大值为______． (3)如图2，若，设直线AB与y轴交于点C，过点B作x轴垂线交AO延长线于点E，交x轴于点D． ①求证：； ②连接CE，交OD 于点F，请判断直线BF与抛物线的公共点个数，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 年江苏中考数学模拟卷（常州专用） 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2分，共 16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2分，共 20分） 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 17．____________________ 18．____________________ 三、解答题（共 84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） (1) 2 4 5 1 x y x y      (2) 3 2) 4 1 4 10 x x x x        （ 数学 第 4页（共 8页） 数学 第 5页（共 8页） 数学 第 6页（共 8页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 27.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ) 2025年江苏中考数学模拟卷（常州专用） 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题 2 分，共 20 分） 9 ． ____________________ 1 0 ． ____________________ 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 1 7 ． ____________________ 1 8 ． ____________________ 三 、解答题（共 84 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 9 ．（ 6 分） (1) (2) ) ( 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 8分 ） 2 3 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 8 分 ） 25.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 8 ． （ 12 分 ） ) ( 2 6 ． （ 10 分 ） 27.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共8页） 数学 第5页（共8页） 数学 第6页（共8页） 数学 第1页（共8页） 数学 第2页（共8页） 数学 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏中考数学模拟卷（常州专用） （参考答案） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B C B C D 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 9. 10. 10 11. 36 12. 13. 且 14. 4 15. /度 16. 17. 3 18. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【详解】（1）解：， 把代入得：， 整理得：， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ． 20.【详解】解：， ， 分式的分母不能为，除数不能为， ， 、、， ， 原式 ． 21.【详解】（1）解：（名），， 故答案为：； （2）解：C级的学生数为：（名）， 补充的条形统计图如下： 扇形统计图中C级对应的圆心角为， 故答案为：72； （3）解：（名）， 即4000名学生中，估计该校D级学生有320名． 22.【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 23.【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 24.【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； （3）解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 25.【详解】解：（1）正方体有6个面，每个面都是正方形，一个面的面积为， 表面积为， 故答案为：6，96； （2）原正方体打孔后的表面积为，底面边长为1cm的正方形的长方体的增加的表面积为， 打孔后的橡皮泥的表面积为， 故答案为：110； （3）原正方体打孔后的表面积为，打孔后增加的表面积为， 打孔后的橡皮泥的表面积为， 故答案为：116； （4）原正方体打孔后的表面积为，打孔后增加的表面积为， 根据题意列方程得，， 所以不能使所得橡皮泥的表面积为． 26.【详解】（1）解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 27.【详解】解；问题一：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴白银比为； 问题二：如图所示，过点P作于E， 在等腰中，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴点P即为白银分割点； 拓展探究：（1）如图所示，过点B作于F， ∵菱形为白银菱形， ∴， ∴； （2）如下图，作于点，于，于，在上截取，连接， 由对称性可得， 由菱形的性质可得， ∴， ∴， 由题可知：， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ∵矩形的较短边长为8，即， ∴， ∴． 28.【详解】（1）解：把，代入，得 联立，解得：，， ∴，． （2）解：设直线交y轴于C，如图， ∵ ∴ ∴点P在以为直径的圆上， 过点P作于D， ∴当时，最大，最大值为， ∵， ∴， ∴最大，即点P到y轴距离的最大值为1． 故答案为：1． （3）①证明：∵， ∴ 当，， ∴ ∵ ∴ 联立得：， 解得：，， ∴，， 设直线解析式为， 把代入，得 ∴ ∴直线解析式为 ∵轴于D， ∴点E横坐标与点B横坐标相同， 把代入，得 ∴ ∵ ∴， ∴； ②解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， ∴， 即， ， ∴方程有两相等实数根， ∴直线与抛物线只有一个交点． 即直线BF与抛物线的公共点个数为1个． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$