2025届高考数学思想方法大合集-函数与方程思想中的三大法宝讲义

第06节 运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝 待定系数法是一种在数学中解决代数问题的技巧，尤其在因式分解、解方程和求解函数表达式中非常有用.使用待定系数法时，我们首先假设一个未知数或多项式的特定形式，然后通过代入已知条件来确定这些未知系数.在解方程时，如果方程形式复杂，也可以假设一个解的形式，然后通过代入方程来确定未知系数.待定系数法的关键在于合理假设未知数或多项式的结构，然后通过代入已知条件来求解这些未知系数.这种方法在高中数学中非常常见，是解决各种代数问题的有效工具. 换元法是解决高中数学问题的一种常用技巧，它通过引入新的变量来简化原问题，使得问题变得更加易于处理.在高中数学中，换元法主要应用于解决积分、解方程、证明不等式等场合.在解方程时，换元法可以帮助我们简化方程的形式，特别是对于那些含有多个变量的方程组.通过引入新的变量来代替原方程中的某些表达式，可以将复杂的方程组转化为更简单的形式，从而便于求解.在证明不等式时，换元法同样非常有用.通过适当的变量替换，可以将原不等式转化为更易于证明的形式，或者将不等式转化为等式，从而利用等式的性质来证明原不等式. 转换法通常指的是将复杂问题通过数学变换转化为更易解决的问题.常见的转换方法包括代数转换函数转换：例如，利用函数的平移、伸缩、反射等性质，将一个函数转化为另一个函数.掌握这些转换方法，可以帮助学生在解决高中数学问题时更加灵活和高效. 类型一 待定系数法 【典例1】（2024-2025江西多校高三上期10月联考）已知函数满足，且，则（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 结合题意，用待定系数法，令，可得，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可. 【详细解析】 由，， 令，得， 则， 则， 将以上各式相加得 ， 所以. 故选：D. 【典例2】设函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【解题策略】利用换元法可得，即可求导，利用待定系数法，将点代入即可求解. 【详细解析】 令，则，则， 所以， 所以曲线在点处的切线斜率为． 故答案为： 【典例3】已知数列中，且，求这个数列的通项公式． 【解题策略】本题所给的递推式关系不明朗，应先进行变形，再运用待定系数法构造新的特殊数列，从而使问题获解． 【详细解析】 先对递推式进行变形．，即． 设，则．① 引入待定系数、，使、满足，展开得．② 对照①式和②式，可得方程组解得 即数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以． 于是，． 【方法归纳】 待定系数法是一种在已知函数或数列的某些性质时，通过设定未知系数，利用这些性质来确定这些系数的方法.在高中数学中，待定系数法常用于求解函数的解析式或数列的通项公式. 函数解析式的求法：根据函数的类型和已知条件，假设函数的解析式具有一定的形式，其中包含待定的系数；或解方程或方程组，求出待定系数的值；或将求得的系数代入假设的函数形式中，得到函数的解析式. 数列通项的求法：根据数列的性质和已知条件，假设数列的通项公式具有一定的形式，其中包含待定的系数；或利用已知条件，如数列的递推关系、特定项的值等，列出方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值.将求得的系数代入假设的通项公式中，得到数列的通项公式. 【举一反三】 1． 已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 类型二 换元法 【典例1】已知，则函数的解析式为（ ） A．     B． B．     D． 【解题策略】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详细解析】 设，则， 所以， 所以， 故选：D． 【典例2】函数的最小值为 ． 【解题策略】利用换元法，令，结合对勾函数单调性求最值. 【详细解析】 令，则， 可得， 由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减， 则， 所以函数的最小值为5. 故答案为：5. 【典例3】为何值时，不等式对任意实数都成立． 【解题策略】 所给不等式除、之外还有参数，若直接分离出参数再求的取值范围是有困难的．主要思维障碍是、及（且有项）的不和谐性，所以可利用整体思想进行换元．先将原不等式转化为关于的二次不等式，再利用新构造的函数关系求解．还应当指出的是：不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题，利用函数的性质求解，又对含参数的二次函数的最值按对称轴的位置分类讨论，并利用函数的如下性质：在上恒成立，使问题解决．本例是一道常规题，难度并不高，然而涉及的数学思想却非常广泛，如函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想以及换元法，反映出思想的广度和深度，值得细细品味． 【详细解析】 令，则， 原不等式可化为，在上恒成立． 设． 当时，． 当时，． 当时，． 故所求的取值范围为下列不等式组的解集． 或或 解得的取值范围是或． 【方法归纳】换元法是解决高中数学问题的一种常用技巧，它通过引入新的变量来简化原问题，从而达到求解的目的.以下是换元法的一些常见方法归纳： 1. 三角换元法：当遇到含有根号的代数式时，可以考虑使用三角函数关系式进行换元.可以分别引入三角函数的正、余弦进行换元. 2. 代数换元法：当方程形式复杂时，可以尝试通过代数变换引入新变量，简化方程. 在使用换元法时，需要注意新变量与原变量之间的关系，以及换元后方程的解与原方程解之间的对应关系.正确选择换元方法，可以有效简化问题，提高解题效率. 【举一反三】 （2024-2025江苏苏大附中高三上期10月月考） 3. 若函数是奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． B． D． （2024-2025河南部分名校高三上期阶段性测试（二）） 4. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． B． D． 类型三 转换法 【典例1】已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（    ）． A．    B．    C．    D． 【解题策略】 本题可构造两个函数，通过两个函数的图像交点的个数为5来探求的取值范围．然而以形助数往往是粗略的，临界状态不一定很明了，还应结合代数运算，即通过解方程组、运用方程理论作进一步探索，我们讲数形结合关键在结合，不但要以形助数，还要以数辅形，这样解才是完整的． 【详细解析】 对于方程可化为，构造函数和，它们恰有5个交点． 当时，为的上半部分；当时，为；当时，为． 如图1-14所示，为一条过原点的直线，要使它们适合题意，需要与曲线有两个交点，与没有交点． 由题意知得， ，得， 由得， ，得． 故， 故选B． 【典例2】（2024届北京西城高三高考模拟试题（一））若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【解题策略】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详细解析】 问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 【典例3】（2025届九师联盟高三上期10月联考）已知函数． （1） 求函数的值域； （2） 若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3） 当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 【解题策略】 （1） 求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得. （2） 变形给定不等式，按分段讨论求出的范围. （3） 利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得. 【详细解析】 （1） 依题意，， 由，得，则， 当，即时，；当，即时，， 所以函数在时的值域为. （2） 不等式， 当时，； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此， 所以实数的取值范围为. （3） 当时，在上单调递增， 又当时，值域为， 因此，即， 则是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得， 所以正数的取值范围为. 【方法归纳】 高中数学中，转换法是一种常用的解题技巧，它通过等价变换将复杂问题转化为简单问题，从而便于求解.以下是一些常见的转换法方法归纳： 1. 函数转换：将复杂的函数表达式通过代数变换转化为更简单的形式. 2. 方程转换：通过等价变换将高次方程转化为低次方程，或者将非线性方程转化为线性方程，便于求解. 以上两种方法是高中数学常用的转换法，掌握这些转换法方法，有助于求解函数与方程问题，零点问题，导数相关问题，对于提高解题效率和准确性具有重要意义. 【举一反三】 （2024-2025山西晋中部分校高三上期9月质量检测） 5. 已知函数. (1) 若，，求的值； (2) 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. （2025届河南部分重点高中高三九师联盟模拟预测） 6. 设且，函数. (1) 当时，求不等式的解集； (2) 若函数在区间上有零点，求的取值范围. （2024届四川百师联盟高三冲刺卷（三）） 7. 已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． B． D． （2024届江西新余四中高三下期5月高考全真模拟（三）） 8. 已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024届湖南邵阳部分学校高三下期三模） 9. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2024届内蒙古赤峰高三下期4.20模拟考试） 10. 设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． （2024-2025河南焦作高三上期开学考试） 11. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2024届天津北辰朱唐庄中学高三模拟预测） 12. 设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． （2024届河北唐县一中高三下期二模） 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 （2024届四川绵阳南山中学高三下期高考仿真演练（一）） 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A． B．8 C．或8 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06节 运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝 待定系数法是一种在数学中解决代数问题的技巧，尤其在因式分解、解方程和求解函数表达式中非常有用.使用待定系数法时，我们首先假设一个未知数或多项式的特定形式，然后通过代入已知条件来确定这些未知系数.在解方程时，如果方程形式复杂，也可以假设一个解的形式，然后通过代入方程来确定未知系数.待定系数法的关键在于合理假设未知数或多项式的结构，然后通过代入已知条件来求解这些未知系数.这种方法在高中数学中非常常见，是解决各种代数问题的有效工具. 换元法是解决高中数学问题的一种常用技巧，它通过引入新的变量来简化原问题，使得问题变得更加易于处理.在高中数学中，换元法主要应用于解决积分、解方程、证明不等式等场合.在解方程时，换元法可以帮助我们简化方程的形式，特别是对于那些含有多个变量的方程组.通过引入新的变量来代替原方程中的某些表达式，可以将复杂的方程组转化为更简单的形式，从而便于求解.在证明不等式时，换元法同样非常有用.通过适当的变量替换，可以将原不等式转化为更易于证明的形式，或者将不等式转化为等式，从而利用等式的性质来证明原不等式. 转换法通常指的是将复杂问题通过数学变换转化为更易解决的问题.常见的转换方法包括代数转换函数转换：例如，利用函数的平移、伸缩、反射等性质，将一个函数转化为另一个函数.掌握这些转换方法，可以帮助学生在解决高中数学问题时更加灵活和高效. 类型一 待定系数法 【典例1】（2024-2025江西多校高三上期10月联考）已知函数满足，且，则（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 结合题意，用待定系数法，令，可得，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可. 【详细解析】 由，， 令，得， 则， 则， 将以上各式相加得 ， 所以. 故选：D. 【典例2】设函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【解题策略】利用换元法可得，即可求导，利用待定系数法，将点代入即可求解. 【详细解析】 令，则，则， 所以， 所以曲线在点处的切线斜率为． 故答案为： 【典例3】已知数列中，且，求这个数列的通项公式． 【解题策略】本题所给的递推式关系不明朗，应先进行变形，再运用待定系数法构造新的特殊数列，从而使问题获解． 【详细解析】 先对递推式进行变形．，即． 设，则．① 引入待定系数、，使、满足，展开得．② 对照①式和②式，可得方程组解得 即数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以． 于是，． 【方法归纳】 待定系数法是一种在已知函数或数列的某些性质时，通过设定未知系数，利用这些性质来确定这些系数的方法.在高中数学中，待定系数法常用于求解函数的解析式或数列的通项公式. 函数解析式的求法：根据函数的类型和已知条件，假设函数的解析式具有一定的形式，其中包含待定的系数；或解方程或方程组，求出待定系数的值；或将求得的系数代入假设的函数形式中，得到函数的解析式. 数列通项的求法：根据数列的性质和已知条件，假设数列的通项公式具有一定的形式，其中包含待定的系数；或利用已知条件，如数列的递推关系、特定项的值等，列出方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值.将求得的系数代入假设的通项公式中，得到数列的通项公式. 【举一反三】 1．已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 2．设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 【答案】A 【分析】首先令求出，当时，即可得到，从而得到，即是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，当时，解得， 当时，所以，则， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：A 类型二 换元法 【典例1】已知，则函数的解析式为（ ） A．    B． C．    D． 【解题策略】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详细解析】 设，则， 所以， 所以， 故选：D． 【典例2】函数的最小值为 ． 【解题策略】利用换元法，令，结合对勾函数单调性求最值. 【详细解析】 令，则， 可得， 由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减， 则， 所以函数的最小值为5. 故答案为：5. 【典例3】为何值时，不等式对任意实数都成立． 【解题策略】 所给不等式除、之外还有参数，若直接分离出参数再求的取值范围是有困难的．主要思维障碍是、及（且有项）的不和谐性，所以可利用整体思想进行换元．先将原不等式转化为关于的二次不等式，再利用新构造的函数关系求解．还应当指出的是：不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题，利用函数的性质求解，又对含参数的二次函数的最值按对称轴的位置分类讨论，并利用函数的如下性质：在上恒成立，使问题解决．本例是一道常规题，难度并不高，然而涉及的数学思想却非常广泛，如函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想以及换元法，反映出思想的广度和深度，值得细细品味． 【详细解析】 令，则， 原不等式可化为，在上恒成立． 设． 当时，． 当时，． 当时，． 故所求的取值范围为下列不等式组的解集． 或或 解得的取值范围是或． 【方法归纳】换元法是解决高中数学问题的一种常用技巧，它通过引入新的变量来简化原问题，从而达到求解的目的.以下是换元法的一些常见方法归纳： 1.三角换元法：当遇到含有根号的代数式时，可以考虑使用三角函数关系式进行换元.可以分别引入三角函数的正、余弦进行换元. 2.代数换元法：当方程形式复杂时，可以尝试通过代数变换引入新变量，简化方程. 在使用换元法时，需要注意新变量与原变量之间的关系，以及换元后方程的解与原方程解之间的对应关系.正确选择换元方法，可以有效简化问题，提高解题效率. 【举一反三】 （2024-2025江苏苏大附中高三上期10月月考） 3．若函数是奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质结合对数的运算解出，再由复合函数的单调性得到在上为增函数解出即可； 【详解】由题意可得， 即，即， 解得，即， ，即函数的定义域为， 设，则在上为增函数， 而在上为增函数， 所以在上为增函数， 若，则，可解得， 则， 又，则有， 不等式的解集为. 故选：A. （2024-2025河南部分名校高三上期阶段性测试（二）） 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果. 【详解】由题意，命题“”是假命题， 等价于其否定“”是真命题， 令，则对恒成立， 即，需满足， 而，，当且仅当，即时取等号. 所以，即. 故选：A. 类型三 转换法 【典例1】已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（    ）． A．    B．    C．    D． 【解题策略】 本题可构造两个函数，通过两个函数的图像交点的个数为5来探求的取值范围．然而以形助数往往是粗略的，临界状态不一定很明了，还应结合代数运算，即通过解方程组、运用方程理论作进一步探索，我们讲数形结合关键在结合，不但要以形助数，还要以数辅形，这样解才是完整的． 【详细解析】 对于方程可化为，构造函数和，它们恰有5个交点． 当时，为的上半部分；当时，为；当时，为． 如图1-14所示，为一条过原点的直线，要使它们适合题意，需要与曲线有两个交点，与没有交点． 由题意知得， ，得， 由得， ，得． 故， 故选B． 【典例2】（2024届北京西城高三高考模拟试题（一））若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【解题策略】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详细解析】 问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 【典例3】（2025届九师联盟高三上期10月联考）已知函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 【解题策略】 （1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得. （2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围. （3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得. 【详细解析】 （1）依题意，， 由，得，则， 当，即时，；当，即时，， 所以函数在时的值域为. （2）不等式， 当时，； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此， 所以实数的取值范围为. （3）当时，在上单调递增， 又当时，值域为， 因此，即， 则是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得， 所以正数的取值范围为. 【方法归纳】 高中数学中，转换法是一种常用的解题技巧，它通过等价变换将复杂问题转化为简单问题，从而便于求解.以下是一些常见的转换法方法归纳： 1.函数转换：将复杂的函数表达式通过代数变换转化为更简单的形式. 2.方程转换：通过等价变换将高次方程转化为低次方程，或者将非线性方程转化为线性方程，便于求解. 以上两种方法是高中数学常用的转换法，掌握这些转换法方法，有助于求解函数与方程问题，零点问题，导数相关问题，对于提高解题效率和准确性具有重要意义. 【举一反三】 （2024-2025山西晋中部分校高三上期9月质量检测） 5．已知函数. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得、，结合两角和的余弦公式即可求解； （2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得的表达式，根据题意列出不等式组即可求解. 【详解】（1）由题意知， 因为， 所以，令，则，， 因为，所以， 由，得，所以， 所以 . （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 得到函数. 令，得，解得， 又在区间上没有零点，所以， 解得，，又， 所以当时，；当时，， 即的取值范围是. （2025届河南部分重点高中高三九师联盟模拟预测） 6．设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. （2024届四川百师联盟高三冲刺卷（三）） 7．已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得. 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． （2024届江西新余四中高三下期5月高考全真模拟（三）） 8．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系和倍角公式，得到，令，得到或，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为， 令，则，令，得到， 所以或，令，得到或，令，得到或， 又在上有且仅有两个零点，所以在上有且仅有两个零点， 所以，得到， 故选：B. （2024届湖南邵阳部分学校高三下期三模） 9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. （2024届内蒙古赤峰高三下期4.20模拟考试） 10．设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【详解】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. （2024-2025河南焦作高三上期开学考试） 11．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. （2024届天津北辰朱唐庄中学高三模拟预测） 12．设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】当时，， 当时， ， ， 两式相减可得：，所以， 又时，，所以不满足， 所以，设，数列的前项和， 所以， 设数列的前5项和为： . 故选：D. （2024届河北唐县一中高三下期二模） 13．已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据得到，从而求得的值，再代入点坐标求得，即可得到长轴长. 【详解】由，得，所以， 把及代入， 得，解得（舍去）或， 所以，椭圆的长轴长为. 故选：B. （2024届四川绵阳南山中学高三下期高考仿真演练（一）） 14．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A． B．8 C．或8 D．4 【答案】C 【分析】先作出函数时的图象，设，求出或，结合图象分类讨论，即可求得答案. 【详解】是定义在上的奇函数，则时，； 由题意知当时，， 当时，，则， 当时，，则， 依此类推，可作出当时，时的图象： 设，则即为， 解得或， 当时，有一个根为， 要使得方程恰有4个不相等的实数根， 可分两种情况考虑： 当时，有3个根，不妨设为，且满足， 此时这4个实数根之和为8； 结合函数的奇偶性可知，当时，有3个根， 不妨设为，且满足， 此时这4个实数根之和为； 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$