第01讲 一元二次方程的概念与解法（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假七升八数学衔接讲义（沪教版）

第01讲 一元二次方程的概念与解法（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 根据一元二次方程求参数 典型例题三 解一元二次方程——直接开平方法 典型例题四 解一元二次方程——配方法 典型例题五 公式法解一元二次方程 典型例题六 因式分解法解一元二次方程 典型例题七 一元二次方程的新定义计算 典型例题八 配方法的应用 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点04 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点05 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点06 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 1、因式分解的主要方法： ①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 ②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： ③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 2、解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于的一元二次方程的常数项为（   ） A．0 B． C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可． 【详解】解：关于的一元二次方程即的常数项为 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义.把代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为：. 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：B 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2018． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； （2）解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 4．（24-25八年级上·上海静安·课后作业）若m是一元二次方程的一个实数根． （1）求a的值； （2）不解方程，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，即可求解； （2）利用方程的解得到，推出和，再整体代入原式即可求解． 【详解】（1）由于是关于的一元二次方程， 所以， 解得； （2）由（1）知，该方程为， 把代入，得， 所以，① 由，得， 所以，② 把①和②代入， 得， 即． 【点睛】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得和是解题的关键． 【典型例题二 根据一元二次方程求参数】 【例1】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 【例4】（24-25八年级上·上海奉贤山·阶段练习）方程的二次项系数为3，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数为3，一次项系数为． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·上海青浦·开学考试）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 【典型例题三 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了解一元二次方程，直接对方程的右边开平方即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得． 【详解】解：， 或， 故选：D． 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 【例5】（24-25八年级上·上海静安·期中）解方程: ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解得，． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，可化为，两边直接开平方得出x的值，进而可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两个根是与， ∴， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义：关于的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． （）写出方程的“再生韦达方程” ． （）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程” ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（）求出方程的解，再求出、，进而即可求解； （）由“原生方程”和“再生韦达方程”的定义可得，即得，得到方程的一个根为，另一个根为，据此即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，理解方程的新定义是解题的关键． 【详解】解：（）由方程得，， ∴，， ∴，， ∴方程的“再生韦达方程”为， 即， 故答案为：； （）由题意可得， ∴， 即， ∴，， ∴方程的一个根为，另一个根为， ∴符合题意的一元二次方程可以为，即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·期中）解关于x的方程：． 【答案】当时，，当时，方程无实数根 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先变形，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：， 整理得：，即， 当时，， 当时，方程无实数根． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： (1)多项式关于__________平衡； (2)若关于的多项式关于平衡，则__________； (3)关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 【答案】(1) (2)5 (3)， 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和解一元二次方程的方法是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得； （3）利用完全平方公式进行配方可得，从而可得，，则方程为，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，多项式有最小值， ∴多项式关于平衡， 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡， ∴， 故答案为：5． （3）解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡，且最小值为6， ∴，， ∴， ∴方程为， 解得，． 【典型例题四 解一元二次方程——配方法】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以，， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）配方法解一元二次方程，应在方程两边同时加上 【答案】9 【分析】本题考查配方法，将方程的二次项系数化为1，常数项移到等式的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，进行配方，求解即可． 【详解】解：∵， 配方，得：，即：； 故答案为：9． 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·上海普陀·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)四， (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程： （1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为； （2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是， 故答案为：四，； （2）解：， ， ． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 【详解】解：， ； 按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解． 故选：B 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的运算、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和配方法解一元二次方程是解题的关键．根据题意，用分别表示出至，再由得出关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 配方得：， 解得：，， 经检验：，都是分式方程的解， 的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； 【详解】（1）解：（）∵， ∴， ∴或 ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： (1)将代数式用配方法可转化为______． (2)已知，则______，______． (3)请求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质； （1）把原式化为，再结合完全平方公式进一步解答即可； （2）把化为，再与比对即可； （3）把化为，结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴，； （3）解： ； ∵， ∴， ∴的最小值为； 【典型例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长度为 ．（用含有根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据，结合线段的长为1，，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：或（舍去）； 故答案为：． 【例5】（2025·上海虹口·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，见解析 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （2）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （3）根据题意，假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，由此即可求解． 【详解】[规律发现] （1）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； （2）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； [规律应用 （3）不存在， 理由如下：假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，        整理得：， 解得， 不是正整数，与题意中的是正整数不符， ∴不存在正整数，使得“”的个数是“”的个数倍． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 2．（2024·上海长宁·模拟预测）观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ． 【答案】不存在 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个，根据图形中“”和“”个数的变化，可找出变化规律；，令即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个， 观察图形， 可知∶，， ； ，， ； 当时， ，即， 解得或，均不为整数，不符合题； 当时， ，即， ，无解； 综上，n的值不存在 故答案为：不存在． 3．（2025·上海崇明·模拟预测）（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【答案】（1），；（2）没有考虑的情况；当时， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程-公式法直接求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案． 【详解】解：（1）这里， ， ，； （2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况； 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程， 解得：； 故答案为：没有考虑的情况；当时，． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确 (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确； （2）解：， ， ， 或， ，． 【典型例题六 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（2025·上海静安·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程得或，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，即可求出m的值． 【详解】解：解方程， 得或， ∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ， ． 故选：D． 【例2】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为， 则有 移项得：， 根据完全平方公式， 对进行因式分解可得： ， 根据平方根得性质，若，则， 所以，解得． 故选A． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解一元二次方程的解的定义，难度不大． 根据一元二次方程的定义直接构造即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是 ． 【答案】0或2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键． 按照相应的运算方法与顺序，让得到的含的一元二次方程的结果为，列式求值即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得：或． 故答案为：0或2 ． 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了运用因式分解法来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答． （2）把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴，               ∴，或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴，即， ∴，或， ∴，． 1．（2025八年级上·上海静安·专题练习）已知方程有M个解，方程有N个解，其中，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】这道题主要考查解一元二次方程的因式分解法以及分类讨论思想，对于方程，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程，同样依据上述原理求解，但需要分，以及且等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系． 【详解】解：， ∴或， ∴或， ∵， ∴， 当，时，方程变为， 解得，此时， 当，时，方程变为， 解得x，此时， 当，时，方程变为或解得或，此时， ∴当或时，，，； 当且时，，，， ∴或． 故选：C． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的方程是邻根方程， ∴或， 解得，或3， 故答案为：1或3． 3．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法求方程根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解：∵， ∴ 解得，． 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 【典型例题七 一元二次方程的新定义计算】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 【例2】（2024八年级上·上海宝山·专题练习）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，则， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：或（舍）； ③当时，则， ∴，即， 解得或（舍）； ④当时，，方程没有实数解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）新定义：．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据题意得到，即，得到，求出或，即可得到答案． 【详解】解：新定义：，， ，即， ， 解得：或， 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·期末）对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（      ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【答案】B 【分析】根据题意，分两边情况：时，，；时，，，据此分别求出的值即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，解答此题的关键是注意分两种情况讨论． 【详解】解：表示，中的较大值，， 当时，，， ， 解得或，舍去）． 当时，，， ， 解得或，舍去）． 综上，可得若， 则的值是5或． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得：， ， ， 代数式的最小值是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海静安·单元测试）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：． (1)填空：________； (2)按照这个规定，解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，分两种情况，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：当时，有，解得，（舍去）， 时，有，解得，（舍去）． 综上：或． 4．（24-25八年级上·上海金山·期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴， 解得； （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 【典型例题八 配方法的应用】 【例1】（24-25八年级上·上海松江·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 【例3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 【例5】（24-25八年级上·上海虹口·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 ． 对于多项式，当＝ 时，它的最大值为 ． 【答案】 1 1 7 【分析】本题考查配方法，根据配方法即可求出答案． 【详解】 当时，多项式有最小值，最小值是1． ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)代数式的最小值为 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）配方得出，结合题意得出，求解即可； （3）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，为， ∵代数式的最小值为2， ∴， 解得：； （3）解：，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∴． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 的值可以是1， 故选：D． 3．（2025·上海金山·模拟预测）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1 ＝x2+2•3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10， ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2﹣4x+5的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】D 【分析】利用配方法将多项式进行化简，即可得到最值． 【详解】解：x2﹣4x+5， ＝x2﹣4x+4﹣4+5， ＝（x﹣2）2+1， ∵无论x取何实数，总有（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+1≥1， 即无论x取何实数，二次三项式x2﹣4x+5有最小值是1， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 5．（2024·上海宝山·模拟预测）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题． 【迁移运用】计算的值 解：设原式，则可分析得： 根据上述方程解得：， 而原式，故：原式 【联系拓展】___________ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目呈现的“整体替换法”，令，，作差即可求解． 【详解】解：设，， 则， 故选：B． 【点睛】本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中． 6．（24-25八年级上·上海·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ，即 ∴一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 8．（24-25八年级上·上海普陀·期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题意，得为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵， ∴为方程的一个根， ∵一元二次方程的两根分别为，，且， ∴方程的另一个根为2或者 当方程的两根分别为，2时，得 得， ∴ 当方程的两根分别为，时，得 得，即 ∴ 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2﹣4x﹣1=0②x（2x+1）=8x﹣3③x2+3x+1=0④x2﹣9=4（x﹣3）我选择第 个方程． 【答案】①    ②    ③   ④ 【详解】解：我选第①个方程，解法如下： x2-4x-1=0， 这里a=1，b=-4，c=-1， ∵△=16+4=20， ∴x= =2±， 则x1=2+，x2=2-； 我选第②个方程，解法如下： x（2x+1）=8x-3， 整理得：2x2-7x+3=0， 分解因式得：（2x-1）（x-3）=0， 可得2x-1=0或x-3=0， 解得：x1=，x2=3； 我选第③个方程，解法如下： x2+3x+1=0， 这里a=1，b=3，c=1， ∵△=9-4=5， ∴x= ， 则x1=，x2=； 我选第④个方程，解法如下： x2-9=4（x-3）， 变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0， 因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0， ∴x-3=0或x+3-4=0， ∴x1=3，x2=1. 10．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接平开方法、公式法，配方法，因式分解法是解题的关键． （1）直接用开平方法求解即可； （2）用公式法求解，先求得，得出方程无解即可； （3）用配方法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解：， ， ∴， ∴方程没有实数根； （3）解：， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， 或， ，． 12．（24-25八年级上·上海青浦·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：是常数且），其中a 、b、c分别为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，解题的关键是化为一般形式． （1）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． （2）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． （3）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． （4）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：； （2）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：； （3）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：； （4）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：． 13．（2024八年级上·上海·专题练习）从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】(1)一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根． （1）根据一元二次方程根的定义即可求解； （2）将代入方程，验证左右两边相等，可知也是方程的一个根． 【详解】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 14．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 15．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程的概念与解法（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 根据一元二次方程求参数 典型例题三 解一元二次方程——直接开平方法 典型例题四 解一元二次方程——配方法 典型例题五 公式法解一元二次方程 典型例题六 因式分解法解一元二次方程 典型例题七 一元二次方程的新定义计算 典型例题八 配方法的应用 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点04 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点05 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点06 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 1、因式分解的主要方法： ①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 ②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： ③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 2、解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于的一元二次方程的常数项为（   ） A．0 B． C．4 D．7 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ． 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 4．（24-25八年级上·上海静安·课后作业）若m是一元二次方程的一个实数根． （1）求a的值； （2）不解方程，求代数式的值． 【典型例题二 根据一元二次方程求参数】 【例1】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【例2】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海奉贤山·阶段练习）方程的二次项系数为3，一次项系数为 ． 【例5】（24-25八年级上·上海青浦·开学考试）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【典型例题三 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 【例5】（24-25八年级上·上海静安·期中）解方程: ． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义：关于的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． （）写出方程的“再生韦达方程” ． （）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程” ． 3．（24-25八年级上·上海·期中）解关于x的方程：． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： (1)多项式关于__________平衡； (2)若关于的多项式关于平衡，则__________； (3)关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 【典型例题四 解一元二次方程——配方法】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【例3】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）配方法解一元二次方程，应在方程两边同时加上 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 【例5】（24-25八年级上·上海普陀·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)（配方法）． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： (1)将代数式用配方法可转化为______． (2)已知，则______，______． (3)请求出代数式的最小值． 【典型例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长度为 ．（用含有根号的式子表示） 【例5】（2025·上海虹口·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海长宁·模拟预测）观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ． 3．（2025·上海崇明·模拟预测）（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【典型例题六 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（2025·上海静安·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【例2】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是 ． 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）解下列方程： (1)； (2)． 1．（2025八年级上·上海静安·专题练习）已知方程有M个解，方程有N个解，其中，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025·上海虹口·模拟预测）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 3．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【典型例题七 一元二次方程的新定义计算】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 【例2】（2024八年级上·上海宝山·专题练习）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）新定义：．若，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·期末）对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为 ． 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（      ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·上海静安·单元测试）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：． (1)填空：________； (2)按照这个规定，解方程． 4．（24-25八年级上·上海金山·期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【典型例题八 配方法的应用】 【例1】（24-25八年级上·上海松江·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【例2】（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【例3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【例5】（24-25八年级上·上海虹口·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 ． 对于多项式，当＝ 时，它的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2025·上海青浦·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D．1 3．（2025·上海金山·模拟预测）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1 ＝x2+2•3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10， ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2﹣4x+5的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 5．（2024·上海宝山·模拟预测）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题． 【迁移运用】计算的值 解：设原式，则可分析得： 根据上述方程解得：， 而原式，故：原式 【联系拓展】___________ A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 8．（24-25八年级上·上海普陀·期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2﹣4x﹣1=0②x（2x+1）=8x﹣3③x2+3x+1=0④x2﹣9=4（x﹣3）我选择第 个方程． 10．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 12．（24-25八年级上·上海青浦·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2) (3) (4) 13．（2024八年级上·上海·专题练习）从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 14．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 15．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$