专题11.4 整式的除法（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题11.4 整式的除法（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 1 【题型2 单项式除以单项式】 2 【题型3 多项式除以单项式】 2 【题型4 整式的混合运算】 3 【题型5 整式的化简求值】 3 【题型6 利用整式的除法求值】 4 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 4 【题型8 整式除法的实际应用】 5 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点2 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 知识点3 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 【例1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）已知，，则的值是 ． 【题型2 单项式除以单项式】 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学  问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ． 账号： ， ， 密码． 【变式2-1】若是正整数，且，则 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【变式2-3】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【题型3 多项式除以单项式】 【例3】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：   ，所捂多项式是 ． 【变式3-1】与单项式的积是的多项式是 ． 【变式3-2】数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，其中n是正整数，的值是（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【题型4 整式的混合运算】 【例4】小红在计算时，解答过程如下： 解： ① ② ③ ④ 小红的解答过程，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5 整式的化简求值】 【例5】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【变式5-1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【变式5-3】已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 【题型6 利用整式的除法求值】 【例6】（24-25八年级上·青海海北·期末）已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【变式6-2】若被除后余3，则的值为 ． 【变式6-3】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 【例7】如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【变式7-1】（2025·陕西西安·一模）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 【变式7-3】如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 ． 【题型8 整式除法的实际应用】 【例8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】小杜在爬一小山时，前一阶段的平均速度为v，所用时间为；后一阶段的平均速度为，所用时间为．下山时，小杜的平均速度保持为，已知小杜上山的路程和下山的路程是相同的，那么小杜下山所用时间为 ． 【变式8-2】从1~9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个三位数．先把这六个三位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和，其结果是 ． 【变式8-3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）小刚在做作业时，不小心在算式上滴了一滴墨水，于是他翻书找到答案，正确结果为．请你帮助小刚求出“█”处应表示的数； （2）某校有一个长方形操场，长为米，宽为米，为了美化校园环境，学校决定在操场内四周做a米宽的绿化带，负责后勤的黄老师让小明和小颖计算剩下的操场的面积，小明计算的结果是，小颖计算的结果是，他们为此争论不休，你能运用所学的知识来帮他们判断对错吗？并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.4 整式的除法（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 2 【题型2 单项式除以单项式】 3 【题型3 多项式除以单项式】 6 【题型4 整式的混合运算】 7 【题型5 整式的化简求值】 10 【题型6 利用整式的除法求值】 12 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 14 【题型8 整式除法的实际应用】 16 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点2 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 知识点3 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 【例1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，求出，则，可得，据此可判断A；根据得到，则，据此可判断A、B；计算出，则可得，则，据此可判断C． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴，即，故D结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； 故选；C． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 2 81 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 又 ∴ ， 故答案为：2；81 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）已知，，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据有理数乘方的逆运算可得，再根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：2． 【题型2 单项式除以单项式】 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学  问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ． 账号： ， ， 密码． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-1】若是正整数，且，则 ． 【答案】48 【分析】根据积的乘方运算，单项式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵，n是正整数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，单项式的除法运算，正确的计算是解题的关键． 【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-3】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，表示， ， 故答案为：m． 【题型3 多项式除以单项式】 【例3】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：   ，所捂多项式是 ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】由题意可得，所捂多项式是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式3-1】与单项式的积是的多项式是 ． 【答案】 【分析】直接利用多项式除以单项式的运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵一个多项式与单项式的积是， ∴这个多项式为：÷() =÷ =÷ =-2a+2b． 故答案为：-2a+2b． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式3-2】数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可． 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式3-3】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，其中n是正整数，的值是（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选D． 【题型4 整式的混合运算】 【例4】小红在计算时，解答过程如下： 解： ① ② ③ ④ 小红的解答过程，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据整式混合运算法则，进行判断即可． 【详解】解： ， 因此小红的解答过程，开始出错的一步是②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式，． 【变式4-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的混合运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，此选项计算错误； B．，此选项计算错误； C．，此选项计算正确； D．，此选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的法则是解题的关键 【变式4-2】对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，明确题意、运用新运算法则得到代数式是解题的关键． 先根据新运算法则得到代数式，然后再运用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，整式的除法解答即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式，整式的加减解答即可； （3）根据平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 … ． 【题型5 整式的化简求值】 【例5】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，解二元一次方程组，正确建立a，b的方程组是解题的关键． 先化简得，再根据输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是，得，解之即可求解． 【详解】解： 由题意，得， 解得：， ∴a，b的值分别为2，3． 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘以多项式、积的乘方、整式的除法的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，由题意可得，代入计算即可． 【详解】解： ∴原式． 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则． （1）先根据平方差公式和合并同类项法则求出，再根据，求出，最后再列出算式，利用多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则求出即可； （2）把代入（1）中所求的，进行计算即可． 【详解】（1）解： , ∵， ， ∴, ∴ ； （2）当时， ． 【变式5-3】已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 【答案】C 【分析】本题考查整式化简求值，因式分解的应用． 先化简，再根据得，求得或，从而求得或，再代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵ ∴或， ∴当时，原式， 当时，原式， ∴或69． 故选：C． 【题型6 利用整式的除法求值】 【例6】（24-25八年级上·青海海北·期末）已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 【变式6-1】若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 【变式6-2】若被除后余3，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据被除后余3，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得的值． 【详解】解：∵被除后余3， ∴可被整除， ∴为的一个因式， ∴当，即时，， 即， 解得． 故答案为：． 【变式6-3】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据规律得到，进而得到，得到，再代入即可求解． 【详解】解：根据规律得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了探索规律，平方差公式，多项式乘多项式，多项式除以单项式并求值，解题的关键是得到． 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 【例7】如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽. 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可. 【详解】解：根据题意，得该纸盒的容积为， ∴纸盒底部长方形的宽为， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为：. 【变式7-1】（2025·陕西西安·一模）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘法和除法、整式加减的应用，设长方形的B的长为，则宽为，进一步表示出长方形A的长和宽，即可求出答案． 【详解】解：设长方形的B的长为，则宽为， 由B、D的面积相等可得D的较短边长为，较长边为， ∴长方形A的较长边为， 由A、B面积相等可知长方形A较短边 ， ∴长方形A的长宽之比为． 故选：D 【变式7-2】如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式是解题的关键． 由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可． 【详解】解：由题意知，大长方形的面积为， ∵， ∴需要C类卡片张数为张， 故答案为：． 【变式7-3】如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 ． 【答案】 【分析】先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案． 【详解】设新长方形的高度为x． 原面积为： 根据题意“新的长方形的面积保持不变”，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是求出原图形的面积． 【题型8 整式除法的实际应用】 【例8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【详解】解：根据题意，小辰报的整式为 故选：D． 【变式8-1】小杜在爬一小山时，前一阶段的平均速度为v，所用时间为；后一阶段的平均速度为，所用时间为．下山时，小杜的平均速度保持为，已知小杜上山的路程和下山的路程是相同的，那么小杜下山所用时间为 ． 【答案】 【分析】根据时间等于路程除以速度，进行计算即可． 【详解】解： ； 答：小杜下山所用时间为； 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式除以单项式．熟练掌握多项式除以单项式的法则，是解题的关键． 【变式8-2】从1~9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个三位数．先把这六个三位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和，其结果是 ． 【答案】222 【分析】先设出这三个数，再将这六个数表示出来，然后相加除以该三位数字的和即可． 【详解】解：设这三个数分别为， 由这三个数字组成的六个三位数分别为：，，，，，； ∴这六个数的和为：； ∴， 故答案为：222． 【点睛】本题考查了整式的应用，涉及到了整式的加法和除法运算，解题关键是正确表示出六个三位数，并求出它们的和． 【变式8-3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）小刚在做作业时，不小心在算式上滴了一滴墨水，于是他翻书找到答案，正确结果为．请你帮助小刚求出“█”处应表示的数； （2）某校有一个长方形操场，长为米，宽为米，为了美化校园环境，学校决定在操场内四周做a米宽的绿化带，负责后勤的黄老师让小明和小颖计算剩下的操场的面积，小明计算的结果是，小颖计算的结果是，他们为此争论不休，你能运用所学的知识来帮他们判断对错吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）小颖的结果对，理由见解析 【分析】本题主要考查整式的加减乘除运算的应用，熟练掌握整式加减乘除运算法则是解题的关键． （1）根据乘除和加减的相互转化，列出算式，计算得到答案； （2）用大长方形面积减去绿化带面积，得小颖的计算结果正确． 【详解】解：（1） 所以“█”处应表示的数为； （2）小颖的结果对；理由： 由题意得： 与小颖的计算结果相同，因此小颖的结论正确． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$