第02讲 有理数的加法与减法 讲义（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年六年级上册数学（沪教版2024）

第02讲 有理数的加法与减法（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数加法运算 典型例题二 有理数的减法运算 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数的加减混合运算 典型例题五 有理数加减中的简便运算 典型例题六 有理数加法在生活中的应用 典型例题七 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【典型例题一 有理数加法运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025六年级上·上海松江·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）若，，，则的绝对值是 ． 【例4】（24-25六年级上·上海闵行·期中）A、B为同一数轴上的两点，，若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 【例5】（2024六年级上·上海长宁·专题练习）计算：． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期末）高速铁路以更快、更安全、更舒适的生活体验成为人们日常出行中的首选，若G3666次列车自“建平站”到“北京朝阳站”中途还需经过“牛河梁”和“承德南”两站，（列车单向行驶）那么列车在这段路程中售出的车票共有几种（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、书店（记为C）依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了80米达到D处．如果把这条大街看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请用数轴表示上述A，B，C，D的位置． 5．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【典型例题二 有理数的减法运算】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【例2】（2025六年级上·上海金山·专题练习）如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（   ） A． B．或 C．2 D． 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是 ． 【例4】（2024六年级上·上海宝山·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例5】（24-25六年级上·上海长宁·期末）符号“”，“”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下： ①，，，，，…； ②，，，，，…． 利用以上规律计算： ． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）已知，，且，求的值． 5．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【例3】（2024六年级上·上海奉贤·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）计算： ． 【例5】（24-25六年级上·上海松江·期中）计算 (1) (2) 1．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）定义一个新运算 ，已知，则 ． 4．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【典型例题四 有理数的加减混合运算】 【例1】（2024六年级上·上海闵行·模拟预测）把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，在一条不完整的数轴上，点表示的数是2，点先向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．则点表示的数为（    ） A． B． C．6 D．2 【例3】（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【例4】（2025六年级上·上海静安·专题练习）计算． (1)； (2)． 【例5】（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 2．（24-25六年级上·上海崇明·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，求算式的值是 ． 4．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【典型例题五 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2024六年级上·上海闵行·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期末） ， ， ． 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 【例5】（24-25六年级上·上海静安·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 1．（24-25六年级上·上海长宁·单元测试）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 2．（2024六年级上·上海宝山·模拟预测）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 3．（2024六年级上·上海松江·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 4．（24-25六年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 5．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面文字： 对于 可以按如下方法进行计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算： 【典型例题六 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期中）有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 【例4】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【例5】（24-25六年级上·上海静安·期中）一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 1．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）某面粉厂加工的面粉袋上，标有标准质量为的字样，从中产品中任意拿出一袋称重，质量不符合标准重量的要求的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）某电商购进脐橙产品网上售卖，原计划每天卖200脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出______脐橙； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； (3)若电商以2.5元/的价格购进脐橙，又按6元/出售脐橙，且电商需为买家按0.5元/的价格支付脐橙的运费，求电商本周一共赚了多少元？ 5．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【典型例题七 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）一个点从直线上某点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时，这个点表示的数是1，则起点表示的数是（    ）． A．2 B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海崇明·期中）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为（    ） 星期三 星期四 ■ 星期五 三天合计 A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·期中）小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）一个病人每天下午需要测量血压，该病人上周日的收缩压为120单位，下表是该病人这周一到周五与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周四的收缩压是 单位． 星期 一 二 三 四 五 增减 【例5】（24-25六年级上·上海虹口·期末）学习有理数运算之后，学习兴趣小组利用家长微信账单的记录，了解家庭的一周收支情况．一周的账单记录(收入记为正，支出记为负)如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 合计 收支数(单位：元) 请你计算周六的收支数，并说明周六是收入还是支出，金额是多少？ 1．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    4．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． (1)小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 (2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ (3)小甲虫离出发点最远多少厘米？ 5．（24-25六年级上·上海静安·期末）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 表二 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）有理数的加法交换律： ；有理数的结合律： ． 7．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值为 ． 8．（24-25六年级上·上海长宁·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 9．（24-25六年级上·上海崇明·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 11．（2024六年级上·上海松江·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024六年级上·上海普陀·专题练习）分别是数轴上两个不同点所表示的有理数，且，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数； (2)两点相距多少个单位长度？ (3)点从点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作2024次后，求点表示的数． 13．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）中秋节爸爸带玲玲从家出发去奶奶家，爸爸用百度导航查看路况，如下图，其中拥堵路段占全程的，缓慢路段占全程的，本次行程中，畅通路段共占全程的几分之几？当爸爸行驶到全程的时，已驶出拥堵路段，又继续行驶了全程的，此时爸爸是否进入了行驶缓慢路段？ 15．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 任务： (1)小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是_______、_______、_______； (2)按小明的方法计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 有理数的加法与减法（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数加法运算 典型例题二 有理数的减法运算 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数的加减混合运算 典型例题五 有理数加减中的简便运算 典型例题六 有理数加法在生活中的应用 典型例题七 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【典型例题一 有理数加法运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 【例2】（2025六年级上·上海松江·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）若，，，则的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数加法，首先依据绝对值的定义求得、，结合条件，进行分两种情况计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴；； ∵， ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海闵行·期中）A、B为同一数轴上的两点，，若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴与有理数，根据两点间的距离公式，分点在点左侧和右侧两种情况，进行求解即可． 【详解】解：∵，点A所表示的数是， ∴点表示的数为：或； 故答案为：或． 【例5】（2024六年级上·上海长宁·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握裂项法．将变形为，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期末）高速铁路以更快、更安全、更舒适的生活体验成为人们日常出行中的首选，若G3666次列车自“建平站”到“北京朝阳站”中途还需经过“牛河梁”和“承德南”两站，（列车单向行驶）那么列车在这段路程中售出的车票共有几种（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用．熟练掌握单向行驶车票种类的计算办法，是解题的关键． 自“建平站”到“北京朝阳站”到“牛河梁”到“承德南”的列车单向行驶，那么列车在这段路程中售出的车票“建平站”的有3种，共有几种，“北京朝阳站”的有2种，“牛河梁”的有1种，相加即得． 【详解】解：（种）． 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题． 【详解】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，， 则所有整数的和为， 故答案为：3． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、书店（记为C）依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了80米达到D处．如果把这条大街看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请用数轴表示上述A，B，C，D的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴的知识，解答本题的关键是找出关键点及正方向． 根据题意，可设从西向东方向为正方向，学校所在位置为原点，则很容易用数轴来表示A、B、C、D的位置． 【详解】解：根据题意，可设从西向东方向为正方向，学校所在位置为原点， （米）， ∴点D位于学校西边40米处， 则用数轴表示上述A，B，C，D的位置如下： 5．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)适用，举例见解析（答案不唯一） 【分析】此题考查了新定义运算，以及有理数的加法运算． （1）根据所给算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可． （2）根据新定义，先算中括号里，再算中括号外即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） ． 故答案为：； （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 【典型例题二 有理数的减法运算】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 【例2】（2025六年级上·上海金山·专题练习）如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（   ） A． B．或 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据，可得：的和为正数，再根据，，可得，或，这2种情况满足的和为正数，然后即可求解的值； 【详解】解：∵， ∴的和为正数， ∵，， ∴，， 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 综上所述，存在2种情况，即，或，这2种情况满足的和为正数， ∴当，时，，当，时，， 故选：B； 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的平移，熟练掌握规律是解题的关键．根据向左平移减，解答即可． 【详解】解：根据题意，得点A表示的数为2，将点A向左移动6个长度单位后得新数为． 故答案为：． 【例4】（2024六年级上·上海宝山·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【例5】（24-25六年级上·上海长宁·期末）符号“”，“”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下： ①，，，，，…； ②，，，，，…． 利用以上规律计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的减法运算，根据题目中的式子的运算法则得出，，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：根据题意可知：，， 则， 故答案为：1． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，根据图以及图所表示的算式，领会图中圆所表示的意义，根据图所表示的规律得到图表示的算式． 【详解】解：由图可知，左边有个带有“”号的圆，表示， 又增加了个带有“”号的圆，表示增加了， 然后与抵消， 还剩下个带“”号的圆，表示还剩下， 这个算式应表示为：． 故答案为： ． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值、代数式求值等知识点，根据题意求得或、成为解题的关键． 根据绝对值的意义并结合已知条件分别求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴或、， ∴或． 答：的值为或． 5．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【答案】(1)不是，不是 (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断． （1）根据黄金集合的定义判断即可； （2）根据黄金集合的定义求解即可； （3）根据黄金集合的定义求解即可 【详解】（1）解：根据黄金集合的定义，，而集合中没有9， 故集合不是黄金集合； 对于因为，而集合中没有0， 故集合不是黄金集合， 故答案为：不是，不是； （2）解：因为，， 所以是黄金集合， 因为，，，， 所以是黄金集合； （3）解：因为， 所以是元素个数最少的黄金集合． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 【例3】（2024六年级上·上海奉贤·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键．根据同分母分数可以利用凑整法，解答即可． 【详解】观察分母，在计算时， 中可以填， 得 ． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算并利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 【例5】（24-25六年级上·上海松江·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)32 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法法则可进行求解； （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 1．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）定义一个新运算 ，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 4．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 5．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【典型例题四 有理数的加减混合运算】 【例1】（2024六年级上·上海闵行·模拟预测）把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，在一条不完整的数轴上，点表示的数是2，点先向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．则点表示的数为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的移动规律，掌握左减右加是解题的关键．根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 所以C点表示的数为6． 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 【例4】（2025六年级上·上海静安·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的运算方法． （1）根据有理数的加法运算求解结果即可； （2）根据有理数的加减法结合律运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【例5】（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据材料中的规律写出答案即可； （2）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可； （3）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式； 综上，的值为或， 故选：D 2．（24-25六年级上·上海崇明·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用新定义的运算将原式化为，再去括号，运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，求算式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力．根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【详解】解：把正方形看作单位“1”，由图可得， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 5．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【答案】（）；；；（）；． 【分析】（）根据题意可知，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （）根据题意可去绝对值得到，由有理数加减运算法则求解即可； 根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可； 本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意，掌握去绝对值的方法是解题的关键． 【详解】解：（）； ； ； 故答案为：；；； （）解：原式 ， 故答案为：； 解：原式 ． 【典型例题五 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2024六年级上·上海闵行·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据算式的特点解答即可． 【详解】解： ， ∴画线的步骤中使用了加法结合律． 故选D． 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期末） ， ， ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据有理数的运算计算结果即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为2，，． 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 【答案】② 【分析】根据有理数的加减运算和添括号法则可作出判断． 【详解】解： ， 第②步括号内没变符号导致错误，即开始出现错误的那一步对应的序号是②， 故答案为：②． 【点睛】本题考查有理数的加减，添括号法则，解题的关键是掌握添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变正负号，添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号检验一下． 【例5】（24-25六年级上·上海静安·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．（24-25六年级上·上海长宁·单元测试）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 故选：． 2．（2024六年级上·上海宝山·模拟预测）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 3．（2024六年级上·上海松江·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 4．（24-25六年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面文字： 对于 可以按如下方法进行计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律． 仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得． 【详解】解：原式 ． 【典型例题六 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的实际应用，掌握理解题意是解题的关键． 根据有理数的加法计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，把水库连续三天的水位变化情况相加即可． 【详解】解：这三天水位上涨的高度可表示为， 故选：C 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期中）有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，数轴上点的移动规律是“左减右加”，所以此蚂蚁所在的位置表示的数是． 【详解】解：蚂蚁所在的位置为：． 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】+4/4 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴尹老师当天微信收支的最终结果是收入4元， 故答案为：4． 【例5】（24-25六年级上·上海静安·期中）一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是 (2)小虫可得到96粒芝麻 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值． （1）由题意知，计算，根据计算结果的正负作答即可； （2）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是； （2）解：由题意知，， ∵每爬行，奖励3粒芝麻， ∴（粒）， 答：小虫可得到96粒芝麻． 1．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）某面粉厂加工的面粉袋上，标有标准质量为的字样，从中产品中任意拿出一袋称重，质量不符合标准重量的要求的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减的应用， 熟练掌握相关计算是解题的关键； 根据题意得到标准重量的范围，选项进行比较即可求解； 【详解】解：根据题意，可以得到标准重量为到， A、B、C、选项都符合标准重量的要求， D选项质量不符合标准重量的要求， 故选：D 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【详解】解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）某电商购进脐橙产品网上售卖，原计划每天卖200脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出______脐橙； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； (3)若电商以2.5元/的价格购进脐橙，又按6元/出售脐橙，且电商需为买家按0.5元/的价格支付脐橙的运费，求电商本周一共赚了多少元？ 【答案】(1)607 (2)30 (3)4260 【分析】本题主要考查正数和负数的问题以及有理数的，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）前三天共卖出的脐橙为，计算即可； （2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售（）； （3）先计算脐橙的总量，再根据：总量（售价进价运费）代入数据计算，结果即为赚到的钱数． 【详解】（1）解：前三天共卖出的脐橙为（）； （2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售（）； （3）（）， （元， 答：电商本周一共赚了4260元． 5．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【典型例题七 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）一个点从直线上某点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时，这个点表示的数是1，则起点表示的数是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数加减法的应用．根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， 即起点表示的数是， 故选：C 【例2】（24-25六年级上·上海崇明·期中）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为（    ） 星期三 星期四 ■ 星期五 三天合计 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加减运算的应用，解题的关键是理解题意；根据表格可得算式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·期中）小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 【答案】35 【分析】本题考查了，正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，根据题意列出算式，再进行有理数加减混合运算，即可求解；能根据实际意义列出算式并正确进行运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意：（元） 则食堂这一天共收入35元， 故答案为：35 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）一个病人每天下午需要测量血压，该病人上周日的收缩压为120单位，下表是该病人这周一到周五与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周四的收缩压是 单位． 星期 一 二 三 四 五 增减 【答案】100 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，准确计算是解题的关键．根据题意把表格的数字相加再加上120即可； 【详解】解：由题可知，本周星期四的收缩压为： ． 故答案是：100． 【例5】（24-25六年级上·上海虹口·期末）学习有理数运算之后，学习兴趣小组利用家长微信账单的记录，了解家庭的一周收支情况．一周的账单记录(收入记为正，支出记为负)如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 合计 收支数(单位：元) 请你计算周六的收支数，并说明周六是收入还是支出，金额是多少？ 【答案】周六是支出，金额是元 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，根据合计金额减去一周的已知数据得出周六的收支数，根据正负数的意义，即可求解． 【详解】解： 答：周六是支出，金额是元 1．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解． 【详解】解：∵九宫格数字总和为， ∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中最大数字可能是4， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法是解题的关键． 设小圈上的数为和，大圈上的数为，根据，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出两个圈的和是2，横，竖的和也是2，由此进行分析即可． 【详解】解：设小圈上的数为和，大圈上的数为， ∵，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横，竖的和也是2， ， 得， ， ∴和为和和为和6；或和为和和为和4， 或6或或4， 或或或， ∴不可能为3， 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    【答案】 【分析】本题考查有理数的加减应用，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 先根据最左边的一列三个数字和为，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是； 故答案为： 4．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． (1)小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 (2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ (3)小甲虫离出发点最远多少厘米？ 【答案】(1)小甲虫最后回到了出发点O，见解析 (2)162粒芝麻 (3)10厘米 【分析】本题主要考查正数和负数． （1）把爬过的路程记录相加，即可得解； （2）求出爬行过的各段路程的绝对值的和，再求得到的芝麻粒数； （3）分别计算出每次爬行后距离原点的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得：向右爬行的路程记为“”，向左爬行的路程记为“”．则小甲虫最后离开出发点的距离是： ， 答：小甲虫最后在点O的，即小甲虫最后回到了出发点O； （2）解：小甲虫从离开出发点开始走的路程是： （厘米） 在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是： （粒）， 答：在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是162粒芝麻； （3）解：， ， ， ， ， ， ∴小甲虫在爬行过程中离出发点O最远相距为10厘米． 5．（24-25六年级上·上海静安·期末）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 表二 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 【答案】(1)，，， (2)合格；理由见解析 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，理解“正”与“负”的相对性，能用正负数表示一对具有相反相成意义的量是解题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为70克，据此求解即可； （2）求出6次记录的和，判断其是否在与之间（包括）即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，标准质量为70克， ∴， ， ， ， 故填表如下： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量(克) （2）解：， ∵， ∴小颖买的蛋糕在总质量方面是合格的． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 根据有理数加减法法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，，且， ∴，， ∴． 故选：D． 4．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及简便运算，根据有理数加减运算法则及加法交换律和结合律计算即可判断． 【详解】解：， 可知甲不正确； ， 可知乙正确； 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握钟表上的运算方法是解题的关键． 根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可判定①； 根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可判定②； 运用钟表中加减运算方法进行验证即可判定③； 根据钟表运算的定义，举出反例即可验证④． 【详解】解：①根据题意可知， ，故①符合题意； ②在钟表中，相加得12的两个数互为相反数，所以4的相反数是8，故②符合题意； ③设，分别表示钟表中的数字， 的相反数为， ∴， 如的相反数为，， ∴．故③符合题意； ④当，，时， ， ， 则， 当时， 不一定成立，故④不符合题意． 综上，符合题意的有①②③共3个． 故选：B． 6．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）有理数的加法交换律： ；有理数的结合律： ． 【答案】 / 【分析】本题考查了有理数的加法交换律、结合律，根据有理数的加法交换律、结合律的意义即可得出答案，熟练掌握有理数的加法交换律、结合律的意义是解此题的关键． 【详解】解：有理数的加法交换律：，有理数的结合律：， 故答案为：，． 7．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海长宁·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算运算的应用，根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加减运算进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海崇明·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，首先算出12个数的和，要使添加负号后所有数之和等于零，则12个数分成两部分，正数之和、负数之和的绝对值相等，都是39，因此尝试添上负号的数较大即可得到n的值，从小的数字前添加负号，即可得到m的值，从而得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴添上负号的数的和为，其余数的和为39， ∵要填负号最少，需从大的数字前面加负号， ，， ∴至少要添4个负号， ∴， ∵要填负号最多，需从小的数字前面加负号， ，， ∴至多要添8个负号， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 11．（2024六年级上·上海松江·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)29 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再利用有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数的加减运算法则计算； （3）利用有理数的加减运算法则计算； （4）利用有理数的加减运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（2024六年级上·上海普陀·专题练习）分别是数轴上两个不同点所表示的有理数，且，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数； (2)两点相距多少个单位长度？ (3)点从点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作2024次后，求点表示的数． 【答案】(1)， (2)3个单位长度 (3)1007 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）用点B表示的数减去点A表示的数，即可解答； （3）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴，； （2）解：∵，， ∴； ∴两点相距3个单位长度； （3）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2024次后，P点表示的数为． 13．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）中秋节爸爸带玲玲从家出发去奶奶家，爸爸用百度导航查看路况，如下图，其中拥堵路段占全程的，缓慢路段占全程的，本次行程中，畅通路段共占全程的几分之几？当爸爸行驶到全程的时，已驶出拥堵路段，又继续行驶了全程的，此时爸爸是否进入了行驶缓慢路段？ 【答案】畅通路段共占全程的；当爸爸行驶到全程的时，又继续行驶全程的，此时爸爸进入了行驶缓慢路段． 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，设全程为单位“1”，用全程减去拥堵路段、缓慢路段求出畅通路程，即可求解；用全程减去两次行驶的路程，求出剩下的路程，然后与缓慢路段的长度比较即可． 【详解】解： 畅通路段占全程的，行驶进入了缓慢路段． 答：畅通路段共占全程的；当爸爸行驶到全程的时，又继续行驶全程的，此时爸爸进入了行驶缓慢路段． 15．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 任务： (1)小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是_______、_______、_______； (2)按小明的方法计算． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解： ； 故A，B，C处依次代表的数据是， ，； （2）解： 学科网（北京）股份有限公司 $$