精品解析：四川省德阳市博雅明德高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

德阳市博雅明德高级中学2025年春季学期高一 半期考试试题（数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于平面向量，下列说法正确是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C. 起点相同的单位向量，终点必相同 D. 向量模是一个正实数 4. 若函数最小正周期为，则（ ） A. B. 3 C. D. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在所在平面内，点满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分，每小题6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 11. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 是函数的对称轴 D. 在上的最小值为 三、填空题（共15分，每小题5分） 12. 已知，，与夹角为60°，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则m的值为______. 13. 若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 14. 下面四个命题， （1）函数在第一象限是增函数； （2）在中，“”是“”充分非必要条件； （3）函数图像关于点对称的充要条件是； （4）若，则. 其中真命题的是_________.（填所有真命题的序号） 四、解答题（共73分） 15. 已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）计算； 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值． 17. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 18. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 19. 设函数. （1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德阳市博雅明德高级中学2025年春季学期高一 半期考试试题（数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解. 【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为， 则，解得， 故选:D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 3. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C. 起点相同的单位向量，终点必相同 D. 向量的模是一个正实数 【答案】B 【解析】 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误， 大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确； 大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误， 零向量模为0，故D错误. 故选：B. 4. 若函数的最小正周期为，则（ ） A B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小正周期得到方程，求出. 【详解】因为的最小正周期为，所以，得. 故选：D 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据结合正弦函数的性质求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】在中，， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 在所在平面内，点满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果. 【详解】由向量的线性运算可知. 故选：C. 7. 已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用角度与弧度的转化，即可求解；对于②，利用扇形的面积公式及弧长公式，即可求解；对于③，取，即可求解；对于④，根据条件，利用象限角的范围，即可求解. 【详解】对于命题①，因为，所以命题①正确， 对于命题②，设扇形的半径为，弧长为，由题有，解得， 所以扇形的周长为，故命题②正确， 对于命题③，取，显然有是第一象限的角， 但，是第三象限角，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以角是第二象限角，故命题④正确， 故选：D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出、的值，进而得到、的值，最后根据，利用两角和的正切公式计算. 【详解】已知，，所以. 因为，所以. 所以， 即.  已知，，所以. 因为，所以. 所以， 即.  因为，根据两角和的正切公式可得： . 故选：D. 二、多选题（共18分，每小题6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错； 对于C，，， 所以与不一定相等，故C错误； 对于D，如图，设为的中点，点为的重心， 则，即，所以，故D正确； 故选：AD． 11. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 是函数的对称轴 D. 在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出函数图象平移后的函数解析式，然后根据余弦函数的周期、单调性、对称轴、最值等性质对每个选项进行求解和判断. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得函数的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等． 函数的图象向左平移个单位长度后得： ，最小正周期为，A正确； 时，单调递减. 为的单调递减区间， 当时，递减区间为，故B错误； 令，得， 当时，，故C正确； ，，， 最小值为，故 D正确. 故选：. 三、填空题（共15分，每小题5分） 12. 已知，，与夹角为60°，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则m的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求出结果. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为， . 故答案为：3. 13. 若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 【答案】（均可） 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出. 【详解】因为， 所以，解得，故可取. 故答案为：（均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题. 14. 下面四个命题， （1）函数在第一象限是增函数； （2）在中，“”是“”的充分非必要条件； （3）函数图像关于点对称的充要条件是； （4）若，则. 其中真命题的是_________.（填所有真命题的序号） 【答案】（3） 【解析】 【分析】（1）根据在第一象限内的图象可得单调区间，知（1）错误； （2）由三角形大边对大角和正弦定理可证得应为充要条件，知（2）错误； （3）将代入，利用整体对应的方式可求得，即知为充要条件，（3）正确； （4）利用范围确定的范围，可得的符号；利用，结合同角三角函数关系和二倍角公式化简，根据可化简得到，知（4）错误. 【详解】（1）在第一象限中的单调区间为：，；并非在第一象限内是增函数，（1）错误； （2）在中，若，则，由正弦定理知：，充分性成立； 若，由正弦定理知，则，必要性成立； 可知在中，“”是“”的充要条件，（2）错误； （3）关于点对称， ，，（3）正确； （4）当时， ， 又 ，（4）错误. 真命题为（3） 故答案为（3） 【点睛】本题是对三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的综合考查，涉及到三角函数单调区间和对称中心的求解、正弦定理的应用、同角三角函数关系、三角关系式的化简、充分条件与必要条件等知识. 四、解答题（共73分） 15. 已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）计算； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解. （2）由（1）的结论，利用向量数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由，与的夹角是，， 即. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ． 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果； （2）先由题意求出，， 根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为为锐角，所以，， 又，所以， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型. 17. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【小问1详解】 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． 【小问2详解】 由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 18. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式； （2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解. 【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示： 设，由，，可得，所以. ，，， 由题意可知，函数的最小正周期为，， 所以点距离水面的高度关于时间的函数为； （2）由，得， 令，则， 由，解得，又， 所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米. 【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 19. 设函数. （1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 【答案】（1）；单调递增区间为；对称中心为 （2）最小值；最大值. （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角公式化简，再利用周期公式求周期，令求单调增区间，令求对称中心； （2）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其值域； （3）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其零点. 【小问1详解】 ， 则最小正周期， 令，得， 则的单调递增区间为， 令，得， 则的对称中心为. 【小问2详解】 ，则，则， 则， 故当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 【小问3详解】 函数上有两个零点，则在上有两个根， 又，则， 结合正弦函数图象可得，，得， 则取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$