1.4 角平分线 课件 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

1.4 角平分线 第一课时 学习目标 1.探索证明角平分线的性质和判定. 2.能运用角平分线性质和其判定解决实际问题. 3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力. 复习展示 1.角平分线的定义？ 2.如何用尺规作图画角平分线？ 3.角平分线有什么性质？ 思考并回答下列问题 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 合作探究 合作探究 角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 书写格式： 如图， ∵OP平分∠AOB， PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE. 敲黑板：1.点在角平分线上 2.垂直距离 3.作用：证明线段相等 巩固训练 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. 角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 合作探究 思考：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上. 合作探究 角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 思考：逆命题的准确说法应该怎样说？ 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 证明：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE． 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 书写格式： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 划重点：1.位置关系：点在角的内部； 2.数量关系：该点到角两边的距离相等. 3.定理的作用：判断点是否在角平分线上. 例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 巩固训练 性质和判定的比较 1.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论: ①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是(　 　) A.①和② B.②和③　 C.①和③ D.全对 测试评价 2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(　 　) A.3 B.4 C.5 D.6 3. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∠BAC=50°, ∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= (　 　) A.75° B.80° C.85° D.90° 4、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P, PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC, 其中正确的结论个数是 (　 　) A.1　 B.2 C.3　 D.4 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=45°, AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为_______.  6.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm. 7. 如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长. 8. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG. 求证:OC是∠AOB的平分线. 9.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若AB=12. (1)则点P到AB的距离为_______. (2)求△APB的面积. (3)求∆PDB的周长. 课堂小结 1.4 角平分线 第二课时 1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形 三条角平分线的特殊位置关系及性质. 2.进一步提升运用角平分线性质和其判定解决实际问题的能力. 3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力. 学习目标 思考并回答： 1.角平分线性质定理？ 2.角平分线判定定理？ 3.角平分线的画法（尺规作图）？ 复习展示 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P 到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ 感悟导入 请同学们分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线.观察分析并进行交流讨论，三条角平分线有什么特征？ 类比三角形三边垂直平分线的性质，思考三角形 三条角平分线的性质。 合作探究 证明：三角形的角平分线交于一点并且到三边距离相等 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 合作探究 三角形角平分线定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 符号语言： ∵如图，在△ABC中，∠B 、∠C的平分线相交于点P， 过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F ∴ ∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF. 合作探究 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 合作探究 例1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积 N Q 巩固训练 例2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. （1）一直CD=4cm，求AC长； （2）求证：AB=AC+CD. 巩固训练 1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离. 2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解. 方法点拨 1.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪 三边的距离相等,凉亭的位置应选在(　 　) A.三角形的三条中线的交点处 B.三角形的三边的垂直平分线的交点处 C.三角形的三条角平分线的交点处　　 D.三角形的三条高所在直线的交点处 测试评价 2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ） A.3 B.1.5 C.2 D.6 3. 如图,在Rt△ABC中,点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 测试评价 4. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 (　 　) A.点O一定在△ABC的内部 B.∠C的平分线一定经过点O C.点O到△ABC三边的距离一定相等　 D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等 测试评价 5.如图,已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ） A.P为∠A，∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C.P为AC，AB两边上的高的交点 D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 测试评价 6.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　 　) A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5 测试评价 7、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF. 求证：CF=EB. 测试评价 8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8, 试求线段OD的长度. 测试评价 9.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25. （1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作出这一点，并说明理由； （2）求这点到各边的距离. 测试评价 课堂小结 $$