1.4 角平分线 第2课时（课件）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.4 角平分线（第二课时） 第一章 三角形的证明 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P 到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 情境导入 用尺规作图法作出图中角的平分线。 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 探究新知 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量， 每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗？ 探究新知 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等. (2)点P在∠A的平分线上. D E F A B C P N M 探究新知 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA， 垂足分别为D，E，F. ∴点P在∠A的平分线上 （在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 即∠A的平分线经过点P 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 并且这点到三边的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PE⊥BC, ∴PD=PE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） .同理，PE=PF ∴∴PD=PE=PF 归纳：三角形三条角平分线相交于_ _， 并且这一点到三角形三条__ 的距离_ 。 一点 边 相等 PE PF *三角形 三个角平分线的交点 叫这个三角形的 内心 归纳总结 符号语言： ∵点P是△ABC的三条角平分线的交点， 且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB， ∴PD=_ =__ . 归纳总结 1. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 C 课堂检测 2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC 的　 ，AE+DE= . C A B E D 角平分线 6cm 课堂检测 3.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别为C,D. 求证：（1）OC=OD; （2）OP是CD的垂直平分线。 课堂检测 3.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别为C,D. 求证：（1）OC=OD; 课堂检测 证明:(1)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA,PD⊥OB ∴PC=PD 在Rt△COP和Rt△DOP中， ∵ OP=OP PC=PD ∴Rt△COP≌Rt△DOP(HL) ∴OC=OD 3.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别为C,D. 求证：（2）OP是CD的垂直平分线。 课堂检测 证明:(2)由(1)知OC=OD ∴△COD是等腰三角形 又∵OP是∠AOB的平分线(三线合一) ∴OP是CD的垂直平分线 4.已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F。 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上。 课堂检测 ∵BF平分∠CBD,FH⊥BC,FG⊥BD ∴FH=FG 同理，FH=FM ∴FG=FM 又∵FG⊥AD,FM⊥AE ∴点F在∠DAE的平分线上 证明：过点F作FM⊥CE于M， 作FH⊥BC于H， 作FG⊥BD于G. 两个外角的角平分线的交点到三边的距离也相等 4.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. 证明：如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥ADN，FH⊥AE于H A B C F E D N H M ∵BF平分∠DBC，FM⊥BC,FN⊥AD ∴FM=FN ∴FN=FH 又∵CF平分∠BCE，FM⊥BC,FH⊥AE ∴FM=FH 同理可得： FM=FH 又∵FN⊥AD,FH⊥AE ∴点在∠DAE的平分线上 由 线段相等、垂直想到： 到角两边距离相等的点， 在这个角的角平分线上 证明：FN=FH 课堂检测 例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; E D A B C 例题精讲 解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°. ∴BE=DE=4cm. 在等腰直角三角形BDE中， 例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C 例题精讲 （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. E O M A B C P D 例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC， BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. N 例题精讲 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 解：连接OC 1.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线. 求证：BD=2CD. 作业布置 2.已知：如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°AD,CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M,N. 求证：FE=FD. 作业布置 证明：连接BF 在△DNF和△EMF中， ∵ ∠DNF=∠EMF ∠NDF=∠MEF NF=MF ∴△DNF≌△EMF（AAS） ∴FE=FD ∵F是△ABC的角平分线交点 ∴BF也是角平分线 ∵FM⊥AB，FN⊥BC ∴MF=FN，∠DNF=∠EMF=90° ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60° ∴∠BAC=30° ∴∠DAC=∠BAC=15°∠ECA=∠ECB=45° ∴∠MEF=∠BAC+∠ECA=30°+45°=75° ∠FDN=180°-∠DAC-∠DCA=180°-15°-90°=75° ∴∠MEF=∠FDN 3.如图, 三条公路两两相交，现计划修建一个油库。 （1）如果要求油库到两条公路AB,AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ （2）如果要求油库到三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 拓展延伸 A B C 3.如图, 三条公路两两相交，现计划修建一个油库。 （1）如果要求油库到两条公路AB,AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 拓展延伸 A B C A B C (1)可建立在∠BAC角平分线所在的直线上， 或者外角的角平分线所在的直线上. 3.如图, 三条公路两两相交，现计划修建一个油库。 （2）如果要求油库到三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 拓展延伸 A B C A B C A B C A B C A B C 3.如图, 三条公路两两相交，现计划修建一个油库。 （2）如果要求油库到三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 拓展延伸 (2)可建立在三个内角的角平分线的交点，也可以是任意两外角的角平分线的交点处，共有4处位置可选。  4.如图2，作一点P，使PC = PD ，并且点P到∠AOB两边的距离相等。 （用尺规作图） 解：作法： 点P在 点P在 点P在两线的交点上 线段CD的垂直平分线上 ∠AOB的角平分线上 （1）连接CD. （2）作CD的垂直平分线EF. （3）作∠AOB的平分线OM交EF于点P， B A 0 . . C D B M P E F G H 则P点即为所求. 拓展延伸 1、角平分线上的点到 。 角两边的距离相等 这个角的 角平分线上 3、三角形三条角平分线相交于__ _， 并且这一点到三角形三条____的距离______. 一点 边 相等 由 角平分线、垂直 得到 线段相等 由垂直、线段相等 得到 角平分线 这个点成为三角形的内心 课堂小结 2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点， 在 。 $$