精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年九年级下学期押题卷数学（五）

兰州市学府致远学校中考数学押题卷（五） 一、选择题（本大题11小题，每小题3分，共33分．） 1. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看几何体得到的图形就是几何体的俯视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得几何体的俯视图是： 故选：B． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， ， ， ， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：A． 3. 计算的结果等于（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，解题的关键是掌握分式的减法运算法则．根据分母相同，则分母不变，分子相减，计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 如图，，，平分，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本考查平行线的性质、角平分线的概念．掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，直角三角形的性质， 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理知，，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选∶D． 7. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50”可得：乙的钱×+甲的钱=50；根据“甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”可得：甲的钱×+乙的钱=50．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系并列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得的长度，继而可得出的长度，根据相似三角形的性质求出的长度，最后即可求出的周长． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， 为的角平分线， ， ，，， ，，都是等腰三角形， 又，， ，， ． ，， 由勾股定理可得：， ， ， ． ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，比较麻烦，解题的关键是掌握性质的运用． 9. 一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键要明确两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解． 根据“两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解”求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象相交于点， ∴， ∴方程组的解是， 故选：B． 10. 某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（ ） A. 当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B. 假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C. 如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D. 转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率即可解答问题． 【详解】解：A、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； B、由A可知转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确． 故选：D． 11. 如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值即可求得答案．注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键． 【详解】解：由图2可知，，，当点到达点时，的面积为， ，即， 解得：． 故选：B． 二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分．） 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据分式的分母不为0，分式有意义，被开方数大于或等于0，二次根式有意义，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，据此解答即可． 【详解】解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 15. 通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两瓶溶液均变红色的结果有种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为， 故答案为：． 三、解答题（本大题11小题，共75分．） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 若，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，求代数式的值，先根据乘法公式计算，再合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 18. 4x2﹣3=12x（用公式法解）． 【答案】，． 【解析】 【分析】把方程化为一般形式后再利用公式法解方程即可. 【详解】原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0， ∵a=4，b=﹣12，c=﹣3， ∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0， 则x= = ， ∴，． 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 20. 图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为．李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离，且．李想同学发现可以借助抛物线模型估算到桥面的距离． 请你用抛物线模型来解决下列问题． （1）求点到桥面的距离． （2）在距离桥端（点）的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意得到设抛物线的解析式为求得抛物线的解析式为当时，求得 得出结论； （2）把代入函数解析式得到得出结论． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为 解得 ∴抛物线的解析式为， 当时， ∴点到桥面的距离为 ． 【小问2详解】 解：当时， ． 21. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图： 根据以上信息，解决下列问题． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是______． ①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势； ②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年； ③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大． （2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______． A．2013年单独两孩政策 B．2015年全面两孩政策 C．2021年三孩生育政策 （3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？ 【答案】（1）①③ （2）B （3）2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人 【解析】 【分析】该题考查了条形统计图及其特征，结合实际根据统计图逐个判断是解题的关键． （1）观察统计图逐个判断即可； （2）根据中考时间即可推测当时政策时间； （3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确； ，， 与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确； 2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施， 故选：B； 【小问3详解】 解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生， 该市小学在校学生人数共有：（万人）， 答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【答案】任务一： 如图，正六边形即为所作； 任务二： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； 任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为． 【详解】解：任务一：略 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点. 试判断与的位置关系，并说明理由． 若求的长． 【答案】（1）相切， 理由：如图，连接， 为的中点， 与相切； （2） 【解析】 【分析】如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论； 连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）略 连接， 为的直径， 即， 25. 已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处． （1）如图①，当时，求点的坐标； （2）如图②，连接，当时． ①求点M的坐标； ②连接，求与重叠部分的面积； （3）当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于Q，过作于N，根据翻折证明是等边三角形，即可求解； （2）根据翻折性质和即可求出；②连接，交于Q，交于P，过Q作，交于D，作于E，设，根据勾股定理可求出，用待定系数法求出，的解析式，即可求出Q点坐标，从而求出答案； （3）连接，由对折可知，，利用三角形三边关系可得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于Q，过作于N， 由对折可得： ， ∴ ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴； ②如图，连接，交于Q，交于P，过Q作，交于D，作于E， 由①得：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴设的函数解析式为， 则， ∴， ∴， 同理可得：的函数解析式为，的函数解析式为， ∴ ∴ 即， ∴ 即， 同理可得：， ∴， ∴与重叠部分面积为； 【小问3详解】 解：连接，由对折可知，，如图， ∵， 当A，，C重合时，取得最小值， 此时， ∴， ∴的取值范围是： 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质， 翻折的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，待定系数法求函数解析式，三角形三边关系等知识，利用函数解析式求出点P、 Q、D的坐标是解决问题（2）的关键． 26. 新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线． （1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： 直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）． （2）如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围． （3）如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）点的横坐标 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据关联图形的定义判断即可； （2）直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情况下的点N的横坐标即可解决问题； （3）过点H作，垂足为，交于点，根据可得，由的取值此即可确定点横坐标的取值范围． 分别讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：假设双曲线上点到原点的距离为2， 则，即， 整理，得，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 因此双曲线上点和到原点的距离为2， 故双曲线与有公共点； 如图所示， 直线和 双曲线与有公共点，直线与没有公共点， 因此是的关联图形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 直线是的关联直线， 直线的临界状态是和相切的两条直线和， 当临界状态是时，连接， 则， 中，当，，当，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点； 同理可得当临界状态是时，点， 点的横坐标； 【小问3详解】 解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点， ，， ， ， 轴， ， ， 设点，则，， ， 解得， 当最小时，，取最大值为2，越大，越小， ， 此时h取值范围为； ②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点， 同理可得： ， 设点，则，， ， 解得， 当最小时，，取最小值为，越大，越大， 此时h取值范围为； 综上可得或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识点，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题，难度较大，属于中轴压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校中考数学押题卷（五） 一、选择题（本大题11小题，每小题3分，共33分．） 1. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果等于（　　） A. B. 1 C. D. 4. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，平分，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 9. 一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（ ） A. 当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B. 假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C. 如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D. 转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 11. 如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分．） 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 13. 如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 14. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________． 15. 通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为___ 三、解答题（本大题11小题，共75分．） 16. 计算：． 17. 若，求代数式的值． 18. 4x2﹣3=12x（用公式法解）． 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 20. 图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为．李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离，且．李想同学发现可以借助抛物线模型估算到桥面的距离． 请你用抛物线模型来解决下列问题． （1）求点到桥面的距离． （2）在距离桥端（点）的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长． 21. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 22. 参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图： 根据以上信息，解决下列问题． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是______． ①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势； ②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年； ③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大． （2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______． A．2013年单独两孩政策 B．2015年全面两孩政策 C．2021年三孩生育政策 （3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？ 23. 根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 24. 如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点. 试判断与的位置关系，并说明理由． 若求的长． 25. 已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处． （1）如图①，当时，求点的坐标； （2）如图②，连接，当时． ①求点M的坐标； ②连接，求与重叠部分的面积； （3）当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围． 26. 新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线． （1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： 直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）． （2）如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围． （3）如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $