精品解析：2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷

北京市朝阳区九年级综合练习（二） 数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 如图，直线 和 相交于点平分，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和邻补角．熟练掌握其定义，是解题的关键． 根据角平分线的定义得，根据邻补角定义得 ． 【详解】解：∵ 平分，， ∴， ∴． 故选：B． 3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 不透明的袋子中装有 个红球、 个绿球，这 个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有 个红球分别用 表示、 个绿球用 表示， 共有6种等可能结果，其中相同的有2种， ∴颜色相同的概率是， 故选：C ． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，认真观察数轴进行推理是解题的关键． 根据数轴上实数的位置，分别计算出所在的区间，对比即可． 【详解】解：由数轴可知，， 是正数，是负数，且． ， ，且， ， ，且． ， ，的绝对值为， 又因为 在 到 之间，在 到 之间且， ， ， ， ， ，， ， ， ．，，， ， 故选：A． 6. 如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，设这个正 边形内接于 ，连接，则，根据正多边形的每条边所对圆心角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，设这个正 边形内接于 ，连接， ∴， ∴， ∴，即这个多边形的边数为 ， 故选：D ． 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线 的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意； 而不一定成立，故C符合题意． 故选：C． 8. 如图，在正方形中， 是 的中点， 是 上一点，且．给出下面四个结论： ① 平分； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，利用三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，角的平分线的判定解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 设， ∵ 是 的中点， 是 上一点，且， ∴，， ∴，， ， ∴，故②正确； ∴， 过点E作于点G， 则， ∴， ∴ 平分，；故①正确； ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴；故③正确； ∵．故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，角的平分线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______________ ． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则 且， 解得： 且， 故答案为： 且． 10. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式方法，是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 不等式的所有非负整数解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解此题的关键是求出不等式的解集． 先求出不等式的解集，再求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：， ， ， 所以所有非负整数解为， 故答案为：． 12. 若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根得到是解题的关键． 根据题意，,，由此即可求解． 【详解】解：关于 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∴，， 解得， 或 ， ∴ ， 故答案为：  ． 13. 如图， 内接于 ， ，点 在 上， 平分 ．若，则____ ． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，垂径定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识，正确作出辅助线是关键． 如图所示，设交于点 ，连接 ，则四边形是圆的内接四边形，根据等边对等角，圆内接四边形得到，根据垂径定理得到即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点 ，连接 ，则四边形是圆的内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，正方形的边长为2， 为 边上的一点，以 为边作矩形，使经过点 ，则矩形的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为： ． 15. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm， 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）． 故答案为16π． 点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 16. 某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 【答案】 ①. 426 ②. 206 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．设矩形方阵为 行 列，则师生总数满足，即，而，据此计算即可求解． 【详解】解：设矩形方阵为 行 列， ∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师， ∴师生总数满足， 整理得， ∵ 、 都是正整数，， ∵男生总数为，当男生人数最多时，需要 最大， 此时，， 解得，， ∴， ∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生； 当，， 解得 ，， ∴， ∴此次团体操表演最少需要206名学生； 故答案为：426；206． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和二次根式的性质分别运算，再合并即可，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是关键． 根据分式的性质，去分母，去括号，移项、合并同类项，检验根的方法求解即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解是． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】将分式通分相减，再约分化简，最后将已知等式代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， 原式． 20. 如图，在四边形中， ， 相交于点 ，，点 在 上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ，， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：， ，． 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，，结合推出，得到，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）在中利用正切的定义得到，利用平行四边形的性质得到，由得到，最后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又， ， ， ． 21. 根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的 以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积． 某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为 ．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由． 【答案】 解：设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为， 由题意可知，， 解得， 按照该方案改造后的绿地面积为， 根据规定，该小区的绿地面积不得低于， ∵， ∴按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系正确列式求解是关键． 设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，由此列二元一次方程组求解即可． 【详解】略 22. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数的表达式； （2）当 时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可得点，再把代入，即可求解； （2）分别求出当时，函数图象与一次函数的图象与函数的图象的交点，可求出对应的n的值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得： ∴，解得： ， ∴点， 把点代入得： ，解得： ， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 观察图象得：当 时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值， 的取值范围为． 23. 某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； （3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“ ”或“ ”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 【答案】（1） （2）不能 （3）① ；②二，一 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握平均数，中位数和众数的定义． （1）根据中位数、众数的定义进行解答即可； （2）根据甲的平均数进行解答即可； （3）①根据方案一分别计算出甲乙俩人这30日的工资，比较即可；②根据方案二分别计算出甲乙俩人这30日的工资，与①中方案一比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：甲在这30天的送外卖量中，排在第15和16的是27和29， 则中位数； 乙在这30天的送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次， 则众数； 【小问2详解】 解：， 由频数分布直方图可知，平均送单量在“”及“”区间的人数共人，占抽样100人的，即这部分人对应前， 而甲的平均值为35.2，落在“”区间，并不在45以上那一组中， 故估计甲不能进入前400名，得不到奖金； 【小问3详解】 解：甲、乙的30天的日平均送单量都是35.2单/天 ， 则这30天甲、乙的总送单量为（单）， 因而二人总工资 (元)， 所以甲的工资 = 乙的工资， ②若甲按“方案二”的总收入为(元)， 大于其在“方案一”下的6780元， 因此甲应选“方案二”， 若乙按“方案二”的总收入为(元)， 小于其在“方案一”下的6780元， 因此乙应选“方案一”． 24. 如图， 为 的直径，点 ， 在 上， 平分 ，连接 ． （1）求证：； （2）过点 作 的切线，分别交 ， 的延长线于点 ， ，连接，交 于点 ．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（ ）利用圆周角定理和角平分线的定义可得，进而即可求证； （ ）由切线的性质可得，由得，，即得，利用三角函数得，即得，设 的半径为 ，由解得，即得，，进而得，，即可得，最后代入计算即可求解． 【小问1详解】 证明：为 上的点， ， 平分 ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 与 相切于点 ， ∴， ， ∵， ，， ， ， ∴在中，， ， 设 的半径为 ，则， 解得， ∴，， ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，平行线的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用以上知识点是解题的关键． 25. 科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了 装置提取的实验物质的体积（单位： ）和 装置提取的实验物质的体积（单位： ），部分数据如下： （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与 ，与 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： 若 装置比 装置早启动了，则 装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________ （结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻， 装置最多可以比 装置多提取___________ 实验物质（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） 如图， （3）或，或； 【解析】 【分析】题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （ ）根据当时，，当时，，与 是正比例函数，求出解析式即可； （ ）根据画函数图象方法步骤即可； （ ）根据题意将图象向上平移个单位，然后观察图象即可； 观察图象即可． 【小问1详解】 解：∵当时，，当时，， ∴与 是正比例函数， 设， ∴，解得：， ∴， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ 装置比 装置早启动了，如图， 根据图象可知， 装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或， 故答案为：或，或； 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻， 装置最多可以比 装置多提取实验物质， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系 中，点在抛物线上． （1）当 时，求抛物线与 轴交点的坐标； （2）若对于任意的，总有，求 的取值范围． 【答案】（1）抛物线与 轴交点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）当 时，抛物线为．令 ，解方程即可求出答案； （2）分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：当 时，抛物线为． 令 ，则． 解得． 抛物线与 轴交点的坐标为． 【小问2详解】 由可知，抛物线的对称轴为，抛物线与 轴交点的坐 标为． ． ①若 ，则当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小． （i）当时，令，则，不符合题意． （ii）当时，则． ． ． ， ，符合题意． （iii）当时，则． ． 由可知． ，符合题意． （iiii）当时，． 令，则，不符合题意． ②若，则当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大． ， ． ． ， ，不符合题意． 综上所述， 的取值范围是． 27. 在Rt 中，为射线 上一点（不与点重合），将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，线段 与直线 相交于点 ． （1）如图，当时，用等式表示线段 与之间的数量关系，并证明． （2）若对于任意的点 ，上一问的结论总成立，写出满足条件的 的值，画出相应的图形，并证明． 【答案】（1） ， 证明：如图所示，连接 ． 由题意可知，． ， ∴ 垂直平分 ， ． ． ， ∴， ∴， ． ． （2） ． 证明：如图，作于点 ． 由题意可知，． ． ， ． ． ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接 ．由旋转的性质可得．可证明 垂直平分 ，得到．则，证明，则．即可证明． （2）作于点 ．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系 中，对于和外一点 ，给出如下定义：若的一条弦 绕点 旋转 得到的线段仍然是的一条弦，则称点 是的“ -旋称点”，此时的 是关于点 的一条“ -旋称弦”． （1）如图1， 的半径为2． ①在点，，，中， 的“ -旋称点”可以是___________； ②弦 的长为2，轴．若 是 关于点 的“ -旋称弦”，直接写出点 的坐标； （2）如图2，，，．若点 ， ， 都是的“ -旋称点”，且 的边上存在关于点 ， ， 的“ -旋称弦”，直接写出点 的坐标，和的半径 的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2）， 【解析】 【分析】（1）①对于 外任一点 ，连接，将绕点 顺时针旋转 交 于 、 ，其中设弦的中点为，连接，将绕点 逆时针旋转 交 于 、 ，其中设弦的中点为，当为 的切线时，可求得，可知时， 的一条弦 绕点 旋转 得到的线段仍然是 的一条弦，然后分别算出，，，判断即可；②取 与 轴的交点为，连接，延长，使得，连接，那么可知道是等腰直角三角形，可算出点 的坐标，由题意可知，当点 落在点 时符合题意，延长，使得，同理可算得，满足条件； （2）由题意可知， 在 内部， 、 、 三点都在外部，将 绕 逆时针旋转，将 绕 顺时针旋转，将 绕 顺时针旋转、将 绕点 逆时针旋转，将 绕 逆时针旋转，将 绕点 顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为 和 ，当圆心在 点时，根据定义舍去，当圆心在 点时， ，先求得点 的坐标，分别以 为圆心，以、为半径画圆，那么当，满足题意． 【小问1详解】 解：①对于 外任一点 ，连接，将绕点 顺时针旋转 交 于 、 ，其中设弦的中点为，连接，将绕点 逆时针旋转 交 于 、 ，其中设弦的中点为，如图所示： 当为 的切线时，，，， ， ， 那么当时， 的一条弦 绕点 旋转 得到的线段仍然是 的一条弦； 在点，，，中， ，，，， ， 在点，，，中， 的“ -旋称点”可以是，； 故答案为：，； ②取 与 轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示： 弦 的长为2，轴， ， ， ， ； 若 是 关于点 的“ -旋称弦”，那么点 与点 点重合时，满足条件； 延长，使得，同理可算得，满足条件； 综上， 点坐标为：或； 【小问2详解】 解：对于半径为 的外任一点 ，连接，将绕点 顺时针旋转交 于 、 ，其中设弦的中点为，连接，将绕点 逆时针旋转交 于 、 ，其中设弦的中点为，如图所示， 同（1）①，可求得当时，的一条弦 绕点 旋转 得到的线段仍然是的一条弦； ，，．若点 ， ， 都是的“ -旋称点”，且 的边上存在关于点 ， ， 的“ -旋称弦”， 在 内部， 、 、 三点都在外部； 将 绕 逆时针旋转，将 绕 顺时针旋转，将 绕 顺时针旋转、将 绕点 逆时针旋转，将 绕 逆时针旋转，将 绕点 顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为 和 ， 由题意可知，当圆心在 点时， ， 点的横坐标在大于0，小于2， ， 在 的垂直平分线上， 过点 作于， ，， ，，， ， ， ， ， ； 不妨设，那么，， ， ， ， 或， 点的横坐标大于0且小于2， ， ， ； 分别以 为圆心，以、为半径画圆，如图所示： ， 边上不存在关于点 ， ， 的“ -旋称弦”， 故不符合题意； 当圆心在 点时， ， ， 点在 的垂直平分线上， ，， 的纵坐标为， 过点 作于， ， ，， ， ， ，， ，， ，， 分别以 为圆心，以、为半径画圆，如图所示： 那么当，即，满足题意； 此时，满足； 综上，，． 【点睛】本题考查了“ -旋称点”，“ -旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“ -旋称点”，“ -旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区九年级综合练习（二） 数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线 和 相交于点平分，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 圆 4. 不透明的袋子中装有 个红球、 个绿球，这 个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线 的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 8. 如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 上一点，且．给出下面四个结论： ① 平分； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______________ ． 10. 分解因式：___________． 11. 不等式的所有非负整数解为___________． 12. 若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为___________． 13. 如图， 内接于 ， ，点 在 上， 平分 ．若，则____ ． 14. 如图，正方形 的边长为2， 为 边上的一点，以 为边作矩形，使 经过点 ，则矩形的面积为___________． 15. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________． 16. 某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形 中， ， 相交于点 ，，点 在 上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ，， ，求 的长． 21. 根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的 以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积． 某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为 ．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数的表达式； （2）当 时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出 的取值范围． 23. 某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； （3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“ ”或“ ”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 24. 如图， 为 的直径，点 ， 在 上， 平分 ，连接 ． （1）求证：； （2）过点 作 的切线，分别交 ， 的延长线于点 ， ，连接，交 于点 ．若，求的长． 25. 科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了 装置提取的实验物质的体积（单位：）和 装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与 ，与 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： 若 装置比 装置早启动了，则 装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻， 装置最多可以比 装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系 中，点在抛物线上． （1）当 时，求抛物线与 轴交点的坐标； （2）若对于任意的，总有，求 的取值范围． 27. 在Rt 中，为射线 上一点（不与点重合），将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，线段 与直线 相交于点 ． （1）如图，当时，用等式表示线段 与之间的数量关系，并证明． （2）若对于任意的点 ，上一问的结论总成立，写出满足条件的 的值，画出相应的图形，并证明． 28. 在平面直角坐标系 中，对于和外一点 ，给出如下定义：若的一条弦 绕点 旋转 得到的线段仍然是的一条弦，则称点 是的“ -旋称点”，此时的 是关于点 的一条“ -旋称弦”． （1）如图1， 的半径为2． ①在点，，，中， 的“ -旋称点”可以是___________； ②弦 的长为2，轴．若 是 关于点 的“ -旋称弦”，直接写出点 的坐标； （2）如图2，，，．若点 ， ， 都是的“ -旋称点”，且 的边上存在关于点 ， ， 的“ -旋称弦”，直接写出点 的坐标，和的半径 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $