2025年贵州省遵义市汇川区中考数学二模试卷

2025年贵州省遵义市汇川区中考数学二模试卷 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1．（3分）下列有理数中，最大的数是（　　） A． B．﹣0.5 C．﹣1 D．0 2．（3分）“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料．如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其左视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）分解因式：x2﹣x＝（　　） A．x（x﹣1） B．（x+1）（x﹣1） C．2x D．x（x+1） 4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若∠AOC＝62°，则∠B＝（　　） A．62° B．31° C．30° D．28° 5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列说法正确的是（　　） A．摸出黑色球的可能性最大 B．摸出白色球的可能性最大 C．摸出红色球的可能性最大 D．摸出黑色、白色、红色球的可能性一样大 6．（3分）化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D． 7．（3分）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x+2＝8x+14 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x+2 9．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A．a＜0，c＞0 B．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 11．（3分）圆形扫地机器人虽然能覆盖大部分地面，但仍有一些区域是它无法触及的，这些区域主要集中在房间的角落里．将圆形扫地机器人抽象为⊙O，∠A＝90°，⊙O的半径为20cm，当机器人运动到如图所示位置时，在该位置机器人不能扫到的面积（阴影部分）为（　　）cm2． A．100π B．400 C．100π﹣400 D．400﹣100π 12．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点B出发，沿折线BC→CA→AB匀速运动至点B后停止，设点P的运动路程为x，线段BP的长度为y，AD⊥BC于点D，AD＝4，图2是y与x的函数关系的大致图象，当CP⊥AB时，CP的长为（　　） A． B． C． D．4 二、填空题（本题共有4小题，每小题4分，共16分.） 13．（4分）要使有意义，实数x的值可以为 　 　 （写出一个即可）． 14．（4分）若点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝ 　 　 ． 15．（4分）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　 ． 16．（4分）如图，点E、F分别在矩形纸片ABCD的边AD和BC上，将矩形纸片沿着EF折叠，点D落在点D'处，点C落在点C'处，连接DD'并延长交BC于点P，DD'＝4PD'．若ED＝4，CD＝3，则PD的长为 　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共98分.） 17．（12分）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选两个组成方程组，并求出该方程组的解． ①x+2y＝7； ②x+3y＝9； ③3x﹣2y＝13． 18．（10分）近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了 　 　 位同学，请补全条形统计图； （2）若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？ （3）为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率． 19．（10分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是BC边延长线上的一点．（1）请你在下面的两个条件里选择一个，使得四边形ACED为平行四边形，并写出证明过程； ①AC∥DE； ②BE＝2CE． （2）在（1）的结论下，若CD＝DE＝4，求BD的长度． 20．（10分）已知反比例函数的图象经过A（3，m）、B（1，6）两点． （1）求k和m的值； （2）已知点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）在反比例函数的图象上，若y1＜y2，直接写出x1、x2、0三者之间的大小关系． 21．（10分）为庆祝我国“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间2024年12月4日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用600元购进这款窗花，很快售完，又花1000元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于1400元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝20cm，BC＝25cm． （1）如图2，当BC∥OE时，∠ABC＝70°，求投影探头的端点D到桌面OE的距离； （2）如图3，将（1）中的BC绕点B顺时针旋转，当∠ABC＝30°时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 23．（12分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠BDE＝∠C，点E在线段CB上，CB的延长线交⊙O于点F． （1）写出一个与∠CDE相等的角：　 　 ； （2）连接OD，求证：OD⊥DE； （3）若BD＝2，BC＝4BE，求BF的长． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材1 某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路AB的宽为30m，桥拱最高处M距离路面的距离为9m． 素材2 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离DF＝20m． 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆CE，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆CE上方设置一个面积为18m2的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在CE上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 问题解决：以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． （1） 确定桥拱形状 如图①，求抛物线的函数表达式； （2） 确定桥墩高度 如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； （3） 拟定设计方案 如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形PQLN中Q点坐标． 25．（12分）如图，点A在直线m外，以A为圆心，适当长为半径画弧，交直线m于B、C两点，连接BA、CA，已知∠BAC＝α（0°＜α＜180°），线段CD由线段BC绕点C逆时针旋转一定角度后得到，连接AD，交BC于点E． （1）如图1，若α＝60°，∠BCD＝60°，AC＝2，则AD的长为 　 　 ； （2）如图2，若α＝60°，∠BCD＝90°，点F在AD上，且∠DCF＝30°，试探究线段AD、DF、CF之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，∠BCD＝90°，当α发生变化时，直接写出线段AD的最大值并写出对应α的值． 2025年贵州省遵义市汇川区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A A B C A A A B D D 题号 12 答案 C 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1．（3分）下列有理数中，最大的数是（　　） A． B．﹣0.5 C．﹣1 D．0 【答案】A 【分析】先求出两个负数的绝对值，然后根据绝对值大的数反而小比较﹣0.5和﹣1的大小，再根据正数大于0，0大于负数，比较这四个数的大小即可． 【解答】解：|﹣0.5|＝0.5，|﹣1|＝1， ∵0.5＜1， ∴﹣0.5＞﹣1， ∵正数大于0，0大于负数， ∴， 故选：A． 2．（3分）“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料．如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【解答】解：从左边看，是一列三个相邻的矩形． 故选：A． 3．（3分）分解因式：x2﹣x＝（　　） A．x（x﹣1） B．（x+1）（x﹣1） C．2x D．x（x+1） 【答案】A 【分析】用提公因式法分解因式即可． 【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）． 故选：A． 4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若∠AOC＝62°，则∠B＝（　　） A．62° B．31° C．30° D．28° 【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案 【解答】解：∵∠AOC＝62°， ∴， 故选：B． 5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列说法正确的是（　　） A．摸出黑色球的可能性最大 B．摸出白色球的可能性最大 C．摸出红色球的可能性最大 D．摸出黑色、白色、红色球的可能性一样大 【答案】C 【分析】首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可． 【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑球，3个白球，4个红球， ∴红球个数最多， ∴摸到红球的可能性最大， 故选：C． 6．（3分）化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据分式运算法则求解，即可获得答案． 【解答】解：． 故选：A． 7．（3分）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】设“□”表示的数为a，根据题意得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0，求解即可得到答案． 【解答】解：设“□”表示的数为a， ∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤4， ∴“□”的值可能为4， 故选：A． 8．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x+2＝8x+14 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x+2 【答案】A 【分析】设设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意可列方程为：6x+14＝8x﹣2， 故选：A． 9．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长． 【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7， ∴AB＝7﹣1＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点， ∴CDAB6＝3（cm）， 故选：B． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A．a＜0，c＞0 B．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， 故选项A正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大， 故选项B正确； 根据函数图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点， 故选项C正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，n）， ∴函数的最大值为n， 故选项D错误． 故选：D． 11．（3分）圆形扫地机器人虽然能覆盖大部分地面，但仍有一些区域是它无法触及的，这些区域主要集中在房间的角落里．将圆形扫地机器人抽象为⊙O，∠A＝90°，⊙O的半径为20cm，当机器人运动到如图所示位置时，在该位置机器人不能扫到的面积（阴影部分）为（　　）cm2． A．100π B．400 C．100π﹣400 D．400﹣100π 【答案】D 【分析】将圆心O与切点连接起来，可将阴影部分的面积转化为正方形的面积与扇形的面积差，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 令⊙O与AB及AC的切点分别为M，N，连接OM，ON， 则OM⊥AB，ON⊥AC． 又因为OM＝ON，∠A＝90°， 所以四边形OMAN是正方形， 所以∠MON＝90°． 因为⊙O的半径为20cm， 所以正方形AMON的面积为202＝400（cm2），扇形OMN的面积为（cm2）， 所以阴影部分的面积为（400﹣100π）cm2． 故选：D． 12．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点B出发，沿折线BC→CA→AB匀速运动至点B后停止，设点P的运动路程为x，线段BP的长度为y，AD⊥BC于点D，AD＝4，图2是y与x的函数关系的大致图象，当CP⊥AB时，CP的长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】看图象得边长：从函数图象找特殊点，x＝6知BC＝6，x＝11算出AC＝5．用等面积法：△ABC面积可由BC和AD算出，又可表示成AB与CP乘积的一半．求出AB后，根据两种面积表示相等，就能算出CP． 【解答】解：从y与x的函数关系图象可知：当x＝6时，y达到第一个最大值6， 此时点P运动到点C， 所以BC＝6． 当x＝11时，y达到第二个最大值6， 此时点P运动到点A， 因为BC＝6， 所以AC＝11﹣6＝5． 已知AD⊥BC，AD＝4， 根据三角形面积公式SBC•ADAB•CP（等面积法）， ， 把BC＝6，AD＝4代入可得6×4＝12． 设BD＝x，DC ＝6﹣x， 在Rt△ABD和Rt△ACD 中， 由勾股定理AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2＝ AD2． 设BD＝m，则AB2﹣m2＝16， 25﹣（6﹣m）2＝16．， 25﹣（36﹣12m+m2）＝16， 25﹣36+12m﹣m2＝ 16， m2﹣12m+27＝0， （m﹣3）（m﹣9）＝0， 解得m＝3（m＝9舍去，因为BC＝6）， 所以AB＝ ． 因为 S△ABC＝1，AB＝5，则125×CP， 解得CP， 故选：C． 二、填空题（本题共有4小题，每小题4分，共16分.） 13．（4分）要使有意义，实数x的值可以为 　2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一）． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2≥0， 解得x≥2． 故答案为：2（答案不唯一）． 14．（4分）若点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝ 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称， ∴a＝2，b+2＝3， 解得a＝2，b＝1， ∴a﹣b＝2﹣1＝1， 故答案为：1． 15．（4分）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　24　 ． 【答案】24． 【分析】由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合，故内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，利用勾股定理得到AB的长度，然后计算△ABC周长即可． 【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角△ABC直角边平移得到的， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB10， 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合， ∴内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长， ∴内部四个小直角三角形的周长为：AB+AC+BC＝10+6+8＝24． 故答案为：24． 16．（4分）如图，点E、F分别在矩形纸片ABCD的边AD和BC上，将矩形纸片沿着EF折叠，点D落在点D'处，点C落在点C'处，连接DD'并延长交BC于点P，DD'＝4PD'．若ED＝4，CD＝3，则PD的长为 　3　 ． 【答案】3． 【分析】设EF交PD于点R，由矩形的性质得∠C＝90°，由折叠得DR＝D′R，∠PRF＝90°，设PD′＝m，则DD′＝4PD′＝4m，所以DR＝D′R＝2m，PR＝3m，PD＝5m，可证明△PFR∽△DER，得，因为ED＝4，CD＝3，所以PFED＝6，再证明△PRF∽△PCD，得，求得PCm2，设m2＝x，则PCx，PD2＝（5m）2＝25x，由PC2+CD2＝PD2，得x2+9＝25x，求得符合题意的x值为，则PC＝9，所以PD3，于是得到问题的答案． 【解答】解：设EF交PD于点R， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，∠C＝90°， ∵将矩形纸片沿着EF折叠，点D落在点D'处， ∴EF垂直平分DD′， ∴DR＝D′R，∠PRF＝90°， 设PD′＝m，则DD′＝4PD′＝4m， ∴DR＝D′RDD′＝2m， ∴PR＝PD′+D′R＝3m，PD＝PD′+DD′＝5m， ∵PF∥ED， ∴△PFR∽△DER， ∴， ∵ED＝4，CD＝3， ∴PFED4＝6， ∵∠PRF＝∠C，∠RPF＝∠CPD， ∴△PRF∽△PCD， ∴， ∴PCm2， ∴设m2＝x，则PCx，PD2＝（5m）2＝25m2＝25x， ∵PC2+CD2＝PD2，且PC2＝（x）2x2，CD2＝32＝9， ∴x2+9＝25x， 解得x1，x2， 当x时，PC9， ∴PD3； 当x时，PC1，不符合题意，舍去， 故答案为：3． 三、解答题（本题共9小题，共98分.） 17．（12分）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选两个组成方程组，并求出该方程组的解． ①x+2y＝7； ②x+3y＝9； ③3x﹣2y＝13． 【答案】（1）﹣1； （2）；（答案不唯一）． 【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）根据题意选出两个方程联立成方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣1； （2）选择①②两个方程得， ②﹣①得：y＝2， 将y＝2代入①得：x+4＝7， 解得：x＝3， 故该方程组的解为． 18．（10分）近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了 　200　 位同学，请补全条形统计图； （2）若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？ （3）为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率． 【答案】（1）200；补全条形统计图见解答． （2）约600名． （3）． 【分析】（1）用条形统计图中“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；求出“节能减排”的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中“植树造林”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及2人恰好都是女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次一共调查了20÷10%＝200（位）同学． “节能减排”的人数为200×20%＝40（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：200． （2）（名）． 答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名． （3）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种， ∴2人恰好都是女生的概率为． 19．（10分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是BC边延长线上的一点．（1）请你在下面的两个条件里选择一个，使得四边形ACED为平行四边形，并写出证明过程； ①AC∥DE； ②BE＝2CE． （2）在（1）的结论下，若CD＝DE＝4，求BD的长度． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）4． 【分析】（1）选①或②分别进行证明即可； （2）根据菱形的性质求出BE＝8，结合（1），根据四边形ACED是平行四边形，证明∠BDE＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）选①或②都可以，当选②时： 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝2CE， ∴点C是BE的中点， ∴BC＝CE， ∴AD＝CE， ∴四边形ACED是平行四边形； 当选①时： 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，BO＝OD，BC＝CD， ∴BC＝CD＝DE＝4， ∴BE＝8， 由（1）知，四边形ACED是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°， 在Rt△BDE 中，由勾股定理得：BD4． 20．（10分）已知反比例函数的图象经过A（3，m）、B（1，6）两点． （1）求k和m的值； （2）已知点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）在反比例函数的图象上，若y1＜y2，直接写出x1、x2、0三者之间的大小关系． 【答案】（1）m＝2，k＝6； （2）当0＜y1＜y2时，在第一象限，0＜x2＜x1， 当y1＜y2＜0时，在第三象限，x2＜x1＜0， 当y1＜0＜y2时，x1＜0＜x2． 【分析】（1）B（1，6）代入y可求得k，然后在把A（3，m）点代入y中，即可求得m的值； （2）分三种情况进行讨论，当0＜y1＜y2时，当y1＜y2＜0时，当y1＜0＜y2时，进而可以得出当x1与x2的大小关系． 【解答】解：（1）把B（1，6）代入y中， 6， ∴k＝6， 把A（3，m）点代入y中， ∴m， ∴m＝2； （2）根据（1）可得y， ∴图象在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 当0＜y1＜y2时，在第一象限，0＜x2＜x1， 当y1＜y2＜0时，在第三象限，x2＜x1＜0， 当y1＜0＜y2时，x1＜0＜x2． 21．（10分）为庆祝我国“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间2024年12月4日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用600元购进这款窗花，很快售完，又花1000元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于1400元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】（1）该店第一次购进这款窗花100个，第二次购进这款窗花200个； （2）每个窗花的售价至少为10元． 【分析】（1）设该店第一次购进这款窗花x个，则第二次购进这款窗花2x个，根据某喜庆店第一次用600元购进这款窗花，又花1000元第二次购进这款窗花，每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个窗花的售价为m元，根据要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于1400元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设该店第一次购进这款窗花x个，则第二次购进这款窗花2x个， 由题意得：， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝200， 答：该店第一次购进这款窗花100个，第二次购进这款窗花200个； （2）设每个窗花的售价为m元， 由题意得：100m+200m﹣600﹣1000≥1400， 解得：m≥10， 答：每个窗花的售价至少为10元． 22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝20cm，BC＝25cm． （1）如图2，当BC∥OE时，∠ABC＝70°，求投影探头的端点D到桌面OE的距离； （2）如图3，将（1）中的BC绕点B顺时针旋转，当∠ABC＝30°时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 【答案】（1）投影探头的端点D到桌面OE的距离约为17cm； （2）投影探头不会与桌面OE发生碰撞，理由见解答． 【分析】（1）延长OA交BC于点F，根据已知易得：OF⊥BC，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，根据题意可得：∠ABG＝70°，从而可得∠CBG＝40°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而利用线段的和差关系求出投影探头的端点D到桌面OE的距离，即可解答． 【解答】解：（1）延长OA交BC于点F， ∵BC∥OE，OA⊥OE， ∴OF⊥BC， 在Rt△ABF中，∠ABC＝70°，AB＝20cm， ∴AF＝AB•sin70°≈20×0.94＝18.8（cm）， ∵OA＝6.4cm，CD＝8cm， ∴投影探头的端点D到桌面OE的距离＝OA+AF﹣CD＝6.4+18.8﹣8≈17（cm）， ∴投影探头的端点D到桌面OE的距离约为17cm； （2）投影探头不会与桌面OE发生碰撞， 理由：过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G， 由题意得：∠ABG＝70°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠CBG＝∠ABG﹣∠ABC＝40°， 在Rt△ABG中，BC＝25cm， ∴CG＝BC•sin40°≈25×0.64＝16（cm）， ∵CD＝8cm， ∴投影探头的端点D到桌面OE的距离＝6.4+18.8﹣8﹣16≈1（cm）， ∴投影探头不会与桌面OE发生碰撞． 23．（12分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠BDE＝∠C，点E在线段CB上，CB的延长线交⊙O于点F． （1）写出一个与∠CDE相等的角：　∠DBE或∠DBA　 ； （2）连接OD，求证：OD⊥DE； （3）若BD＝2，BC＝4BE，求BF的长． 【答案】（1）∠DBE或∠DBA； （2）见解答； （3）2． 【分析】（1）AB为直径，则∠ADB＝90°，而BA＝BC，则∠CAB＝∠C＝∠BDE，而∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DBE＝90°，即可求解； （2）证明∠C＝∠BAC，∠ODA＝∠OAC，得到OD∥BC，即可求解； （3）证明△CDB∽△DEB，得到DB2＝EB•CB，由DE∥AF，得到，即可求解． 【解答】（1）解：∵AB为直径，则∠ADB＝90°， 而BA＝BC，则∠CAB＝∠C＝∠BDE， ∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DBE＝90°， ∴∠CDE＝∠DBE， 同理可得：∠CDE＝∠DBA， 故答案为：∠DBE或∠DBA； （2）证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝180°﹣∠ADB＝90°， 又∠BDE＝∠C，∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°， ∴∠C+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠C+∠CDE）＝90， 又BC＝BA，OD＝OA， ∴∠C＝∠BAC，∠ODA＝∠OAC， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝∠CED＝90°， ∴OD⊥DE于点D； （3）解：连接AF， ∵∠BED＝∠C，∠BED＝∠CDB， ∴△CDB∽△DEB， ∴， ∴DB2＝EB•CB， 又CB＝4EB， ∴4＝EB•4EB， ∴EB＝1，BC＝4， ∴CE＝CB﹣BE＝3， 又AB为⊙O的直径， ∴∠F＝90， ∴∠F＝∠CED＝90°， ∴DE∥AF， 又BA＝BC，BD⊥AC于点D， ∴AD＝CD， 又DE∥AF， ∴， ∴CE＝EF＝3， ∴BF＝EF﹣EB＝2． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材1 某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路AB的宽为30m，桥拱最高处M距离路面的距离为9m． 素材2 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离DF＝20m． 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆CE，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆CE上方设置一个面积为18m2的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在CE上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 问题解决：以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． （1） 确定桥拱形状 如图①，求抛物线的函数表达式； （2） 确定桥墩高度 如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； （3） 拟定设计方案 如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形PQLN中Q点坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04x2+9（﹣15≤x≤15）； （2）桥墩的高度5m； （3）共有两种设计方案：方案一；矩形广告牌的长为6m，宽为3m，Q点的坐标是（3，8）；方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，Q点的坐标是． 【分析】（1）设抛物线的解析式为 y＝ax2+c，用待定系数法求解即可； （2）令x＝10，计算y＝﹣0.04x2+9＝5即可； （3）矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）：①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，根据所给数据逐一分析取舍即可． 【解答】解：（1）桥拱最高点M的坐标为（0，9）， ∵AB＝30， ∴OB＝15， ∴B（15，0）， 设抛物线的解析式为 y＝ax2+c， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04x2+9（﹣15≤x≤15）； （2）∵DF＝20， ∴F（10，0）， 令x＝10，y＝﹣0.04x2+9＝5， ∴桥墩的高度5m； （3）∵矩形广告牌的面积为18m2且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）： ①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1， ∵拱桥的最高点到CE的距离为 9﹣5＝4（m）， ∴方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当x＝3 时，y＝8.64， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为 5+3＝8（m）， ∵8.64＞8， 方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是（3，8）， 方案⑤： 当时，y＝8.19（m）， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为 5+2＝7（m）， ∵8.19＞7， 方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑥： 当x＝9时，y＝5.76（m）， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为 5+1＝6（m）， ∵5.76＜6， 方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为6m，宽为3m，Q点的坐标是（3，8）； 方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，Q点的坐标是． 25．（12分）如图，点A在直线m外，以A为圆心，适当长为半径画弧，交直线m于B、C两点，连接BA、CA，已知∠BAC＝α（0°＜α＜180°），线段CD由线段BC绕点C逆时针旋转一定角度后得到，连接AD，交BC于点E． （1）如图1，若α＝60°，∠BCD＝60°，AC＝2，则AD的长为 　2　 ； （2）如图2，若α＝60°，∠BCD＝90°，点F在AD上，且∠DCF＝30°，试探究线段AD、DF、CF之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，∠BCD＝90°，当α发生变化时，直接写出线段AD的最大值并写出对应α的值． 【答案】（1）2； （2）；理由见解析； （3）AD最大值为，α的值为135°． 【分析】（1）易证BC垂直平分AD，进而即可得解； （2）易证∠CAD＝∠CDA，在AD上截取AG＝DF，则△CAG≌△CDF（SAS），从而可得△CGF为等腰直角三角形，进而得解； （3）要求线段最值，则一般有一动点和一定点，这里A和D都是动点，所以需要转化，过C作CN⊥AC，使CN＝AN，构造手拉手，易证△ACD≌△BCN（SAS），所以AD＝BN，求出BN最大值即可，有三边关系可得BN≤AB+AN，当且仅当B、A、N三点共线时取等，进而得解． 【解答】解：（1）由题可知AB＝AC， ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2，∠ACB＝60°， ∵∠BCD＝60°＝∠ACB，CD＝CB＝CA， ∴CB⊥AD，且AE＝DE， ∴AD＝2AE＝2×AC•sin60°＝2， 故答案为：2； （2）； 理由：∵AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形， 又∵∠BAC＝60° ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°， 由旋转性质知，CB＝CD， ∴CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， 在AD上截取AG＝DF， ∴△CAG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠ACG＝∠DCF＝30°， 又∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°， ∴∠GCF＝∠ACD﹣∠ACG﹣∠DCF＝90°， ∴∠CGF＝∠CFG＝45°， ∴， ∴； ∵AD＝AG+GF+DF， ∴； （3）如图，过C作CN⊥AC，使CN＝AN，连接AN、BN， ∵∠ACN＝∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠BCN＝90°+∠ACB， 在△ACD和△BCN中， ， ∴△ACD≌△BCN（SAS）， ∴AD＝BN， ∵BN≤AB+AN，当且仅当B、A、N三点共线时取等， ∴AD＝BN≤AB+AN， 在Rt△ACN中，AN2， ∴AD最大值为AB+AN＝2， 此时B、A、N三点共线， ∴∠BAC＝180°﹣∠CAN＝135°，即α＝135°， ∴AD最大值为，α的值为135°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/11 9:54:38；用户：刘金金；邮箱：18569648684；学号：49250151 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$