1.3线段的垂直平分线第1课时 课件2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册数学 1.3 线段的垂直平分线第1课时 1. 能够证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。 2. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明能力，丰富对几何图形的认识。 3. 通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。 学 习 目 标 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 改写命题 如果 ，那么 条件 结论 结合图形转化几何语言 已知：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 分析证明思路 整理证明过程 问题：如何证明两边相等？我们常用证明两边相等的方法有哪些？ 问题：改变P点的位置，在直线啊MN上另取点P2，上述的结论还成立吗？ 已知：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． C 探究合作1 问题：如上图，直线MN是线段AB的什么线？线段垂直平分线上的点有什么性质？若P点与C点重合，那么这一结论还成立吗？ 线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 几何语言 ： ∵AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点 ∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等） C 逆向思维，探索判定 问题1： 如何判断一个点在不在线段的垂直平分线上？这个点要满足什么条件？ 问题2： 你能写出上面这个定理的逆命题吗? 原命题的条件是什么？结论是什么？ 问题3： 它是真命题吗? 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 分析问题 条件 结论 线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等 到线段两端距离相等 线段垂直平分线上的点 逆命题： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 改写命题 如果 ，那么 条件 结论 结合图形转化几何语言 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 分析证明思路 整理证明过程 证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC, ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上． 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证法二：取AB的中点C，连接PC． ∵AP=BP，PC=PC. AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上． 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证法三：过P点作∠APB的角平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC， △APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证法四：等腰三角形的三线合一（底边的高线，底边的中线，顶角的角平分线） 我们把它称做线段垂直平分线的判定定理． 线段垂直平分线的判定定理（逆定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言 ： ∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 如图，在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 直线AO是线段 BC的垂直平分线 （两点确定一条直线） 巩固新知 课堂小结 通过这节课的学习你有哪些新的收获？ 拓展延伸 如图甲，一辆汽车在直线型公路AB上由A向B行驶，M,N分别是位于公路AB两侧的村庄。 （1)当汽车行驶到哪个位置时，汽车到村庄M,N的距离相等？ （2)当汽车行驶到什么位置时，汽车到M,N两村的距离和最小？ （3)若M,N两村在公路AB的同侧，如图乙，则当汽车行驶到 什么位置时，汽车到M,N两村的距离和最小？ M N A B A B M N 甲 乙 作业布置 基础类作业： （1）作业本：知识技能1、3、4 （2）预习线段垂直平分线（2） 拓展类作业：（教辅作业） （1）A级：学习之友17页5、6、7 （2）B级：学习之友18页8、9、11 谢谢聆听 $$