广东省揭阳市揭阳真理中学2024-2025学年下学期八年级数学期末模拟卷03

揭阳真理中学2024-2025学年第二学期八年级数学期末模拟卷03 一．选择题（共10小题） 1．如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D． 3．关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　） A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4 4．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 5 9 10 6．关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（　　） A．6或 B．6或 C．或 D．6或或 8．已知关于x的方程+＝恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（　　） A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+ 10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 二．填空题（共5小题） 11．关于x的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为　 　 ． 12．分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝　 　 ． 13．若正整数x＜y＜z，且k为整数，，则（x+y）y＝　 　 ． 14．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ADC与∠BCD的平分线刚好交于线段AB上的点E处．将线段BE绕点E逆时针旋转，使点B落在线段EC上的点F处．若AB＝BF，CF＝2，则四边形ABCD的面积＝　 　 ． 14 15 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）因式分解：n3（m﹣2）+n（2﹣m）； （2）解方程：． 17．先化简，再求值：，其中． 18．（1）已知四边形ABCD，现有下列三个条件：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形ABCD是平行四边形． Ⅰ实践与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） Ⅱ猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数量关系，并加以证明． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边在AB上方作等边△ABD，点F是线段AD的中点，连接CF． （1）若AC＝3，求AD的长； （2）求证：四边形BCFD是平行四边形． 20．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝　 　 ； （2）若（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，2），B（4，0） （1）求直线AB的表达式； （2）在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形； （3）是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出点P、Q的坐标；若不存在，试说明理由． 22．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 23．综合实践课上，老师让同学们进行了▱ABCD的折纸游戏，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AB上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）观察发现 如图1，若∠B＝60°，EC′⊥AB，＝　 　 ，∠BCC′＝　 　 °． （2）操作探究 如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． （3）拓展探究 如图3，若AB＝5，BC＝6，S▱ABCD＝24，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，在折叠过程中，要使点C′始终落在AB边上（含A，B点），请直接写出CE的取值范围． 揭阳真理中学2024-2025学年第二学期八年级数学期末模拟卷03参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B B D C A A 一．选择题（共10小题） 1．【答案】C 【解答】解：选项A、B、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2．【答案】C 【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： A、x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2，不属于因式分解，不符合题意； B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是整式运算，不属于因式分解，不符合题意； C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），属于因式分解，符合题意； D、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 3．【答案】C 【解答】解：根据分式有意义，x≠3，x≠0， 将分式方程化为整式方程为：x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），整理得（a﹣4）x＝﹣21， ∵分式方程无解， ∴a＝4，a＝﹣3． 故选：C． 4．【答案】D 【解答】解：根据题意可知，这个多边形的边数为2025+2＝2027． 故选：D． 5．【答案】B 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B． 6．【答案】B 【解答】解：解不等式＜0得x＜t， 解不等式＜﹣2的x＞﹣2， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴0＜t≤1， ∴0＜21t≤21， ∵21t＝2a+12， ∴0＜2a+12≤21， ∴﹣6＜a≤4.5， ∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴要使的值是整数的a的值为﹣3，3，﹣4，4，共4个， 故选：B． 7．【答案】D 【解答】解：如图1： 当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾； 如图2： 当∠C＝60°时，∠ABC＝30°， ∵∠ABP＝30°， ∴∠CBP＝60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP＝BC＝6； 如图3： 当∠ABC＝60°时，∠C＝30°， ∵∠ABP＝30°， ∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°， ∴PC＝PB， ∵BC＝6， ∴AB＝3， ∴ 如图4： 当∠ABC＝60°时，∠C＝30°， ∵∠ABP＝30°， ∴∠PBC＝60°+30°＝90°， ∴． 故选：D． 8．【答案】C 【解答】解：去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）＝0．① 方程①的根的情况有两种： （1）方程①有两个相等的实数根，即Δ＝9﹣4×2（4﹣a）＝0． 解得a＝． 当a＝时，解方程2x2﹣3x+（4﹣）＝0，得x1＝x2＝． （2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2． （i）当x＝0时，代入①式得4﹣a＝0，即a＝4． 当a＝4时，解方程2x2﹣3x＝0，x（2x﹣3）＝0，x1＝0或x2＝1.5． 而x1＝0是增根，即这时方程①的另一个根是x＝1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． （ii）当x＝2时，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）＝0，即a＝6． 当a＝6时，解方程2x2﹣3x﹣2＝0，x1＝2，x2＝﹣． x1是增根，故x＝﹣为方程的唯一实根； 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6共3个． 故选：C． 9．【答案】A 【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，）， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4， ∴x＝y+4， 直线AC的解析式为：y＝﹣， ∴x＝4+y﹣2y， ∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y， ∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2， ∵EP＝3PF， ∴PF＝EF＝y， ∴点P的横坐标为：y+4﹣y， ∵0＜y＜， ∴4＜y+4﹣y＜3+， 故答案为：A． 10．【答案】A 【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a＝，b＝，c＝． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【答案】见试题解答内容 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：5＜m≤14， 解关于y的分式方程得， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴m﹣2＝±1或m﹣2＝±2或m﹣2＝±4或m﹣2＝±3或m﹣2＝±12或m﹣2＝±6， ∵m为整数，且5＜m≤14，m﹣2≠0，， ∴m≠2，m≠6， ∴m＝8，m＝14， 那么符合条件的所有整数m的和为14+8＝22， 故答案为：22． 12．【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝x3﹣4x2+x2﹣6x+8 ＝x2（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣2） ＝（x﹣4）（x2+x﹣2） ＝（x﹣4）（x+2）（x﹣1）． 故答案为：（x﹣4）（x+2）（x﹣1）． 13．【答案】125． 【解答】解：∵x，y，z为正整数，且 x＜y＜z， ∴x≥1，y≥2，z≥3， ∴， 即 ， 又∵k 为整数， ∴k＝1，x≠1． 若 x≥3，则 ， 即 ， ∴x只能为 2， ∴ 即 ， 若 y≥4，则 ， 即 +≤＜． ∴y 只能为 3， ∴ 即 z＝6， 综上，（x+y）y＝（2+3）3＝53＝125． 故答案为：125． 14．【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∵ED平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC＝∠ADC， ∵EC平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD＝∠BCD， ∴∠EDC+∠ECD＝∠ADC+∠BCD＝90°， ∴∠DEC＝90°， 取DC中点，连接OE，过E作EG⊥BF，垂足为G，过F作FH⊥BC，垂足为H，如图所示： ∵OE＝DC＝OD， ∴∠ODE＝∠OED＝∠ADE， ∴AD∥EO， ∴E为AB中点， ∴EB＝AB， ∵EB＝EF，EG⊥BF， ∴BG＝GF＝BF， ∵AB＝BF， ∴EB＝BG， 设BG＝x，则EB＝EF＝x，EG＝2x， ∵∠EBG+∠FBH＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°， ∴∠FBH＝∠BEG， ∵∠EGB＝∠BHF＝90°， ∴△EGB∽△BHF， ∴＝，即＝， ∴FH＝， ∵FH⊥BC，EB⊥BC， ∴∠CHF＝∠CBE， ∵∠HCF＝∠BCE， ∴△CHF∽△CBE， ∴＝，即＝， ∴x＝， ∴EB＝EF＝3， ∴EC＝5， ∴BC＝4， ∵∠AED+∠ADE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC， ∵∠DAE＝∠EBC＝90°， ∴△DAE∽△EBC， ∴＝，即＝， ∴AD＝， ∴S梯形ABCD＝＝＝， 故答案为：． 15．【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M． ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝2，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝6，∠ABC＝60°， ∵∠EPB＝∠EBP＝60°， ∴△EPB是等边三角形， ∴∠PEB＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠EPB+∠BCE＝180°， ∴P，B，C，E四点共圆， ∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC， ∵∠TCB＝∠CBT＝60° ∴△TCB是等边三角形， ∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝2， ∵∠BAG＝∠BAC＝30°， ∴∠APC＝90°， ∴PA＝AT•cos30°＝3，AN＝PA•cos30°＝，PN＝PA＝，PC＝PA＝3， ∴BN＝AB﹣AN＝， ∵∠PBE＝∠CBT＝60°， ∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM， ∵∠PCM＝∠PNB＝90°， ∴△PCM∽△BNP， ∴＝， ∴＝， ∴CM＝， ∵PA⊥PC，CM⊥PC， ∴CM∥PA， ∴＝＝＝， ∴AF＝AC＝． 故答案为． 三．解答题（共8小题） 16．【答案】（1）n（m﹣2）（n+1）（n﹣1）；（2）原方程无解． 【解答】解：（1）n3（m﹣2）+n（2﹣m） ＝n3（m﹣2）﹣n（m﹣2） ＝n（m﹣2）（n2﹣1） ＝n（m﹣2）（n+1）（n﹣1）； （2）， 方程两边同时乘以x（x﹣1），得： 5（x﹣1）+4x＝x+3， 去括号，得5x﹣5+4x＝x+3， 移项，得5x+4x﹣x＝3+5， 合并同类项，得8x＝8， x＝1， 检验，当x＝1时，分母x（x﹣1）＝0， ∴原方程无解． 17．【答案】，． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， 当时，原式＝． 18．【答案】（1）选择②③，理由见解析； （2）结论：CD+DE＝BC，理由见解析． 【解答】解：（1）选择②③． 理由：∵AD∥BC， ∴∠A+∠∠B＝180°，∠D+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠A＝∠C， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）（Ⅰ）图形如图所示： （Ⅱ）结论：CD+DE＝BC． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝CD， ∵AE+DE＝AC＝BC， ∴CD+DE＝BC． 19．【答案】（1）2； （2）见解答． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴BC＝AB， 设BC＝x，则AB＝2x， ∴BC2+AC2＝AB2， 即x2+32＝（2x）2， 解得x＝（舍去负值）， 即BC＝，AB＝2， ∵△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝2； （2）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴BC＝AB，∠ABC＝60°， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴BC∥DA， ∵点E是线段AB的中点， ∴CE＝AB＝BE＝AE， ∵∠ABC＝60°，即∠EBC＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC＝60°＝∠ABD， ∴BD∥CF，且BC∥DA ∴四边形BCFD为平行四边形． 20．【答案】（1）（x﹣3）4； （2）2； （3）式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方 【解答】解：（1）令x2﹣6x＝A， （x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81 ＝A（A+18）+81 ＝A2+18A+81 ＝（A+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2； ＝（x﹣3）4； 故答案为：（x﹣3）4； （2）因为（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣， 令2024﹣x＝a，x﹣2025＝b， 则ab＝﹣，a+b＝﹣1， （2024﹣x）2+（x﹣2025）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝ ＝2； （3）（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1 ＝（n+1）（n+4）×（n+2）（n+3）+1 ＝（n2+5n+4）×（n2+5n+6）+1， 令n2+5n+4＝a， 原式＝a×（a+2）+1 ＝a2+2a+1 ＝（a+1）2 ＝（n2+5n+5）2， 因为n为正整数， 所以n2+5n+5是整数， 所以式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 21．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，把点A（，2），B（4，0）代入得， 解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+． （2）如图1中， ①当AB＝AC时，点C坐标（1，0）． ②当BC′＝BA或BC″＝BA时， ∵AB＝＝， ∴点C′（，0），C″（，0）， 综上所述，当△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形时，点C坐标为（1，0）或（，0）或（，0）． （3）如图2中，存在． ①当AB为平行四边形的边时，P1（，0），Q1（0，2）或P3（﹣，0），Q3（0，﹣2）． ②当AB为平行四边形的对角线时，P2（，0），Q2（0，2）． 22．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： （+）×15+＝1． 解得：x＝30． 经检验x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 23．【答案】（1）；15； （2）证明见解析过程； （3）． 【解答】（1）解：E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AB上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． ∵∠B＝60°，EC′⊥AB， ∴，∠BEC′＝30°， 由折叠知C′E＝CE， ∴，∠BCC′＝∠EC′C， ∵∠BCC′+∠EC′C＝∠BEC′＝30°， ∴， 故答案为：；15． （2）证明：由折叠知∠CEF＝∠C′EF，∠EFD＝∠EFD′． ∵AD∥BC， ∴∠CEF+∠EFD＝180°， ∴∠C′EF+∠EFD′＝180°， ∴C′E∥D′F， ∴∠BC′E＝∠D′＝∠D＝∠B， ∴BE＝C′E＝CE， ∴， ∵AD∥BC，点D′在BA延长线上， ∴∠B＝∠D′AF＝∠D′， ∴AF＝D′F＝DF， ∴． ∵AD＝BC， ∴C′E＝D′F， ∴四边形EC′D′F是平行四边形． （3）解：．理由如下： 若AB＝5，BC＝6，S▱ABCD＝24，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，在折叠过程中，要使点C′始终落在AB边上（含A，B点）， 设CE＝C′E＝x，则BE＝6﹣x，作AG⊥BC于点G， ∵S▱ABCD＝BC•AG， ∴， ∴， 如图3，当C′E⊥AB于点C′时，C′E最小，即CE最小， ∵， ∴， 解得，即CE最小值＝； 如图4，当点C′与点A重合时，CE最大，EG＝CE﹣CG＝x﹣3， 在Rt△AEG中，根据勾股定理得EG2+AG2＝AE2， ∴（x﹣3）2+42＝x2， 解得， ∴CE最大值＝． 综上所述，CE的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$