精品解析：2025年广东省广州市南武中学中考二模数学试卷

2025年广东省广州市南武中学中考二模数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 3. 下列运算结果错误是（ ） A. B. C. D. 4. 小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ） A B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 6. 若反比例函数经过点，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A B. 当时，y随x的增大而增大 C. 二次函数图象与x轴有两个交点 D. 二次函数的最小值为n 9. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____． 12. 一次函数图象上有两点，，则______（填，，） 13. 为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，13.9，由此可知______种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____． 15. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 16. 如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解不等式组： 18. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 19. 已知 （1）化简； （2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 20. 年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了名学生进行体重指数调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准， 分类如下： 范围 分类 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 调查结果如表所示： 分类 人数 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）小明身高为，指数为，则小明的体重为__________； （2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分． （3）学校计划从体重正常的个男生和个女生中，抽取名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率． 21. 一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为，对边经过x轴上点和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标． 22. 城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 （米） 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求的值． 验证：把的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米． 23. 如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． （1）若，B为的中点，求的度数． （2）连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 24. 【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【实践与操作】 （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长； 解决问题】 （4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长． 25. 如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； （3）抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省广州市南武中学中考二模数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是理解相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数． 根据相反数的定义，直接判断的相反数． 【详解】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 对于，改变其符号后得到，所以的相反数是， 故选D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项是中心对称图形而不是轴对称图形； C选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形； 故选：D． 3. 下列运算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法和乘法、完全平方公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 4. 小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等量关系可列方程． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程 故答案为：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系的特点，掌握菱形的性质，勾股定理是关键． 根据点的坐标得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 6. 若反比例函数经过点，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象和性质、求反比例函数解析式，先利用反比例函数经过点，求出，再判断一次函数经过的象限即可. 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴， ∴一次函数为， ∵， ∴一次函数为的图象经过二、三、四象限，一定不经过第一象限， 故选：A 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. 二次函数图象与x轴有两个交点 D. 二次函数的最小值为n 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向以及与y轴的交点可以对A进行判断；观察图象，根据对称轴的位置，可对B C D进行判断． 【详解】解：A、抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 故A正确，本选项不符合题意； B、观察图象，当时，y随x的增大而增大．故B正确，本选项不符合题意； C、观察图象，二次函数图象与x轴有两个交点，故C正确，本选项不符合题意； D、观察图象，二次函数的最大值为n，故D错误，本选项符合题意． 故选：D． 9. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所标元素能组成“”（一氧化碳）的有种， 所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率为， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式a解即可因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用提公因式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：先提公因式，再用公式法进行分解． 12. 一次函数图象上有两点，，则______（填，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据，得随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而增大， ∵一次函数的图象上有两点，，且， ∴， 故答案为：． 13. 为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，13.9，由此可知______种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 据此只要比较方差大小即可求解． 详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD， ∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝． 故答案为． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A=∠ACD是解题的关键． 15. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 【答案】##40厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面周长为，半径为， ∴扇形的弧长为， 设扇形的半径为r， 则， 解得：， ∴高为： 故答案：． 16. 如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题． 连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图，连接，   是的中点， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图：   当，，三点共线时，的值最小， 四边形是菱形，，， ，， ∴， ∵，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】该舞狮者“采青”成功．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再利用锐角三角函数求解，再比较即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴该舞狮者“采青”成功． 19. 已知 （1）化简； （2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是： （1）根据同分母相加减的运算法则计算即可； （2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全平方公式求解即可。 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵点为反比例函数上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. 20. 年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了名学生进行体重指数调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准， 分类如下： 范围 分类 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 调查结果如表所示： 分类 人数 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）小明身高为，指数为，则小明的体重为__________； （2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分． （3）学校计划从体重正常的个男生和个女生中，抽取名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） （2）补全统计图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据计算公式求解即可； （2）先求出超重的人数占比，再补全统计图即可； （3）从控制体重的方面阐述即可； （4）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取出来的学生恰好是一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵小明身高为，指数为，， ∴小明的体重为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：超重的人数占比为，补全统计图如下： 【小问3详解】 解：根据题意列表： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 有表格可知，共有种等可能情况，其中恰好为一男一女的有种， ∴抽取出来的学生恰好是一男一女的概率为． 21. 一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为，对边经过x轴上点和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先结合，，得出，然后得，再把代入进行计算，即可作答． （2）过点作轴于，结合，故，因为，即，再把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于， 在中，，，， ，， ． 设反比例函数解析式为， 把代入，得， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：过点作轴于， ， ． 设，在中，，则． ， ． ． ∵在反比例函数的图象上， ， 整理得，解得或（舍去）， ． 22. 城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 （米） 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求的值． 验证：把的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米． 【答案】（1）③见解析；④二次；⑤，； （2）32，1． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，画二次函数图象，求二次函数值， 对于（1），先根据表格描点，并连线，可得图象，再判断其为二次函数，然后将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； 对于（2），将代入关系式求出答案，再令时求出s，可得解． 【小问1详解】 解：③根据题意连线如下： ④二次； ⑤解：把和代入． 可得， ∴， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：32，1. 由题意，当时，， ∴． ∴最后2秒钟，即当时，；又当时，， ∴（米）． 故答案为：32，1． 23. 如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． （1）若，B为的中点，求的度数． （2）连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可； （2）①证明，，即可证明结论； ②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图， ∵B为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 ①如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ②如图2，过点B作交圆于点P，连结， 则，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 24. 【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【实践与操作】 （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长； 【解决问题】 （4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）2或6． 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）作的垂直平分线，交于点，即可解答； （2）可得出，可证得，从而，进而得出结论； （3）连接，作于，可证得，从而，，从而得出点、、、共圆及的值，进而求得的值，解直角三角形求得，进而得出的值； （4）作于，设，交于点，当点在上时，解直角三角形求得和的值，从而求得的值，从而得出的值，依次求得，的值，进而求得的值；当点在延长线上时，同理求得的值． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则可得， 故四边形是单直邻等四边形， （2）证明：是等边三角形， ，， 平分， ， 绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为单直邻等四边形； （3）解：如图，连接，作于， ，， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ，即，， ， 点、、、共圆， ，， ，， ， ， ； （4）解：如图，作于，设，交于点，当点在线段上时， ，， ， ，， ， ， ，平分， ， ， ， 如图， 当点在的延长线上时， 由上知，，， ， ， ， ， 综上所述：或6， 故答案为：2或6． 25. 如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； （3）抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 【答案】（1）；顶点为 （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得； （2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得； （3）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得． 【小问1详解】 解：设二次函数表达式为：， 将、代入得： ， 解得，， 抛物线的函数表达式为：， 又，， 顶点为； 【小问2详解】 解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为． ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； 综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 解：点关于点的对称点为点， ， 直线与抛物线图像只有一个公共点， 只有一个实数解， △， 即：， 解得：， 利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立，结合已知， 解得：， 同理可得：， 则：，， ， 的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $