2025年高中数学解题方法选择题之-特殊值法　讲义

大招2  巧取特殊值，速排选择题错误项 特值法就是用符合条件的特例，如特殊自变量、特殊函数值、特殊函数、特殊点、特殊图形、特殊数列等来检验各选项，从而直接得到正确选项或排除干扰项的方法．其基本步骤为： 投机取“巧” 取巧直接选取特殊的元素，如特殊点（坐标原点）、特殊自变量（0或1）、特殊函数（常数函数）、特殊数列（常数列）等 根据选项的差异性选取特值，使得特值分属于不同的选项 检验特值排除：代入特值，检验是否符合，从而排除相应的干扰项，一般通过二次取特值排除，即可排除所有的干扰项 特值检验：对于定性与定值类问题，直接通过特值验证结论即可 结论根据检验的结果，直接确定相应的选项或结果；或者几次检验排除掉多余的选项，进而得到正确的结果 【典例1】已知 为等差数列， 且 ， 若数列 的前 项的和为 40 ， 则正整数 的值为 (       ) A 10            B． 20             C． 30           D． 40 【大招指引】取特殊数列（常数列）进行检验求解． 【解析】令每一项为 ，，，， 所以 ． 故选 B． 【题后反思】 本题也可以利用常规方法进行求解： 由题意可得， ， 所以 ． 【温馨提醒】数列的选择填空题中只有一个条件时，在不违背题意的条件下，我们可以直接利用特殊值， 令其公差为 0 或者公比为 1 ， 即令数列为常数列，每一项设为 ． 注意：一定检验是否符合题意，题目中如果出现公差不为 0 或者公比不为 1 ， 则慎用此法． 【举一反三】 1． 如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）． A． 增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 B． 增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值. 【详解】因为是奇函数，所以在区间 上的单调性与在上的单调性相同，也是增函数，在上的最小值5，即， 所以在区间上的最大值为. 故选：. 【典例2】已知函数，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ） A．         B． B．         D． 【大招指引】求导，取特殊值，排除选项A、B，再利用排除选项C． 【解析】，当时，，， 所以，即，所以在上单调递减． 令，，则AB错误．对于CD选项，， 所以C错误，D正确．故选D． 【题后反思】本题也可以常规方法进行求解： 由得， 当时，，，所以， 即，所以在上单调递减． 因为是锐角的两个内角，所以，，， 则．因为在上单调递减， 所以，故，故D正确． 同理可得，C错误． 而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定， 所以与，与的大小关系也均不确定， AB不能判断．故选D． 【温馨提醒】在利用特殊值进行排除时，往往代入特值（自变量、函数、数列等），检验是否符合，从而排除相应的干扰项，一般通过二次取特值排除，即可排除所有的干扰项 【举一反三】 2． 函数对任意成立，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】求得，结合，得到，求得函数的单调性，结合题意，转化为，令，利用求得函数的单调性和最小值，进而求得实数的最小值. 【详解】由函数，可得，且， 若时，恒成立，函数单调递增， 当时，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以存在，使得时，，不符合题意，则有， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则， 令，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上递减，在上递增，所以， 所以的最小值为. 故选：D. 【典例3】在直角三角形 中， 点是斜边的中点，点为线段的中点，则 （ ） A． 2    B． 4    C． 5    D． 10 【大招指引】选取等腰直角三角形 ， 建立直角坐标系进行求解． 【解析】选取等腰直角三角形 ， 以直角顶点 为原点， 所在直线为 轴， 所在 直线为 轴建立平面直角坐标系， 并设 ， 则得 ， 进而得 ， 故选 D． 【题后反思】本题也可以按如下方法进行求解： 将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，， 那么，那么，故选D． 【温馨提醒】利用特殊图形或特殊位置处理选择题时，要注意所选图形或位置不违背题意． 【举一反三】 3． 已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得渐近线的夹角与渐近线倾斜角的关系，再利用渐近线与离心率的关系列出方程，算出答案. 【详解】双曲线，即的渐近线为， 因为，所以的倾斜角小于，的倾斜角大于， 所以两渐近线的夹角满足，所以. 故选：C. 4． 函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称， 因为， 所以排除选项； 当时，有一零点，设为，当时，为减函数， 当时，为增函数． 故选：D.          5． 在 中， 角 所对的边分别为 ， 若 成等差数列， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用余弦定理表示出，，代入计算即可. 【详解】方法一：因为成等差数列，则， 又由余弦定理可得： ， . 则； 方法二：令，则为等边三角形，且， 所以＝. 故选：A. 6． 已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质得，由对数运算化简即可． 【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且 所以 . 故选：C． 【点睛】对数运算的一般思路： （1） 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2） 合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 7． 在等差数列中，，，则（    ） A．0 B．m C．n D． 【答案】A 【分析】选择题可以用特殊值法，简便又快捷. 【详解】构造等差数列使得，，这里，，于是，排除B、C、D， 故选:A. 8． 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设，则，由椭圆定义知：； ，，即，， ，椭圆的离心率. 故选：C. 9． 若、为复数，则（    ） A． B． B． D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用共轭复数的定义、复数的加法可判断B选项；利用复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘法可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，则，， 所以，，，所以，， 所以，，，故，A错； 对于B选项，设，， 则，， ，，则，所以，，B对； 对于C选项，不妨取，，则，，， 所以，，故，C错； 对于D选项，设，则，所以，， 所以，，D对. 故选：BD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招2  巧取特殊值，速排选择题错误项 特值法就是用符合条件的特例，如特殊自变量、特殊函数值、特殊函数、特殊点、特殊图形、特殊数列等来检验各选项，从而直接得到正确选项或排除干扰项的方法．其基本步骤为： 投机取“巧” 取巧直接选取特殊的元素，如特殊点（坐标原点）、特殊自变量（0或1）、特殊函数（常数函数）、特殊数列（常数列）等 根据选项的差异性选取特值，使得特值分属于不同的选项 检验特值排除：代入特值，检验是否符合，从而排除相应的干扰项，一般通过二次取特值排除，即可排除所有的干扰项 特值检验：对于定性与定值类问题，直接通过特值验证结论即可 结论根据检验的结果，直接确定相应的选项或结果；或者几次检验排除掉多余的选项，进而得到正确的结果 【典例1】已知 为等差数列， 且 ， 若数列 的前 项的和为 40 ， 则正整数 的值为 (       ) A 10            B． 20             C． 30           D． 40 【大招指引】取特殊数列（常数列）进行检验求解． 【解析】令每一项为 ，，，， 所以 ． 故选 B． 【题后反思】 本题也可以利用常规方法进行求解： 由题意可得， ， 所以 ． 【温馨提醒】数列的选择填空题中只有一个条件时，在不违背题意的条件下，我们可以直接利用特殊值， 令其公差为 0 或者公比为 1 ， 即令数列为常数列，每一项设为 ． 注意：一定检验是否符合题意，题目中如果出现公差不为 0 或者公比不为 1 ， 则慎用此法． 【举一反三】 1． 如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）． A． 增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 B． 增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【典例2】已知函数，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ） A．         B． B．         D． 【大招指引】求导，取特殊值，排除选项A、B，再利用排除选项C． 【解析】，当时，，， 所以，即，所以在上单调递减． 令，，则AB错误．对于CD选项，， 所以C错误，D正确．故选D． 【题后反思】本题也可以常规方法进行求解： 由得， 当时，，，所以， 即，所以在上单调递减． 因为是锐角的两个内角，所以，，， 则．因为在上单调递减， 所以，故，故D正确． 同理可得，C错误． 而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定， 所以与，与的大小关系也均不确定， AB不能判断．故选D． 【温馨提醒】在利用特殊值进行排除时，往往代入特值（自变量、函数、数列等），检验是否符合，从而排除相应的干扰项，一般通过二次取特值排除，即可排除所有的干扰项 【举一反三】 2． 函数对任意成立，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【典例3】在直角三角形 中， 点是斜边的中点，点为线段的中点，则 （ ） A． 2    B． 4    C． 5    D． 10 【大招指引】选取等腰直角三角形 ， 建立直角坐标系进行求解． 【解析】选取等腰直角三角形 ， 以直角顶点 为原点， 所在直线为 轴， 所在 直线为 轴建立平面直角坐标系， 并设 ， 则得 ， 进而得 ， 故选 D． 【题后反思】本题也可以按如下方法进行求解： 将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，， 那么，那么，故选D． 【温馨提醒】利用特殊图形或特殊位置处理选择题时，要注意所选图形或位置不违背题意． 【举一反三】 3． 已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于（    ） A．e B． C． D． 4． 函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5． 在 中， 角 所对的边分别为 ， 若 成等差数列， 则（    ） A． B． C． D． 6． 已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C．10 D．15 7． 在等差数列中，，，则（    ） A．0 B．m C．n D． 8． 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9． 若、为复数，则（    ） A． B． B． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$