第四章 平面内的两条直线知识归纳与题型突破（7类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

第四章 平面内的两条直线知识归纳与题型突破（题型清单） 1.平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线. 2.对顶角的概念：有公共的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线.这样的两个角叫做对顶角.对顶角相等. 3.同位角概念：在截线的同旁，并且分别位于被截线的相同一侧，这样的一对角叫做同位角. 4.内错角概念：在截线的异侧，并且分别位于被截线之间，这样的一对角叫做内错角. 5.同旁内角的概念： 在截线的同旁，并且分别位于被截线之间，这样的一对角叫做同旁内角. 6.平行线的性质： ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单的说，两直线平行，同位角相等. ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说，两直线平行，内错角相等. ③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说，两直线平行，同旁内角互补. 7.平行线的判定： ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说：同位角相等，两直线平行. ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. ③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行.简单的说，内错角相等，两条直线平行. ④两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行.简单的说，同旁内角互补，两条直线平行. 8.平移的概念：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫做平移. 原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像. 9.平移的特点：平移不改变图形的形状和大小.平移还不改变直线的方向. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 10.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另外一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足. 11.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线. 12.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 13.设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段. 14.垂线与垂线段的区别和联系 区别：垂线是直线，垂线段是线段. 联系：垂线和垂线段都有垂直关系. 15.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短. 16.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 17.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等. 18.我们把两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线间的距离. 题型一　平面内两条直线的位置关系 例题1-1：（24-25七年级下·天津和平·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．根据“同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交”即可A 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：A 例题1-2：（七年级上·福建福州·期末）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 例题1-3：（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25七年级下·广东清远·阶段练习）平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如果，，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行公理的应用，根据平行公理即可得出答案 【详解】∵，，， ∴，，， 故选：A． 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 5．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 6．（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 根据平行线的性质和判定及平行公理逐个判断得结论． 【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误． 垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确； 故选：D． 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）若，，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 9．（24-25七年级下·江西宜春·阶段练习）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 题型二　相交直线所成的角 例题2-1：（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）下列图形中，与互为对顶角的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义（两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角）是解题的关键． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、与没有公共顶点，不互为对顶角，故此选项不符合题意； B、与不互为对顶角，故此选项不符合题意； C、与互为对顶角，故此选项符合题意； D、与不互为对顶角，故此选项不符合题意． 故选：C． 例题2-2：（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角、对顶角、同位角、内错角，熟练掌握各类角的概念是解题的关键．根据同旁内角、对顶角、同位角、内错角的定义和所在位置关系，即可判断各个角之间的关系． 【详解】A、同旁内角：在截线同侧，在两条被截线之间，那么与是同旁内角，故A正确，不符合题意； B、对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，那么与是对顶角，故B正确，不符合题意； C、同位角：在截线同侧，在两条被截线同一方，那么与不是同位角，故C错误，符合题意； D、内错角：在截线两侧，在两条被截线之间，那么与是内错角，故D正确，不符合题意． 故选：C． 例题2-3：（2025·重庆·三模）如图，如果，那么1的同旁内角等于 度． 【答案】100 【分析】本题考查同旁内角的概念，对顶角的性质，由于，利用对顶角的性质求出，而就是的同旁内角，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴的同旁内角等于 故答案为：100． 巩固训练 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的识别，掌握对顶角的定义，数形结合分析是关键． 在一个平面内，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做互为对顶角、两条直线相交，构成两对对顶角，由此即可求解． 【详解】解：A、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、是三条直线相交的角，不符合题意； C、是对顶角，符合题意； D、是三条直线相交的角，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25七年级下·天津西青·期中）在图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【详解】解：由对顶角的定义可得，四个选项中，只有C选项中的与是对顶角， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线被直线所截，与是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义分析即可． 【详解】解：∵与都在a，b的同侧，并且在l（截线）的同旁， ∴与是一对同位角． 故选A． 4．（2025·河南焦作·三模）如图，直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、几何图形中角的计算，熟练掌握相关定义是解题的关键．由对顶角相等得，再由角的和差关系得出的度数． 【详解】解：如图， 与是对顶角，， ， ， 故选C． 5．（山西省朔州市多校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷）如图，直线相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查对顶角的性质及角的和差，根据对顶角的性质得到，由计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 6．（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）如图，直线和相交于点平分，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线和邻补角．熟练掌握其定义，是解题的关键． 根据角平分线的定义得，根据邻补角定义得 ． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等，掌握这一性质是解题的关键；根据对顶角相等即可作答． 【详解】解：； 故选：B． 8．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、和是内错角，原说法正确，不符合题意； B、和是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、和是同位角，原说法错误，符合题意； D、和是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 9．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义解答即可． 本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意， B. 与是内错角，错误，不符合题意， C. 与是同位角，错误，不符合题意， D. 与是同旁内角，正确，符合题意， 故选：D． 10．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，图1是某运动员练习射箭时的图片，图2是示意图，则下列说法：①和是同旁内角；②和是同位角；③和是内错角；④和是对顶角；⑤和是内错角，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了三线八角及对顶角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．分别进行分析可得答案． 【详解】解：①和是同旁内角，正确； ②和是不是同位角，错误； ③和是内错角，正确； ④和是不是对顶角，错误； ⑤和是不是内错角，错误； 其中正确的有2个． 故选：B． 题型三　利用平移的性质求周长、面积 例题3-1：（吉林省白山市2025年中考质量检测数学试题）如图，将沿方向平移到的位置，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．利用平移的性质得到，再用即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例题3-2：（2025·山西晋中·二模）如图，将沿射线平移得到，连接．若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得，，得到四边形的周长等于的周长与的和，计算即可得解． 【详解】解：将沿射线平移得到， ∴， 的周长为 ， 四边形的周长 ． 故答案为：21． 例题3-3：（山东省日照市曲阜师范大学实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平移的性质．利用平移的性质得到，，，则，所以，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到， ∴，，， ∴，即， ∴ ， 故答案为：18． 巩固训练 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，线段的和差关系等知识．首先根据平移的性质得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，又由即可求解． 【详解】解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟记平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∴，，，，，和不一定相等． 故选：D． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据长方形的面积公式计算，得到答案即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴空白部分长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：D． 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论： ①，且； ②； ③若，则边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质，平行四边形的面积公式即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知，且，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 当，，则边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意； 四边形的周长为， 三角形的周长为， 由平移可知，， ∴， ∴，即，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②④， 故选：C 6．（2025·江苏无锡·一模）如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，并灵活应用． 利用平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①四边形的面积加上的面积为的面积， 四边形的面积加上的面积为的面积， 而和面积相等， 所以，四边形的面积与四边形的面积相等， 故①正确，符合题意； ②由平移的性质可得，，但与不一定相等， 故②错误，不符合题意； ③根据平移的性质可得， 所以，向右平移了， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 7．（山西省朔州市多校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷）如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若，，阴影部分的面积为，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， ∴， ∵， ∴， 即． ∴ 即平移的距离为： 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图中，，将沿边向右平移4个单位得到，则四边形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平移的性质，利用了对应边相等、对应点的距离等于平移距离求解即可． 【详解】∵将沿边向右平移4个单位得到， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·广西南宁·二模）如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，有一条的弯曲小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】本题考查了生活中的平移现象，通过平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键． 根据小路的右边线向左平移就是它的左边线，可得路的宽度是，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， ∴将小路右半部分的草地向左平移，与小路的左半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 因此这块草地的绿地面积是． 故答案为：200． 11．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 【答案】540 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由长方形的面积得，即可求解；能根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （）， 故答案为：． 12．（2025七年级下·山东·专题练习）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】此题考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题的关键． 根据平移的性质得出草地的长和宽，然后相乘即可． 【详解】解：由平移得到，草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为． 故答案为：200． 13．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 98米 1104 平方米 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于，据此计算求解即可；根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积． 【详解】解：由平移的性质可得，图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于， ∵米，宽米， ∴他所走的路线（图中虚线）长为（米）， 根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积， ∴阴影部分的面积为平方米， 故答案为：98米；1104平方米． 题型四　平行线的性质与判定 例题：（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析． 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行性的性质可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得， 从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．（2025·贵州贵阳·一模）如图，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，直接根据两直线平行内错角相等计算即可. 【详解】如图，∵，， ∴， ∴． 故选：A 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】、本题考查了平行线的性质，根据得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 4．（2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线性质． 利用平行线性质求的度数，计算的度数，利用平行线性质求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 已知， ， ，， ∵， ∴． 故答案为：C． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示，折线是固定支架，且，平板，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，交的延长线于点Q，过点B作，利用平行线的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点Q，过点B作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．解答本题的关键是明确平行线的判定方法． 【详解】解：， ，不能得到，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ， ，不能得到，故④不符合题意； 故选：B． 7．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行； （2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解． 【详解】（1）解：为平角， 又， ， ； （2）解：如图所示， ，    ， ， ， ，    又为的角平分线， ， ， ，    ， ． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）先由，得到，则，进而得到，由此即可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再证明，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)110； (2)，理由见解答过程 (3)当P在延长线上时，；当P在延长线上时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作，由平行线性质求即可； （）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴； 当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴． 10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 11．（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 12．（24-25七年级下·北京·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 过点B作直线，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），理由如下：    如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即． （4）如图， ，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五　垂线 例题5-1：（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案； （2）得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）平分， ， ， ， ． （2），， ， ， ． 例题5-2：（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义； （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．（2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷）如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义．由题意易得，，进而可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·重庆开州·期中）如图，直线与相交于点，，平分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分的定义，角度和差的计算，理解图示，掌握角度的和差计算是关键． 根据垂直和角平分线的定义，对顶角相等得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，．若平分，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了垂直的性质、角平分线的定义以及角的和差关系，解题的关键是根据已知条件求出相关角的度数． 先根据垂直和角平分线求出的度数，再利用，通过角的和差求出的度数，最后结合求出的度数． 【详解】， ． 又平分， ，即． ， ． ． ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，直线，相交于点，过点作射线，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，角平分线的定义等，由邻补角性质可得，即可由角平分线的定义得，再根据对顶角的性质得，又根据垂直的定义得，即得，最后根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． （1）首先根据“对顶角相等”可知，结合垂直的定义可得，然后由求解即可； （2）首先根据角平分的定义确定的值，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴． 8．（山东省日照市曲阜师范大学实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，已知、，，．求证： (1)； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）先根据题意求得，，推出，即可判定； （2）由，求得，推出，则，然后根据平行线的性质，从而得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六　垂线段 例题：（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号) 【答案】②③/③② 【分析】本题主要查了点到直线的距离，垂线段最短．根据点到直线的距离的定义，垂线段最短，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①线段的长度是点到直线的距离，原说法错误； ②线段的长度是点到直线的距离，正确； ③三条线段中，最短，正确； ④线段的长是点到直线的距离，原说法错误． 故答案为：②③ 巩固训练 1．（2025·河北保定·二模）如图，点是直线外一点，点，，，，在直线上，，比较线段，，，，的长短，其中最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线段最短，解答即可． 本题考查了垂线段最短，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是垂线段，故最短， 故A，C，D都是错误的，B正确， 故选：B． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短的定理．根据题意，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短的知识；根据题意知，点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3，即可求解． 【详解】解：由于点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3； 故选：D． 4．（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图点为直线外一点，点到直线上的点的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B．小于 C．大于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可求解，理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵点到直线上的点的距离为， ∴点到直线的距离不大于， 故选：． 5．（2025·河北·一模）点在直线外，点在直线上，，则点到直线的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，根据垂线段最短可得：，从而可知点到直线的距离不可能是． 【详解】解：设点到直线的距离是， 根据垂线段最短可得：， 点到直线的距离不可能是． 故选： D． 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了点到直线的距离．根据点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴点C到的距离是． 故答案为： 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，P为直线m外一点，A、B、C在直线m上，且，有下列说法：①、、三条线段中，最短；②线段的长叫做点P到直线m的距离；③线段是点A到的距离；④线段的长是点A到的距离．请把说法正确的序号填在横线上 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断即可． 【详解】解：①线段是点P到直线m的垂线段，根据垂线段最短可知，、、三条线段中，最短，故原说法正确； ②线段是点P到直线m的垂线段，故线段的长度叫做点P到直线m的距离，故原说法正确； ③线段是点A到直线的垂线段，故线段的长度叫做点P到的距离，故原说法正确； ④由题意及图形无法判断线段的长是点A到的距离，故原说法错误； 综上所述，正确的说法有①②③； 故答案为：①②③． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 题型七　两条平行线间的距离 例题7-1：（24-25七年级下·上海·期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ． 【答案】3或7/7或3 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论：当直线c在直线a与b之间时，当直线c在直线a与b外侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当直线c在直线a与b之间时，如图所示： ∵直线与的线距为5，直线与的线距为2， ∴直线与的线距为； 当直线c在直线a与b外侧时，如图所示： ∵直线与的线距为5，直线与的线距为2， ∴直线与的线距为； 综上分析可知：直线与的线距是3或7． 故答案为：3或7． 例题7-2：（24-25八年级上·广西桂林·开学考试）如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积等于4， ∴， 故答案为：4． 巩固训练 1．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（   ） A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键在于理解铁轨枕木的设计与平行线间距离的关系．依据铁轨双轨道平行进行分析即可得出结论． 【详解】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确； B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意； C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意； D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键． 依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为， 分两种情况讨论如下： ①当直线在直线之间时，如图1所示： 此时与之间的距离是：； ②当直线在直线外时，如图2所示： 此时与之间的距离是：， 综上所述：与之间的距离是或． 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南·自主招生）如图，将梯形分成了一个三角形和平行四边形，三角形的面积与平行四边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∴三角形的面积为：，平行四边形的面积为：， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 6．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴； 故选B． 7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 8．（七年级下·上海松江·期末）如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    【答案】20 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点C到与点B到的距离相等， 设点C到与点B到的距离为h， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为20， 故答案为：20． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 平面内的两条直线知识归纳与题型突破（题型清单） 1.平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线. 2.对顶角的概念：有公共的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线.这样的两个角叫做对顶角.对顶角相等. 3.同位角概念：在截线的同旁，并且分别位于被截线的相同一侧，这样的一对角叫做同位角. 4.内错角概念：在截线的异侧，并且分别位于被截线之间，这样的一对角叫做内错角. 5.同旁内角的概念： 在截线的同旁，并且分别位于被截线之间，这样的一对角叫做同旁内角. 6.平行线的性质： ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单的说，两直线平行，同位角相等. ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说，两直线平行，内错角相等. ③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说，两直线平行，同旁内角互补. 7.平行线的判定： ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说：同位角相等，两直线平行. ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. ③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行.简单的说，内错角相等，两条直线平行. ④两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行.简单的说，同旁内角互补，两条直线平行. 8.平移的概念：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫做平移. 原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像. 9.平移的特点：平移不改变图形的形状和大小.平移还不改变直线的方向. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 10.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另外一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足. 11.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线. 12.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 13.设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段. 14.垂线与垂线段的区别和联系 区别：垂线是直线，垂线段是线段. 联系：垂线和垂线段都有垂直关系. 15.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短. 16.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 17.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等. 18.我们把两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线间的距离. 题型一　平面内两条直线的位置关系 例题1-1：（24-25七年级下·天津和平·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直 例题1-2：（七年级上·福建福州·期末）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 例题1-3：（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 巩固训练 1．（24-25七年级下·广东清远·阶段练习）平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 2．（2025·河北唐山·二模）如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如果，，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 6．（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）若，，则与的位置关系是 ． 9．（24-25七年级下·江西宜春·阶段练习）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 题型二　相交直线所成的角 例题2-1：（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）下列图形中，与互为对顶角的是（　  ） A． B． C． D． 例题2-2：（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 例题2-3：（2025·重庆·三模）如图，如果，那么1的同旁内角等于 度． 巩固训练 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津西青·期中）在图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线被直线所截，与是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 4．（2025·河南焦作·三模）如图，直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（山西省朔州市多校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷）如图，直线相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）如图，直线和相交于点平分，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 9．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 10．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，图1是某运动员练习射箭时的图片，图2是示意图，则下列说法：①和是同旁内角；②和是同位角；③和是内错角；④和是对顶角；⑤和是内错角，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三　利用平移的性质求周长、面积 例题3-1：（吉林省白山市2025年中考质量检测数学试题）如图，将沿方向平移到的位置，若，则的长为 ． 例题3-2：（2025·山西晋中·二模）如图，将沿射线平移得到，连接．若的周长为，则四边形的周长为 ． 例题3-3：（山东省日照市曲阜师范大学实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 巩固训练 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论： ①，且； ②； ③若，则边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·江苏无锡·一模）如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（山西省朔州市多校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷）如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若，，阴影部分的面积为，则平移的距离为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图中，，将沿边向右平移4个单位得到，则四边形的周长为 ． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2025·广西南宁·二模）如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，有一条的弯曲小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的面积为 ． 11．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 12．（2025七年级下·山东·专题练习）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 13．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ． 题型四　平行线的性质与判定 例题：（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 巩固训练 1．（2025·贵州贵阳·一模）如图，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示，折线是固定支架，且，平板，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 7．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 11．（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 12．（24-25七年级下·北京·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 题型五　垂线 例题5-1：（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 例题5-2：（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 巩固训练 1．（2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷）如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆开州·期中）如图，直线与相交于点，，平分，且，则 ． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，．若平分，则的度数为 ． 4．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，直线，相交于点，过点作射线，，平分，，求的度数． 5．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 8．（山东省日照市曲阜师范大学实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，已知、，，．求证： (1)； (2)若，求． 题型六　垂线段 例题：（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号) 巩固训练 1．（2025·河北保定·二模）如图，点是直线外一点，点，，，，在直线上，，比较线段，，，，的长短，其中最短的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图点为直线外一点，点到直线上的点的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B．小于 C．大于 D．不大于 5．（2025·河北·一模）点在直线外，点在直线上，，则点到直线的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，P为直线m外一点，A、B、C在直线m上，且，有下列说法：①、、三条线段中，最短；②线段的长叫做点P到直线m的距离；③线段是点A到的距离；④线段的长是点A到的距离．请把说法正确的序号填在横线上 ． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 题型七　两条平行线间的距离 例题7-1：（24-25七年级下·上海·期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ． 例题7-2：（24-25八年级上·广西桂林·开学考试）如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 巩固训练 1．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（   ） A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25七年级下·河南·自主招生）如图，将梯形分成了一个三角形和平行四边形，三角形的面积与平行四边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 8．（七年级下·上海松江·期末）如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$