第一章 整式的乘法知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

第一章 整式的乘法知识归纳与题型突破（题型清单） 1.同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；公式：(m,n都是正数) 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；公式：(m,n都是正数) 3.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；公式： 注：（1）法则中的积里的每一个因式是指组成积的所有因式，不能漏掉，且各自乘方后还是乘法运算。 （2）三个或三个以上的积的乘方也具有同样的性质，即 （3）幂的以上三种运算性质都可以逆用。 4. 整式的乘法 （1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 注：整式的乘法运算的结果一定注意要合并同类项。 5．平方差公式: 6．完全平方公式: 题型一　幂的混合运算 例题1-1：（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的加减，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算公式是解题的关键． （1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方，结合整体法进行计算，再进行整式的加减； （2）先合并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方，再进行整式的加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方的逆运算． （1）根据同底数幂的乘法运算计算即可． （2）根据积的乘方的逆运算进行拆分求解即可． （3）把变成，然后根据同底数幂的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数的乘法，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和同底数的乘法，然后合并即可； （2）首先计算同底数幂的乘法，然后合并即可； （3）首先计算幂的乘方和积的乘方的逆运算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 题型二　幂的运算性质的逆用 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方， （1）根据幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 题型三　利用幂的运算性质解决整除问题 例题：（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）能被整除吗？为什么？ 【答案】能被整除，原因见解析 【分析】根据幂的乘方可得，，，进而利用幂的乘方运算化简可得，即可求解． 【详解】，，， 所以 所以能被45整除. 巩固训练 1．（2019下·七年级课后作业）52•32n+1•2n－3n•6n+2能被13整除吗？ 【答案】能. 【分析】利用幂的运算法则与合并同类项将52•32n+1•2n－3n•6n+2变形为13•32n+1•2n，即可得到答案 【详解】解：能. 理由如下： ∵52•32n+1•2n−3n•6n+2 =25•32n+1•2n−3n•2n+2•3n+2 =25•32n+1•2n−3•32n+1•22•2n =25•32n+1•2n−12•32n+1•2n =13•32n+1•2n， 故52•32n+1•2n−3n•6n+2是13的倍数. 题型四　与幂的运算相关的大小比较 例题：已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，将三个数全部化成底数为的幂，再进行比较即可得解． 【详解】解：，，， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．（24-25八年级上·海南海口·期末）已知，，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形．先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较． 【详解】解：，， 又， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方的性质，可得，，比较2187和2048的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知，则、、的大小关系是 (请用字母表示，并用“”连接)． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方、有理数的大小比较，根据幂的乘方运算法则化成同指数幂，再比较大小即可. 【详解】解：， ， ． ∵， ∴． ∴． 4．（21-22八年级上·山东济宁·期末）比较大小： ．（填“＞，＜或＝”） 【答案】＜ 【分析】先化为指数相等的2个数，再比较底数即可求解． 【详解】， 故答案为：＜ 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 题型五　整式乘法与加减法的混合运算 例题：（24-25八年级上·全国·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （）利用平方差公式展开即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． （1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ； 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据幂的乘方的法则，得，再结合同底数幂相乘得，再合并同类项即可； （2）先根据积的乘方的法则，得，再结合单项式乘单项式得，然后合并同类项即可； （3）先根据单项式乘多项式法则，得，再合并同类项，即可作答； （4）先根据完全平方公式以及平方差公式法则，得，再合并同类项，得，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六　化简求值 例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】；16 【分析】本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质，先根据乘法公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，由非负数的性质得出的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 解得， ∴原式 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法的混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键． 根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的化简求值，关键是掌握平方差公式，完全平方公式． 先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式对式子进行化简，再将，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型七　“不含”问题 例题：（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：的展开式中不含项和项，求、的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则，正确表示出项和项的系数是解题的关键． 首先利用多项式乘多项式计算的展开式，然后根据已知条件“展开式中不含项和项”得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得、的值． 【详解】解： ， 展开式中不含项和项， ， 解得：， ，． 巩固训练 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）的展开式中不含项和常数项，则 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了无关型问题．熟练掌握多项式相乘法则合并同类项法则，代数式求值，是解题的关键． 用多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据不含项和常数项，令项系数和常数项都为0，解方程求出a、b的值，代入计算即得． 【详解】∵ 中不含项和常数项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出的结果，再根据结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵式子的计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，再根据多项式与的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为，得出，最后求出结果即可． 【详解】解： ， 多项式与的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为， ∴， 解得：． 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入中计算即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：16． 题型八　几何图形问题 例题8-1：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)352平方米 【分析】本题主要考查此题考查了多项式乘多项式的应用，代数式求值等知识． （1）将水平与垂直的小路平移到右边及下边，表示出剩下部分的长与宽，利用长方形的面积公式列出关系式． （2）将代入（1）式计算即可． 【详解】（1）解：依据题意得该绿地的总面积为： （平方米）， 该绿地的总面积为平方米 （2）解：当时， 该绿地的总面积为：（平方米） 例题8-2：（24-25八年级上·浙江·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 【答案】（1），；（2）①12②74；（3） 【分析】本题考查乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）利用两种方法表示出阴影部分的面积，写出图1的等式，利用正方形的面积公式以及分割法求图形的面积，表示出数学公式即可； （2）①利用平方差公式进行计算即可；②利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）利用平方差公式进行展开，再进行约分化简即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积可以用：，也可以用来表示， ∴图1所表示的数学等式为：； 大正方形的面积可以用：，也可以用表示， ∴可以说明； （2）①∵， ∴； 故答案为：12； ②∵， ∵， ∴ ； 故答案为：74； （3）原式 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张． 故答案为：9． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图列出代数式并掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可得阴影部分的面积= =． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）利用两种方法表示出面积，即可得出结论； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)7 (4)22 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据正方形面积公式表示出图①中正方形的面积即可；用大正方形的面积减去两个长方形的面积得出答案即可； （2）根据两个图中阴影部分面积相等，即可得出答案； （3）根据完全平方公式，进行变形求值即可； （4）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：图①中正方形的边长为，则面积为；图②中正方形的面积为：； （2）解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴ ， ∵ ， ∴． 5．（24-25八年级上·吉林延边·期末）阅读材料：两个边长分别为a和b的正方形（），如图1所示放置，其中图①阴影四边形的面积记为S，图②两个阴影三角形的面积分别记为和，根据题意，易得出以下结论： ， ， ． (1)根据材料信息，由可得出的乘法公式为（   ）； A． B． C． (2)将图1中边长为b的小正方形沿着直线l向右翻折，并分别在图中取阴影四边形，（如图2中①②所示）分别求出这两个阴影四边形面积和；（用含a，b的式子表示，并将结果化成最简形式） (3)在图3中设计一个阴影四边形，使得阴影四边形的四个顶点均为两正方形的顶点，且面积为；（要求：图3中的阴影四边形不能与图2的①②形状相同） (4)如图4，在中，，过点A作于点D，点E是线段上一点，若，则阴影四边形的面积为________． 【答案】(1)B (2) (3)见详解 (4)300 【分析】本题主要考查完全平方公式以及平方差公式和几何图形的结合， 根据题干已知求解即可； 将阴影部分面积分为两部分或者一个整体，列代数化简即可； 根据已知面积将其利用平方差公式变形，结合面积公式作图即可； 过点B和点C作连接，则阴影四边形的面积化简为，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且 ∴， 即， 故选：B； （2）解： ； ； （3）解：如图， （4）解：过点B和点C作连接，如图， ∵，， ∴阴影四边形的面积 ． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)； (2)； ． 【分析】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． 根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； 由可知，把和代入计算即可求出的值； 从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． 题型九　规律探究问题 例题：（河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读下文，寻找规律： 已知：，观察下列各式： ； ； ； ； … (1)填空： ①_________； ②_________． (2)根据你的猜想，计算： ①_________； ②那么的末尾数字为_________． 【答案】(1)①；② (2)①；②1 【分析】（1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）①把x=2，n=2020代入所得的规律中即可得到答案；②先探究的末尾数字的规律，然后根据规律求解. 【详解】（1）解：①根据规律可得：； ②原式 ； （2）解：①∵， 把x=2，n=2020代入， 得：， ②∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…， ∵， ∴的末尾数字是2， ∴的末尾数字是1. 巩固训练 1.（2023·全国·九年级专题练习）试求的个位数字． 【答案】6 【分析】根据平方差公式，求出，根据的个位数字是6即可得出结果． 【详解】解： ， ∴个位数字是6． 2．（湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上图的规律，写出的展开式． (2)求的展开式共有多少个项． (3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 【答案】(1)； (2)有个项； (3)． 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究： （1）根据图中规律，写出的展开式即可； （2）根据前三个展开式中的项数，得出规律，进行作答即可； （3）求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ； （2）解：∵，有项； ，有项； ，有项； ∴的展开式中有个项； （3）∵，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ∴，展开式的系数和为：． 4．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 5．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点， (1)根据探索材料找到规律直接写出答案； (2)把代入(1)中的等式进行求值即可；把代入(1)中式子计算即可； 熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， 故答案为： 把代入中得， ， ． 题型十　巧用乘法公式计算 例题10-1：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）利用乘法公式计算下列各题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式及平方差公式进行简便运算，熟练掌握这两个公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 例题10-2：（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9975 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式求解即可； （2）将原式化为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（七年级下·湖南怀化·期末）计算： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式将变形为，通过相邻的项约分化简即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（七年级下·福建三明·期中）设m ＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），则m的个位数字是 ． 【答案】5 【分析】连续利用平方差公式可求得以幂表示的m，再根据2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字规律，即可求得m的个位数字． 【详解】 … ∵，，，，，，… ∴以2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环 ∵128÷4=32 ∴的个位数字为6 ∴的个位数字为6-1=5 故答案为：5 4．（19-20七年级下·四川成都·期中）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝ ． 【答案】264 【分析】在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可． 【详解】原式＝， ＝， ＝， ＝264﹣1+1， ＝264； 故本题答案为264． 题型十一　利用乘法公式变形求值 例题11-1：（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5 B． C．9或 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选：D ． 例题11-2：（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴负值舍去， 故答案为：． 例题11-3：（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，由平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选D． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解和整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键； 把已知条件两边平方，根据完全平方公式展开，然后代入数据计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ； 故选：A 5．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，非负数的性质，由题意结合完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质，即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：． 6．（七年级·广东深圳·单元测试）若a－＝2，则a2＋ 的值为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：本题考查代数式运算技能．=6 故选：D 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，求代数式的值；由题设得，，由完全平方公式得，而，先代入，再代入即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，； ∵， 即， ∴， ． 故答案为：11． 8．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知，，，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行化简求值．先根据已知等式求出，再利用完全平方公式对所求代数式进行变形，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 则 ． 故答案为：3． 9．（2024·浙江宁波·校考二模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据，推出，求出，结合，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； 故答案为：． 10．（2024下·四川成都·七年级校考期中）若，且，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式求出，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：6． 11．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：设，，则， ， 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，_____； (2)，，_____； (3)若，则_____． (4)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)96 (2)49 (3)65 (4)4 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确理解题意并熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （2）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）设，利用完全平方公式的变形进行求解即可； （4）设，则，，由此求出，即，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：96； （2）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：49； （3）解：设，则，， ∴ ， 故答案为：65； （4）解：设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘法知识归纳与题型突破（题型清单） 1.同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；公式：(m,n都是正数) 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；公式：(m,n都是正数) 3.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；公式： 注：（1）法则中的积里的每一个因式是指组成积的所有因式，不能漏掉，且各自乘方后还是乘法运算。 （2）三个或三个以上的积的乘方也具有同样的性质，即 （3）幂的以上三种运算性质都可以逆用。 4. 整式的乘法 （1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 注：整式的乘法运算的结果一定注意要合并同类项。 5．平方差公式: 6．完全平方公式: 题型一　幂的混合运算 例题1-1：（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 题型二　幂的运算性质的逆用 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 巩固训练 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 题型三　利用幂的运算性质解决整除问题 例题：（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）能被整除吗？为什么？ 巩固训练 1．（2019下·七年级课后作业）52•32n+1•2n－3n•6n+2能被13整除吗？ 题型四　与幂的运算相关的大小比较 例题：已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·海南海口·期末）已知，，则 （填“”或“”或“”）． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知，则、、的大小关系是 (请用字母表示，并用“”连接)． 4．（21-22八年级上·山东济宁·期末）比较大小： ．（填“＞，＜或＝”） 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 题型五　整式乘法与加减法的混合运算 例题：（24-25八年级上·全国·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六　化简求值 例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中． 题型七　“不含”问题 例题：（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：的展开式中不含项和项，求、的值． 巩固训练 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）的展开式中不含项和常数项，则 ； 2．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值为（     ） A． B． C． D．3 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 题型八　几何图形问题 例题8-1：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 例题8-2：（24-25八年级上·浙江·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】（3）． 巩固训练 1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 5．（24-25八年级上·吉林延边·期末）阅读材料：两个边长分别为a和b的正方形（），如图1所示放置，其中图①阴影四边形的面积记为S，图②两个阴影三角形的面积分别记为和，根据题意，易得出以下结论： ， ， ． (1)根据材料信息，由可得出的乘法公式为（   ）； A． B． C． (2)将图1中边长为b的小正方形沿着直线l向右翻折，并分别在图中取阴影四边形，（如图2中①②所示）分别求出这两个阴影四边形面积和；（用含a，b的式子表示，并将结果化成最简形式） (3)在图3中设计一个阴影四边形，使得阴影四边形的四个顶点均为两正方形的顶点，且面积为；（要求：图3中的阴影四边形不能与图2的①②形状相同） (4)如图4，在中，，过点A作于点D，点E是线段上一点，若，则阴影四边形的面积为________． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 题型九　规律探究问题 例题：（河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读下文，寻找规律： 已知：，观察下列各式： ； ； ； ； … (1)填空： ①_________； ②_________． (2)根据你的猜想，计算： ①_________； ②那么的末尾数字为_________． 巩固训练 1.（2023·全国·九年级专题练习）试求的个位数字． 2．（湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上图的规律，写出的展开式． (2)求的展开式共有多少个项． (3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 4．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 5．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 题型十　巧用乘法公式计算 例题10-1：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）利用乘法公式计算下列各题： (1)． (2)． 例题10-2：（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 2．（七年级下·湖南怀化·期末）计算： ． 3．（七年级下·福建三明·期中）设m ＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），则m的个位数字是 ． 4．（19-20七年级下·四川成都·期中）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝ ． 题型十一　利用乘法公式变形求值 例题11-1：（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5 B． C．9或 D．5或 例题11-2：（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则＝ ． 例题11-3：（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 4．（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（七年级·广东深圳·单元测试）若a－＝2，则a2＋ 的值为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 8．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知，，，则代数式的值是 ． 9．（2024·浙江宁波·校考二模）已知，，则 ． 10．（2024下·四川成都·七年级校考期中）若，且，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：设，，则， ， 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，_____； (2)，，_____； (3)若，则_____． (4)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$