专题突破 平行线中的“拐点”问题-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：平行线中的“拐点”问题 常用方法 作辅助线：过拐点作与已知平行线平行的直线。 题型一 M型和铅笔型 【例1】（七年级下·全国·课后作业）如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【变式1-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【变式1-2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【变式1-3】（七年级下·山东菏泽·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）试说明：； 【类比应用】 （2）已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数，请说明理由． ②如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为______． 题型二 钩型 【例2】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【变式2-1】（七年级下·山东青岛·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【变式2-4】（2025七年级下·全国·专题练习）小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 题型三 多“拐点”型 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，，若，则等于（  ） A．50 B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【变式3-4】（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式3-5】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 题型四 复合“拐点”型 【例4】（24-25七年级下·河南濮阳·阶段练习）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【变式4-1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________． （2）如图③，已知，，，求的度数． （3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【变式4-2】（七年级下·江苏扬州·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (4)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，则可以求出的度数． 【变式4-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【变式4-5】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【变式4-6】（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：平行线中的“拐点”问题 常用方法 作辅助线：过拐点作与已知平行线平行的直线。 题型一 M型和铅笔型 【例1】（七年级下·全国·课后作业）如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 【变式1-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1-2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）过点作，得出，进而根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点作,根据平行线的性质可得 ，进而得出； （3）过点作得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）过点作， ∵， ∴， ∵ ， ， （2） 理由如下: 如图所示, 过点作, ， 即 ； （3）如图所示，过点作 与桌面 垂直． ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 故答案为：． 【变式1-3】（七年级下·山东菏泽·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）试说明：； 【类比应用】 （2）已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数，请说明理由． ②如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为______． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）过点作，根据平行线性质即可证明结论成立； （2）①过点作，根据平行线性质可得，，即可求出的度数； ②过点作，根据平行线性质可得，，即可得出，从而得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作．   ， ，， ， 即：； 解：（2）①如图，过点作，     ，， ， ，， ， ∴； ②如图，过点作，     ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 题型二 钩型 【例2】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（七年级下·山东青岛·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P= 180°；（3）∠N的度数为45° 【分析】(1)过点P作PE// AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A= 50°，∠EPD= 180°- 150°= 30°，即可求出∠APD的度数； (2)过点P作PE// AB，则AB//PE//CD，根据平行线的性质可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+ ∠PAB= 180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°； (3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO= 90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出 ∠PAN +∠PAB= 90°，由∠POA+∠PAN= 90°，得出∠POA=∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN =∠PDC，即∠AND=180°- (PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【详解】(1)如图2，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB//PE//CD， ∴∠APE=∠A = 50°， ∠DPE+∠D= 180°， ∴∠DPE= 180°- 150° = 30° ∴∠APD=∠APE+∠DPE = 50°+ 30°= 80° (2)如图3，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB// PE//CD， ∴∠DPE=∠CDP=β， 又∠APE+∠PAB= 180° ∴∠APE= 180°- a， ∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+ 180°-a ∴β=∠DPA + 180°- a， ∴a+β-∠P= 180°， 故答案为：∠a+∠β-∠P= 180°； 【联系拓展】如图4，PD交AN于点O， ∵ AP⊥PD， ∴∠APO=90° ∵∠PAN +∠PAB=∠APD， ∴∠PAN +∠PAB= 90° ， ∵∠POA+∠PAN = 90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND= 180°-∠NOD-∠ODN = 180°- (∠PAB +∠PDC)， 由(2)得： ∠CDP+∠PAB-∠APD= 180° ∴∠CDP+ ∠PAB= 180°+∠APD， ∴∠AND= 180°- (∠PAB +∠PDC) = 180°- (180°+∠APD) = 180°- (180° + 90°) = 45° 【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可知，，进而可求解； （2）①过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果； ②过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． （2）①， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式2-4】（2025七年级下·全国·专题练习）小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （3）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）， 理由是：，， ， ，， ； （2）， 理由是：如图：过作， ， ， ，， ； （3）， 理由是：如图：过作， ，OM∥CD， ， ，， ． 题型三 多“拐点”型 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）过中间的拐点作平行线，再根据图形结合平行线的性质即可得出结论； （2）根据图①、②、③、④中角的和的变化，即可找出变化规律“”，此题得解． 【详解】（1）解：如图①，∵， ∴； 如图②，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图③，过作，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 如图④，过作，过作，过作， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：根据（1）中规律即可得出：第n个图中的． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，，若，则等于（  ） A．50 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及平行公理推论，正确构造平行线是解题的关键． 过点分别作的平行线，则，那么，再根据角的和差计算求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 【变式3-3】（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵， ∴， ∴； 同理可得， ∴，，， ∴， 则， ， 即 ∴； 故答案为：． 【变式3-4】（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式3-5】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 题型四 复合“拐点”型 【例4】（24-25七年级下·河南濮阳·阶段练习）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题． （1）如图1，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论； （2）①如图3，过点作，过点作，然后根据平行线的性质得到，，由，，分别平分和，即可求得结论； ②同①即可求得结论； ③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论． 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________． （2）如图③，已知，，，求的度数． （3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据阅读材料中得出的结论进行求解即可； （2）过点作，根据阅读材料提供的方法，进行求解即可； （3）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （4）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（3）中结论得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据阅读材料可知：， ∵，， ∴； （2）过点作， ， ， ， ， ． （3）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （4）过Q作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（七年级下·江苏扬州·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (4)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，则可以求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当点在的延长线上时，；当点在线段上时， (4) 【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用， （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）分两种情况：当在的延长线上时；当点在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （4）根据（2）的结论得，即可得出结论； 通过作辅助线构造平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在线段上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （4）∵，， 由（2）得：， ∵ ∴， ∴， 即的度数为． 【变式4-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 【变式4-5】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 【变式4-6】（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$