精品解析：湖北省十堰市丹江口市第二中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷

2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷 一、选择题 1. 点在抛物线上，若点到点距离为6，则点到轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 85 D. 86 4. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. D. 6. 已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知曲线，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则曲线表示两条直线 B. 若，则曲线是椭圆 C. 若，则曲线是双曲线 D. 若，则曲线的离心率为 10. 在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点N轨迹长度为 D. 的取值范围为 11. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 三、填空题 12. 直线l：与有两个不同交点，则m取值范围________. 13. 已知数列的前n项和为，，，且，则数列的通项公式为__________ 14. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 四、解答题 15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求； （2）若数列满足，求数列的前20项和． 17. 如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点． （1）求证：； （2）若，则 （i）当时，求线段的长度； （ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值． 18. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购. （1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本） （2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）. 19. 已知椭圆过点，焦距．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明是定值； （3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷 一、选择题 1. 点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数的值. 【详解】，由于，则直线的斜率为 即， 故选：B 3. 已知等比数列前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 85 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本量法可求公比，从而可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，故， 又，，成等差数列，故即， 解得或（舍去），所以，， 因此． 故选：C 4. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，， 设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 5. 如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，将其两边同时平方即可求，再开方即可求解. 【详解】由图得：， 又由题意知：， 所以 ， 所以， 所以的长为， 故选：C. 6. 已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的最值，由不等式恒成立，求出实数的取值范围. 【详解】当，有，由，解得； 当，有，由，解得， ，，，所以的最小值为. 当，有，由，解得； 当，有，由，解得， ，，，所以的最大值为. 所以的最小值大于的最大值，即恒成立， 所以解得，对任意的，恒成立，则有，即实数的取值范围是. 故选：B 7. 已知，，且，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，由，得 ， 所以. 故选：C 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积. 【详解】设，则“椭圆”方程是，即， 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称； 研究“椭圆”在第一象限图象， 当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， 当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图： 四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为， 所以梯形面积为， 所以“椭圆”面积为 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形. 二、多项选择题 9. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示两条直线 B. 若，则曲线是椭圆 C. 若，则曲线是双曲线 D. 若，则曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】由题意，曲线，， 若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确； 若，又，则， 曲线，可化为， 当时，则曲线表示圆， 当时，则曲线表示椭圆，故B错误； 若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确； 若，又， 所以， 则曲线为， 则曲线等轴双曲线，离心率为，故D正确. 故选：ACD. 10. 在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点N的轨迹长度为 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上（含端点），当为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，此时，即可判断A；三棱锥,利用等体积法结合体积公式即可判断B；根据点在线段上（含端点），利用勾股定理求出求，即可判断C；根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断D． 【详解】在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界）， 平面， 取、中点分别、，连接、、、，，如图： 为正方体，为中点，为中点， ，，，， 、平面，、平面，且，， 平面平面， 为四边形内一点（含边界），且平面， 点在线段上（含端点）， 对于A：当在时，则与夹角为，此时， 则与不垂直，故A不正确； 对于B为四边形内一点（含边界）， 到平面的距离为2， 三棱锥的体积为，故B正确； 对于C：由于点在线段上（含端点）， 而， 点的轨迹长度为，故C不正确； 对于D为正方体， 平面， 平面， ， △为直角三角形，且直角为， ， 点在线段上（含端点）， 则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为， 当最小时，即，此时， 此时最大，最大为， 则的取值范围，故D正确． 故选：BD． 11. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列是正项等比数列，可得出，写出及，即可判断选项A、B、D；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C. 【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为 所以，解得 则. 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 直线l：与有两个不同交点，则m的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过、直线与半圆相切，结合图象求解出的取值范围. 【详解】即为，表示圆心在原点半径为的圆位于轴右侧的部分， 直线即为，过定点， 在平面直角坐标系中作出直线和半圆的图象如下图所示： 圆与坐标轴交于，且直线的斜率为， 当直线经过时，此时，解得， 当直线与圆相切时，，解得或（舍）， 根据图象可知，若直线与半圆有两个不同交点，则， 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和为，，，且，则数列的通项公式为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据和的关系化简可得数列是公差为2的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，则， 则，又， 所以数列是公差为2的等差数列， 则. 故答案为：. 14. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设两球的球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果. 【详解】作出圆锥的轴截面如图所示， 圆锥面与两球相切于两点，则，， 过作，垂足为，连接，，设与交于点， 设两球的球心距离为， 在中，，，； ，， ，，解得：，， ； 由已知条件，知：，即轴截面中， 又，，解得：， 即两球的球心距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题以圆锥为载体，考查了椭圆的定义和几何性质，解题关键是能够通过作出圆锥的轴截面，利用轴截面中的线段垂直关系、长度关系，根据椭圆离心率构造出关于球心距离的方程. 四、解答题 15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得； （2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得. 【小问1详解】 由，得，即， 由题意圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意. 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即， 由题意，得，即， 两边分别平方得，得， 故切线方程为，即， 综上过点的圆的切线方程为，. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求； （2）若数列满足，求数列的前20项和． 【答案】（1） （2）4212 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得； （2）先求出，再利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，，得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 故 17. 如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点． （1）求证：； （2）若，则 （i）当时，求线段的长度； （ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理即可求解； （2）（i）由因为，得到，即可求解，（ii）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，又为平面内两条相交直线，所以平面， 所以平面与平面共面，所以可知在上， 因为为直三棱柱，所以平面， 又在平面内，所以没有交点， 又都在平面内， 所以． 【小问2详解】 （i）因为， 所以， 又，可得，所以 又因为，所以，可得． （ii）如图建系，则， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面的法向量可取为， 所以， 因，则有， 整理得， 即， 因， 代入可得，即， 解得，即，解得：， 因，故得． 18. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购. （1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本） （2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）. 【答案】（1） （2）当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】（1）依题意，由年利润年销售收入-流动成本-年固定成本，直接写出解析式，化简即可； （2）由（1）中求得的解析式，分别利用导数和基本不等式的性质，分别求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以年利润关于年加工量的解析式为：； 【小问2详解】 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取得等号. 因为， 所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元. 19. 已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明是定值； （3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可； （2）设出两点坐标，表示出斜率，并设出直线方程与椭圆联立，消去，表示出韦达定理，代入的表达式中化简即可； （3）解方程组分别求出直线的交点坐标，再求出到直线的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用代入化简即可. 【小问1详解】 因为椭圆过点，焦距为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 则，消去得到，， ， ， 故是定值. 【小问3详解】 设存在实数，使恒成立， 由，， 设到直线的距离为，到直线的距离为， 则，① 因为，所以，② 把①代入②并化简可得， 由上问可知，代入上式可得， 所以. 【点睛】关键点点睛： ①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解； ②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式； ③解决三角形面积关系时先用坐标表示出三角形面积，再利用韦达定理化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $