第7章 实数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

第7章：实数 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．9的算术平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．据此求解即可． 【详解】解：， 9的算术平方根是3， 故选：A． 2．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，设，求出的长度，根据勾股定理列出方程是解决本题的关键． 【详解】设，则， 又∵， ∴ 在中，， 得： 解得： 故选B． 3．下列命题中，是真命题的为（    ） A．的算术平方根是6 B．若，则 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．一个锐角的余角一定大于这个锐角 【答案】C 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键． 根据算术平方根、平方，平行公理，余角分别判断即可得出答案． 【详解】解：A、的算术平方根是，故此选项是假命题，不合题意； B、若，则，故此选项是假命题，不合题意； C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故此选项是真命题，符合题意； D、一个锐角的余角不一定大于这个锐角，故此选项是假命题，不合题意； 故选：C． 4．如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据含30度的直角三角形的性质和勾股定理求出，设，再根据垂直平分线的性质得到，在中，利用勾股定理列出方程，求出x值即可． 【详解】解：连接，∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， 设， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了含30度的直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理列方程求解． 5．如图，长方形中，，，在数轴上，以点A为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M所表示的数． 【详解】由题意得， ∴AM=， ∵A点所表示的数为0， ∴点M所表示的数为． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理及实数与数轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般． 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果． 【详解】解：过点D作于M，如图， 由勾股定理可求得， 由题中作图知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为为； 故选：D．      【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键． 7．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由第一次折叠可知，，则四边为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 8．下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，理解定义是解题的关键， 根据无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 根据无理数的定义分析判断． 【详解】解：，， 无理数有：，，，，共个； 故选：B 9．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是(     )cm2． A．2 B．3.4 C．4 D．5.1 【答案】D 【分析】由矩形的性质得AD=BC=5cm，CD=AB=3cm，∠A=90°，再由折叠的性质得=AB=3cm，，=AE，设AE=x cm，则，DE=（5-x）cm，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程，进而得出DE的长，即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AB=3cm，BC=5cm， ∴AD=BC=5cm，CD=AB=3cm，∠A=90°， 由折叠的性质得：=AB=3cm，=90°，， 设AE=xcm，则，DE=（5-x）cm， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：x=1.6， ∴DE=5-1.6=3.4（cm）， ∴△DEF的面积=DE•CD=×3.4×3=5.1（）， 故选：D 【点睛】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 10．如图，在边长为的正方形中，点为线段上一点，且，点是对角线上一动点，过点作于点， 于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】连接，，，其中，根据正方形性质证出，得到，再根据矩形性质与判定得出，再根据两点之间线段最短得出最小为，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，其中， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴当时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理和线段最短问题，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．比较大小： ． 【答案】 【分析】利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了算术平方根，实数大小比较，掌握利用平方法比较大小是解题的关键． 12．比较大小∶ ； ； ．(填“”或“”) 【答案】 【分析】根据实数的大小比较，，，直接比较；与可同时6次方，再比较大小，平方后与比较大小，即可求解． 【详解】解：， ， ∴ ∵ ∴， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 13．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查开平方的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题． 【详解】解：五个小正方形面积为：， 面积一样的大正方形边长是， 故答案为：． 14．若则 ． 【答案】1 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出a=﹣2，b=1，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴a＋2=0，b﹣1=0， ∴a=﹣2，b=1， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、算术平方根的非负性、绝对值的非负性等知识点，根据算术平方根和绝对值的非负性求出a、b的值是解答本题的关键． 15．如图，将两张对边平行且宽度均为的纸条交叉叠放在一起，形成的较小的夹角是，则重合部分的面积为 ．    【答案】 【分析】过点D作，，垂足分别为点E，F，则，先证明四边形是菱形，可得，，再由直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为点E，F，则，    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重合部分的面积为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 三．解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC． 【答案】此时梯子底端离墙的距离为1.4m． 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形， ∴ 答：此时梯子底端离墙的距离为1.4m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 17．（8分）如图，在中，的中垂线交于点D，E，．若，求的长． 【答案】 【分析】直接把代入到进行求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确计算是解题的关键． 18．（10分）已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根，无理数的估算，掌握以上知识的计算是解题的关键． （1）根据平方根，立方根，无理数的估算可得，，，代入计算平方根即可； （2）根据无理数的计算方法确定的值，再根据平方根的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，，， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∴， ∴的平方根是． 19．（9分）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯子的底端在水平方向沿一条直线向右滑动多少米？    【答案】梯子底端向右滑动了1米 【分析】在中．勾股定理求出的长，进而得到的长，在中，勾股定理求出的长，根据，进行计算即可． 【详解】解：在中， 因为，所以． 所以米． 所以米． 在中， 因为，所以． 所以米． 所以米． 即梯子底端向右滑动了1米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用—梯子下滑问题．解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的计算． 20．（10分）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 21．（8分）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程， （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 解题的关键是明确平方根和立方根的定义． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 22．（10分）如图，，，，，，求四边形的面积．    【答案】24 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度， 再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 再利用三角形的面积公式求解即可 ． 【解答】解： 连接，如图所示： ， ， ， 是直角三角形，， 四边形的面积的面积的面积．    23．（12分）（1）解方程：；． （2）已知，，求的值 （3）已知，，是9的算术平方根，求的平方根． 【答案】（1）或；； （2）15； （3）11． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义即可求解； （2）根据灵活运用完全平方公式求解即可； （3）先求出，，的值，再代入中即可求解． 【详解】解：（1）， ， 或， 或， ， ， ， ； （2），， ， ， ； （3），，是9的算术平方根， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章：实数 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．9的算术平方根是（     ） A．3 B． C． D． 2．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，是真命题的为（    ） A．的算术平方根是6 B．若，则 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．一个锐角的余角一定大于这个锐角 4．如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，长方形中，，，在数轴上，以点A为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（    ） A． B． C． D．4 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是(     )cm2． A．2 B．3.4 C．4 D．5.1 10．如图，在边长为的正方形中，点为线段上一点，且，点是对角线上一动点，过点作于点， 于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．10 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．比较大小： ． 12．比较大小∶ ； ； ．(填“”或“”) 13．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是 ． 14．若则 ． 15．如图，将两张对边平行且宽度均为的纸条交叉叠放在一起，形成的较小的夹角是，则重合部分的面积为 ．    三．解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC． 17．（8分）如图，在中，的中垂线交于点D，E，．若，求的长． 18．（10分）已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 19．（9分）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯子的底端在水平方向沿一条直线向右滑动多少米？    20．（10分）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 21．（8分）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 22．（10分）如图，，，，，，求四边形的面积．    23．（12分）（1）解方程：；． （2）已知，，求的值 （3）已知，，是9的算术平方根，求的平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$