专题02 实数（考题猜想，十二大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

专题02 实数（十三大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 与算术平方根的运算 · 题型二 利用算术平方根的非负性解题 · 题型三 与平方根有关的运算（高频） · 题型四 有关勾股定理的运算（高频） · 题型五 以弦图为背景的计算题（高频） · 题型六 勾股定理的应用（重点） · 题型七 勾股定理的逆定理运用（高频） · 题型八 无理数的定义 · 题型九 实数与数轴 · 题型十 无理数的大小估算（易错） · 题型十一 无理数整数部分有关计算 · 题型十二 实数的混合运算（重点） · 题型十三 有关立方根的运算（易错） 【题型1】与算术平方根的运算 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】解： ， 的算术平方根是， 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A．67.35 B．21.35 C．213.5 D．±21.35 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解： ， ， 故选：B． 3．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． (1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________． (2)某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． (3)若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示无理数、平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根以及图形面积公式，是解答本题的关键． （1）结合题干可知图中半圆的半径长为，结合数轴即可作答； （2）先求出大正方形的面积，再减去二个长方形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解； （3）先利用平方根和立方根的定义及无理数的估算求得a，b，c，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵小正方形边长为1， ∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为． ∴． ∴A表示的数为，B表示的数为． 故答案为：，． （2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， ∴小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． （3）解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故． 【题型2】利用算术平方根的非负性解题 5．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，代数式求值，根据算术平方根和平方的非负性，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【题型3】与平方根有关的运算（高频） 7．（2012·江苏无锡·一模）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟悉平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：C． 8．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如果，那么x的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义，一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）．即如果，那么x叫做a的平方根． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：如果，那么． 故选：C． 9．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，先求出的值，再进行开平方即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解决此题的关键． 【详解】解：，4的平方根为， 的平方根是， 故选：B． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 11．（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据，利用平方根的性质解方程即可得； （2）根据，利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， 或， 或． 12．（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 【题型4】有关勾股定理的运算（高频） 13．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 结合矩形性质可知，再由中位线定理得到的长，由勾股定理求出后即可得到． 【详解】解：矩形中，且和互相平分， ， 是的中点，是边的中点， 是的中位线， ， 矩形中，， ， ． 故选：． 15．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，等边的周长为12，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了的等边三角形的性质，解题的关键是掌握“三线合一”，以及勾股定理．由等边三角形周长求出，根据三线合一可得，，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，且周长为12， ∴， ∵是高， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴． 故选：B． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位管处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，     ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 17．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【题型5】以弦图为背景的计算题（高频） 18．（24-25七年级上·山东青岛·期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 19．（23-24七年级下·重庆·期末）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 20．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b．若，小正方形的面积为9，则大正方形的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意可得每一个直角三角形的面积，然后根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积解答即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵，小正方形的面积为9， ∵，每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， 故答案为：21． 21．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析，② (2)新路比原路少千米； (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 22．（23-24八年级下·江西赣州·期末）课本再现 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． （1）请利用图1证明勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积； （3）如图2所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为 ． 【答案】（1），证明见解析；（2）9；（3）5 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理的证明及其运用，能从图形中提取等量关系是解答的关键． （1）根据图中大小正方形的面积和直角三角形的面积间的等量关系，结合完全平方公式进行证明即可； （2）根据勾股定理求得a值，进而得到小正方形的边长即可求解； （3）根据矩形和折叠性质，结合勾股定理求得，，设，则，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：（1）勾股定理：， 证明：根据图形，小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴，则， ∴； （2）∵，，， ∴，则（负值已舍去）， ∴， 即小正方形的边长为3， ∴小正方形的面积为9； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， 在中，， ， 设，则， 在中，由得， 解得，即， 故答案为：5． 【题型6】勾股定理的应用（重点） 23．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，设，然后可得，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则有，， ∴，即， 解得：（负根舍去）， ∴梯子的底端外移； 故选A． 24．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 25．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 26．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，设，得，根据勾股定理列出方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 设米，则米， 根据勾股定理得，， 解得， ∴米，米， ∴米， ∴原来大树是米， 故选：． 27．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 28．（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 29．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，即为直角三角形， 两小时后，（海里），（海里）， ∴在中，（海里）， ∴此时两轮船相距40海里． 故选：B． 30．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B． 31．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：①如图， ； ②如图， ， 又∵， 所以，需要爬行的最短路程为， 故选：C 32．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，将图形展开、利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将容器的侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 m， 延长，过作于点D， ∵cm， ∴， 在中，由勾股定理可得， 所以该圆柱底面周长为． 故答案为：． 33．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 34．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 35．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 37．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称求最短路径，矩形的判定和性质，一元一次方程的应用，灵活运用勾股定理是解题关键． （1）设，则，利用勾股定理列方程，求出的值即可得解； （2）作点C关于的对称点F，连接交于点E，此最小，点E即为加油站的位置．作于点M，此时四边形时矩形，利用勾股定理，求出，即可得解． 【详解】（1）解：设，则， 由勾股定理得：，， ， ， 即， 解得：； 答：加油站E建在距A站时，加油站E到两镇的距离相等． （2）解：如图，作点C关于的对称点F，连接交于点E， ，， 最小，点E即为加油站的位置． 作于点M，此时四边形时矩形， ，， ， 在中，， 即：加油站E到两镇的距离之和的最小值是． 【题型7】勾股定理的逆定理运用（高频） 38．（24-25八年级上·四川成都·期末）的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 39．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长， （2）根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ； （2）解：由（1）知：， ，， ， 为直角三角形． 40．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，． (1)试说明：； (2)若于D，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积关系，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴． 41．（23-24八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 42．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2)修通的公路的长是． 【分析】（）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形； （）利用的面积公式可得，从而求出的长； 本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：直角三角形，理由， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（）得：是直角三角形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴修通的公路的长是． 【题型8】无理数的定义 43．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列选项中是无理数的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、是分数，为有理数，不符合题意； B、5是整数，为有理数，不符合题意； C、是整数，为有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意， 故选：D． 44．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数， 无理数的个数是个． 故选：B． 45．（24-25八年级上·江苏南京·期末）实数，3.1415926，，，，中，是无理数的是 ． 【答案】， 【分析】此题考查无理数的概念，算术平方根和立方根，无理数指的是无限不循环小数，掌握定义是解题关键． 首先计算算术平方根和立方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】∵，， ∴无理数有，． 故答案为：，． 【题型9】实数与数轴 46．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 47．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合 点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数是，且点在点的右侧， 点表示的数为． 故选：C． 48．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出，， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴A. B两点之间表示整数的点共有：2，3，4，5一共有4个． 故选：B 【题型10】无理数的大小估算（易错） 49．（24-25八年级上·山西临汾·期末）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键．因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C． 50．（24-25八年级上·全国·期末）估计的值在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键． 根据题意估算出的范围，进而估计的值即可． 【详解】解：， ， 则，即和之间， 故选：B 51．（24-25八年级上·吉林长春·期末）一个正方形的面积是5，则它的边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键． 先求出正方形的边长，再估算出其大小即可． 【详解】∵一个正方形的面积是5， ∴其边长． ∵， ∴． 故选：． 52．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）设为正整数，且，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了无理数的估算，准确确定n的值是解题的关键．由，结合算术平方根即可确定n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为8． 【题型11】无理数整数部分有关计算 53．（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出的整数部分即可得到它的小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， 故答案为：． 【题型12】实数的混合运算（重点） 54．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 55．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算： 【答案】 【分析】先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 56．（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合计算，二次根式计算，立方根计算等．根据题意先将每项计算出，再计算除法后计算加法即可． 【详解】解：∵， ， ， ． 57．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算顺序和法则，立方根，零指数幂，绝对值，完全平方公式，平方差公式． （1）化简立方根，零指数幂，绝对值，然后合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式，平方差公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）． （2）． 【题型13】有关立方根的运算（重点） 58．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）64的立方根是（   ） A．4 B． C．16 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义．根据立方根的定义，找到一个数使它的立方等于64，即可求解． 【详解】解：， 64的立方根是4． 故选：A． 59．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴． 60．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是4， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）∵，，， ∴． ∴的平方根为． 61．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）已知的立方根是，的绝对值是的整数部分是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由立方根定义、绝对值定义及夹逼法估算无理数方法即可得到的值； （2）由（1）中所求的，分情况代入，再由平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 的立方根是，的绝对值是的整数部分是， ， ； （2）解：由（1）知， 当时，，则的平方根为； 当时，，则的平方根为； 综上所述，的平方根为或． 【点睛】本题考查立方根定义、平方根定义、绝对值定义、夹逼法估算无理数方法及代数式求值，熟记相关定义是解决问题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数（十三大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 与算术平方根的运算 · 题型二 利用算术平方根的非负性解题 · 题型三 与平方根有关的运算（高频） · 题型四 有关勾股定理的运算（高频） · 题型五 以弦图为背景的计算题（高频） · 题型六 勾股定理的应用（重点） · 题型七 勾股定理的逆定理运用（高频） · 题型八 无理数的定义 · 题型九 实数与数轴 · 题型十 无理数的大小估算（易错） · 题型十一 无理数整数部分有关计算 · 题型十二 实数的混合运算（重点） · 题型十三 有关立方根的运算（易错） 【题型1】与算术平方根的运算 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A．67.35 B．21.35 C．213.5 D．±21.35 3．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． (1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________． (2)某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． (3)若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根． 【题型2】利用算术平方根的非负性解题 5．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 6．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值（    ） A． B． C．2 D．3 【题型3】与平方根有关的运算（高频） 7．（2012·江苏无锡·一模）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 8．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如果，那么x的值是（   ） A．3 B． C． D． 9．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 11．（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 12．（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【题型4】有关勾股定理的运算（高频） 13．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，等边的周长为12，则它的高为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位管处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【题型5】以弦图为背景的计算题（高频） 18．（24-25七年级上·山东青岛·期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 19．（23-24七年级下·重庆·期末）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 20．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b．若，小正方形的面积为9，则大正方形的面积为 ． 21．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 22．（23-24八年级下·江西赣州·期末）课本再现 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． （1）请利用图1证明勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积； （3）如图2所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为 ． 【题型6】勾股定理的应用（重点） 23．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 25．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 26．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 29．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 30．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 31．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm． 33．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 34．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 35．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 37．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 【题型7】勾股定理的逆定理运用（高频） 38．（24-25八年级上·四川成都·期末）的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 40．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，． (1)试说明：； (2)若于D，求的长． 41．（23-24八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 42．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 【题型8】无理数的定义 43．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列选项中是无理数的是（   ） A． B．5 C． D． 44．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 45．（24-25八年级上·江苏南京·期末）实数，3.1415926，，，，中，是无理数的是 ． 【题型9】实数与数轴 46．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型10】无理数的大小估算（易错） 49．（24-25八年级上·山西临汾·期末）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·全国·期末）估计的值在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 51．（24-25八年级上·吉林长春·期末）一个正方形的面积是5，则它的边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 52．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）设为正整数，且，则的值为 ． 【题型11】无理数整数部分有关计算 53．（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ． 【题型12】实数的混合运算（重点） 54．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 55．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算： 56．（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算：． 57．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： (1) (2) 【题型13】有关立方根的运算（重点） 58．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）64的立方根是（   ） A．4 B． C．16 D．32 59．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1)； (2)． 60．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 61．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）已知的立方根是，的绝对值是的整数部分是． (1)求的值； (2)求的平方根． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$