第7章 专题二勾股定理及其逆定理的实际应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（青岛版）

由如下： 14.解：(1)64的算术平方根是√64=8. a2c2-b2c2=a4-b,c2(a2-b2)=(a+b2)· (2)0.25的算术平方根是√0.25=0.5. (a2-b2),∴.a2-b2=0或c2=a2+b2.当a2 b2=0时，a=b,此时△ABC是等腰三角形：当 (3)号的算术平方根是日-子 42 a2-b2≠0时，c2=a2+b2,∠C=90°，此时△ABC (4)5的算术平方根是√5=125. 是直角三角形.'·△ABC是等腰三角形或直角三 角形. (()的算术平方根是一- 专题二勾股定理及其逆定理的 (6)10的算术平方根是√10=100. 实际应用 15.解：(1)证明：，CD=3,BC=5,BD=4, ∴.CD2+BD2=9+16=25=BC2, 1.C2.413.64.B5.2.56.4 ∴，△BCD是直角三角形，.BD⊥AC 7.解：如图所示，设湖水深为x尺， (2)设AD=x,则AC=x+3. AC为s尺，则红莲总长为(x十 AB=AC,..AB=+3. 0.5)尺.在Rt△ABC中，根据勾 ,∠BDC=90°，∴.∠ADB=90°， 股定理，得x2十s2=(x十0.5)2.在Rt△ADC中， .AB2=AD2+BD2,即(x+3)2=x2十42， 有0.5十s=22,由以上两式，解得x=3.5,即湖水 6+325 解得x-名AB- 6 深3.5尺. 16.解：在Rt△ABD中，BD=AD2-AB2=92一 8.B9.B10.B11.D 62=45, 12.20 在△BCD中，BC2+CD2=3+62=45 13.解：如图所示，由题意，得在 .BC2+CD2=BD2,∠BCD=90°，.BC⊥CD Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3× 故该车符合安全标准 25+3×15=120(cm),BC=90cm. 17.解：(1)∠D是直角.理由如下：如图 由勾股定理，得AB 所示，连接AC, 在Rt△ABC中，∠B=90. √/AC+BC=√1202+90-150(cm). 由勾股定理，得AC=/7+24=25. .最短路程是150cm. 在△ADC中，，AD2+DC2=625, 14.直角三角形 AC2=625, 15.解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下： AD2十DC2=AC2,∴.△ADC是直角三角形， AC=6.5千米，DC=2.5千米，AD=6千米， ∠D=90. ∴.AD2+DC2=62+2.52=42.25,AC2=6.52= (2)Ss边影ABCD=SAAc十SAAc= 1 ×7×24+号× 42.25, 15×20=234(m2), .AD2+DC=AC2, ,'.四边形ABCD需要铺的草坪的面积为234m2. ∴，△ACD是直角三角形. 18.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点. (2)由(1)可知AD⊥BC, 理由如下： 设BD=x千米，则BA=BC=(x+2.5)千米， ,AM+BN=2.52+62=42.25, MN=6.52=42.25, 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, ∴.AM2+BN2=MN2,∴以AM,MN,NB为边的 .62+x2=(x+2.5)2, 三角形是一个直角三角形，∴.点M,N是线段AB 解得x=5.95,5.95十2.5=8.45（千米），.原路线 的勾股分割点. AB的长为8.45千米 (2)设BN=x,则MN=30-AM-BN=25-x. 阶段检测三(7.1~7.4)】 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2= AM+NB2,即(25-x)2=25+x2,解得x=12. 1.D2.BCD3.B4.D5.C6.B7.A8.A ②当BN为最长线段时，依题意，得BN=AM+ 9.210.811.212.7 MN2,即x2-25+(25-x)2,解得x-13. 13.8或√/10或√90 综上所述，BN的长为12或13. 13专题二勾股定理及其逆定理的实际应用（答案P13) 类型1直接利用勾股定理解决实际问题 离地的垂直高度BF=1m,秋千的绳索始终拉 直，则绳索AD的长是 m 1.如果梯子的底端离建筑物3m远，那么5m长 的梯子可以达到建筑物的高度是() A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 2.如图所示，一座桥横跨一河，桥长40m,一艘小 第5题图 第6题图 船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因 6.数学文化》《九章算术》中有一个“折竹抵地”问 到达南岸后，发现已偏离桥南头9m,则小船实 题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折 际行驶的距离为 m. 者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹 北 尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几 40m--一 尺？即：如图所示，AB十AC=9尺，BC= 7 m 3尺，则AC= 尺 9m C 24m B 7.印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”： 第2题图 第3题图 “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 3.(2023·聊城阳谷期中)河滨公园有一块矩形 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； “捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅 能算诸君请解题，湖水如何知深浅.” 少走了 m,却踩伤了花草！青青绿草 如图所示，请用学过的数学知识回答这个 地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留 问题 “青”！ 类型2利用勾股定理建立方程解决实际问题 4.(2024·南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积 关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等直角三角形和中间的小正方形 拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直 角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积 为5，(m十n)2=21,则大正方形面积为( ) 类型3利用勾股定理解决最短路径问题 8.如图所示的一个圆桶，底面直径为6cm,高为 A.12 B.13 C.14 D.15 8cm,则桶内能容下的最长的木 棒长为( 5.空间观念如图所示，一架秋千静止时，踏板离 -6r 地的垂直高度DE=0.5m,将它往前推送 A.8 cm B.10 cm 1.5m(水平距离BC=1.5m)时，秋千的踏板 C.4.13 cm D.20 cm 一八生级卡伊数学00 43 9.如图所示，一圆柱高8cm,底面半径为2cm, A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的 多少？ 最短路程（π取3）是( ) A.20 cm B.10 cm C.14 cm D.无法确定 第9题图 第10题图 10.如图所示，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的 长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它 所爬行的最短路线的长是( ) 类型4利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 A.9 B.10 C.42 D.2√/17 14.(2023·弹坊安丘期中)在△ABC中，AB= 11.空间观念如图所示，透明的圆柱形玻璃容器 5,BC=a,AC=b,如果a,b满足(a+5)(a (容器厚度忽略不计)的高为16cm,在容器内 5)-b2=0,那么△ABC的形状是 壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此 15.应用意识如图所示，在某江笔直的河流一侧 时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上 有一旅游地A,江边有两个景点B,C,其中BA 沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的 =BC.由于某种原因，从A到B的路现在不 最短路径为20cm,则该圆柱底面周长 通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新 为() 建一个景点D(B,C,D三点在同一直线上)， A.12 cm B.14 cm 并修建一条公路AD,测得AC=6.5千米， C.20 cm D.24 cm DC=2.5千米，AD=6千米 (1)判断△ACD的形状，并说明理由 (2)求原路线AB的长 第11题图 第12题图 12.如图所示，ABCD是矩形地面，长AB= 14m,宽AD=12m,中间竖有一堵砖墙高 B MN=1m.一只蚂蚁从B点爬到D点，它必 须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m 的路程. 13.应用意识如图所示是一个三级台阶，每级台 阶都是长、宽和高分别等于90cm,25cm和 15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个 相对的端点.在A点处有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从 优学案课时通