第9章 二次根式（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

第9章：二次根式 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证．如：化简时，我们可以构造如图所示的图形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到：（　　）    A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．类比 2．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．估计的运算结果应在哪两个整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 4．若，则的值为（　　　） A． B． C． D． 5．把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 6．当时，多项式的值为（　　） A．5 B．7 C．8 D．0 7．实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 9．计算正确的结果是（    ） A． B． C．1 D． 10．如图，正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②到直线的距离为；③；④．其中正确结论是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．计算 ． 12．计算：若，则代数式 ． 【答案】 13．计算：＝ ． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．    15．已知：，，则 ． 3． 解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（10分）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 20．（9分）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 21．（10分）如图，正方形的对角线，相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 22．（10分）计算： (1)； (2)已知，求代数式的值． 23．（12分）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章：二次根式 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证．如：化简时，我们可以构造如图所示的图形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到：（　　）    A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．类比 【答案】B 【分析】根据题意得出是数形结合思想． 【详解】解：借助几何图形解释数量关系是数形结合， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握图形的转化是解题关键． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．估计的运算结果应在哪两个整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】先由二次根式的减法算出＝，再估计的大致范围，从而可得到问题的答案． 【详解】解：＝， ∵4＜7＜9， ∴2＜＜3, ∴2＜＜3, 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的减法，估算无理数的大小，利用夹逼法估算出的大小是解题的关键． 4．若，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由0＜a＜1，可得＞1＞a＞0，根号内变形后利用二次根式的性质进行化简即可求得答案． 【详解】解：∵0＜a＜1， ∴＞1＞a＞0， ∴原式= = = =-2a， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确分析出＞1＞a＞0是解题的关键． 5．把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：, 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式性质，熟练掌握二次根式性质化简是解决问题的关键． 6．当时，多项式的值为（　　） A．5 B．7 C．8 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，代数式求值．熟练掌握分母有理化，平方差公式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，分母有理化得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选：D． 7．实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴和运用数形结合思想进行绝对值和二次根式的化简能力，解题关键是掌握根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简． 由数轴得出，从而判定出，，再根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可得： ∴，， ∴ ， 故选：A． 8．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法、算术平方根与立方根，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．先根据二次根式的除法法则可得，根据算术平方根可得，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．计算正确的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】∵ = = =， ∴选D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键． 10．如图，正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②到直线的距离为；③；④．其中正确结论是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是理解二次根式的加减法则． 先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：． 故答案为： ． 12．计算：若，则代数式 ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算． 将代入计算求解即可 【详解】当时， ． 故答案为：． 13．计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】根据积的乘方运算，同底数幂的乘法的逆运算化简，进而即可求解． 【详解】解：原式＝（2﹣）2021×（2+）2021×（2﹣） ＝[（2﹣）×（2+）]2021×（2﹣） ＝1×（2﹣） ＝2﹣ 故答案为：2﹣． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】可得，，根据进行化简即可． 【详解】解：由数轴得 ，，， ，， 原式 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 15．已知：，，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，计算出及，再把原式因式分解，代入及即可求解．解题的关键是熟知因式分解的应用． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 3． 解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    【答案】元 【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解： （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键． 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的乘除法的运算，化简运算，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再算乘法运算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19．（10分）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)2028 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，运用整体思想准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 20．（9分）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 21．（10分）如图，正方形的对角线，相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判断和性质和角平分线定理： （1）证明，即可得到； （2）过点E作于点P，根据角平分线定理得到，从而得到，再由是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作于点P， ∵四边形是正方形，， ∴， ， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 22．（10分）计算： (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）将x的值代入，再用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当时， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及平方差公式和完全平方公式． 23．（12分）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2)> (3)3 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据m的值得出n的值，即是结果． （4）根据有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； 【详解】（1）解： （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 即 故答案为：>． （3）解：设，， 则， ∵， ∴，即． （4）解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$