9.3二次根式的乘法与除法练习题（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

9.3二次根式的乘法与除法 题型一 二次根式的乘法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与的积是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的面积为 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，）． 题型二 二次根式的除法 1．计算： ． 2．请你用两种方法计算． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 题型三 二次根式的混合运算 1．估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 2．已知，则 ． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．计算： (1)； (2)． 1．若（a，b为有理数），那么等于（   ） A． B．9 C． D．11 2．已知，则代数式的值为（　　） A． B．2 C．-1 D．1 3．已知：，则的值为 ． 4．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，，求的值． 5．下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 6．观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 1．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 2．如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为 ． 3．学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， (1)________的解法是不正确的； (2)化简：，其中，． 4．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中：①；②；③；④．计算正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式计算错误的是（　　） A．4 B． C． D． 4．李老师上课前在黑板上写下了一个式子：，“□”处符号被班里的“小调皮”同学给擦掉了，李老师翻看答案为有理数，则“□”处可能的符号为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3二次根式的乘法与除法 题型一 二次根式的乘法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解决本题的关键是根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D ． 2．下列二次根式中，与的积是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的乘法．根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是无理数，本选项不符合题意； B、，是无理数，本选项符合题意； C、，不是无理数，本选项不符合题意； D、，不是无理数，本选项不符合题意， 故选：B． 3．已知一直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的意义，三角形的面积公式，根据直角三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个直角三角形的面积为 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，）． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 二次根式的除法 1．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 2．请你用两种方法计算． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据方法一直接利用被开方数相除即可，方法二进行分母有理化． 【详解】解：方法一： 原式 ； 方法一： 原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； 本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． （1）根据二次根式除法的法则进行计算即可得出结果； （2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果． 【详解】（1） ； （2） ． 题型三 二次根式的混合运算 1．估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法可得结果为，结合可得答案. 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴在4和5之间， 故选：C 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，二次根式的加减，二次根式的乘法；根据平方差公式把原式整理成，再把代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握相关运算的法则． （）先根据平方差公式，二次根式的乘法化简，然后合并即可； （）先根据二次根式的性质化简，二次根式除法，零指数幂运算法则进行化简，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，再合并即可 （3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后根据二次根式的除法法则，进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法与除法，再利用二次根式的性质进行化简，最后计算减法即可得解； （2）先根据二次根式的性质、绝对值、零指数幂进行化简，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．若（a，b为有理数），那么等于（   ） A． B．9 C． D．11 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算．根据完全平方公式展开，即可得出答案． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知，则代数式的值为（　　） A． B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：B． 3．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，，求的值． 【答案】(1)23 (2)17 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，正确变形、熟练掌握相关公式是解答本题的关键． （1）运用完全平方公式的变形求解即可； （2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可； （3）将变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：，， ， ， 则 ． （3）解：∵，， ∴． 5．下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)① (2)过程见解析，， 【分析】本题主要考查了分式的加减运算． （1）观察该同学的解答过程，可发现第①步通分错误，通分应该分子分母同乘以相同的因式； （2）先将原式通分，然后按照同分母分式相加法则进行计算，再约分，最后将代入求值即可． 【详解】（1）解：该同学的解答过程中，从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：正确的化简过程如下： ， 当时，原式． 6．观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 【答案】，，（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，涉及二次根式的乘法运算、平方差公式、分母有理化；解题的关键是能够准确理解题意运用相关运算法则进行求解．“观察与计算”直接根据二次根式乘法运算法则和平方差公式求解即可；“应用” （1）依据题意进行分母有理化即可，其中①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）先对原式每一项进行分母有理化，即可得到，由此计算求解即可． 【详解】解：观察与计算： ； ； （1）①； ②； （2）∴ 1．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，是有理数； ，不是有理数；，是有理数； 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有张， 故选：B． 2．如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．直接按照程序规定的计算法则结合二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：第1次，； 第2次，； 第3次，； 第4次，； 第5次，； 第6次，； 故答案为：． 3．学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， (1)________的解法是不正确的； (2)化简：，其中，． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键． （1）根据得，所以原式，所以小亮的解法是不正确的； （2）先根据乘法公式化简得：，再根据，得，所以，，代入上式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 小亮的解法是不正确的， 故答案为：小亮； （2）解：原式， ，， 原式． 4．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 2．下列式子中：①；②；③；④．计算正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加法与乘除法、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加法与乘除法、二次根式的性质化简逐个判断即可得． 【详解】解：①5与不可合并，则①错误； ②，则②错误； ③，则③正确； ④，则④正确； 综上，计算正确的个数是2个， 故选：B． 3．下列各式计算错误的是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加、减、乘、除法的运算法则逐一进行计算即可作出判断，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 4．李老师上课前在黑板上写下了一个式子：，“□”处符号被班里的“小调皮”同学给擦掉了，李老师翻看答案为有理数，则“□”处可能的符号为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则“□”处可能的符号为或， 故选：B． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$