培优专题 二次根式化简的5种常用方法(5题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 二次根式化简的5种常用方法 题型一、直接应用二次根式性质化简 1．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把32写成16×2，然后化简； （2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简； （3）分子分母都乘以3，然后化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．把下列二次根式化成最简二次根式 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）4；（3）． 【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案． 【详解】解：（1）=； （2）=4； （3）==． 【点睛】本题考查最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是(     ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】选项A，=，与的被开方数不相同；选项B，=，与的被开方数不相同；选项C，不能够化简，被开方数不相同；选项D，= ，=，和化简后被开方数完全相同，故选D. 点睛：本题考查最简二次根式和同类二次根式的概念，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键． 题型二、根据字母的取值化简 3．已知，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．若a<b(a，b为非零实数)，化简的结果为 (　 　) A．-a B．a C．a D． 【答案】A 【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么-a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】∵有意义， ∴-a3b≥0， ∴a3b≤0， 又∵a＜b， ∴a＜0，b≥0， ∴=-a． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 5．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）根据二次根式的性质化简即可； （6）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 首先由实数、在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由实数、在数轴上的位置，可得，； ； 故选：A 7．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，化简绝对值，二次根式的性质化简，理解数轴上点的符号，掌握二次根式性质化简是关键． 根据数轴的特点到，结合绝对值的性质，二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 8．已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴得到，再由二次根式的性质与绝对值进行化简即可．掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：由图可得， ∴，， ∴． 故答案为：1 题型三、根据隐含条件化简含有字母的二次根式 9．若为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，分式的化简，由二次根式有意义的条件可得，再根据绝对值的性质和分式的运算法则计算即可求解，由二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 【详解】解：∵与有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知x， y都是实数，且 则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根．熟练掌握二次根式有意义的条件，立方根是解题的关键．由题意知，，，可求，则，根据的立方根为，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为3， 故答案为：3． 11．已知：为实数，且，化简：． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值化简，二次根式化简，整式加减．根据题意可得，，再化简代数式即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得且， ， ∴， ∴， ∴ 12．已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 题型四、分类讨论化简含有字母的二次根式 15．设a，b为非零实数，则所有可能的值为 ． 【答案】±2，0 【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义以及二次根式性质化简即可得到结果． 【详解】当a＞0，b＞0时，原式=1+1=2； 当a＞0，b＜0时，原式=1-1=0； 当a＜0，b＞0时，原式=-1+1=0； 当a＜0，b＜0时，原式=-1-1=-2， 故答案为2或-2或0 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型五、利用类比法化简复合二次根式 16．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 17．化简 ． 【答案】 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 18．已知=7，则+= ． 【答案】50 【分析】整体代入法求值把进行配方，，平分方法求，整体代入即可． 【详解】=7， ， =， =49-2+， =47+3， =50． 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是条件求值问题，把代数式进行公式化为关键，要记准公式，会公式变形应用． 19．先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法与化简正确运用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案． 【详解】（1）解：， 即， ∴ ； （2）解：， 即， ∴ ． 20．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 21．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 二次根式化简的5种常用方法 题型一、直接应用二次根式性质化简 1．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 2．把下列二次根式化成最简二次根式 （1） （2） （3） 3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是(     ) A．和 B．和 C．和 D．和 题型二、根据字母的取值化简 3．已知，化简 ． 4．若a<b(a，b为非零实数)，化简的结果为 (　 　) A．-a B．a C．a D． 5．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ． 8．已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ． 题型三、根据隐含条件化简含有字母的二次根式 9．若为实数，且，则 ． 10．已知x， y都是实数，且 则的立方根为 ． 11．已知：为实数，且，化简：． 12．已知，化简 ． 13．已知，则的值为 ． 14．化简： ． 题型四、分类讨论化简含有字母的二次根式 15．设a，b为非零实数，则所有可能的值为 ． 题型五、利用类比法化简复合二次根式 16．化简的结果为 ． 17．化简 ． 18．已知=7，则+= ． 19．先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 20．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 21．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$