精品解析：2025年内蒙古自治区包头市东河区中考二模数学试题

2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学 满分100分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（ ） A. B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． （1）求的度数； （2）求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若、满足，则代数式的值为______． 10. 小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为______字/min． 11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为________． 12. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接、，若，，则的长为_______________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算 （1） （2） 14. 某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____________，_______________； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 15. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 16. 如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接分别是的中点，连接，延长交于点． （1）若，求证：是的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 17. 如图，点是边长为的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处． （1）把纸片展平，射线交于点，交于点，判断图1中与的数量关系，并说明理由； （2）在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，求出线段的长度； （3）在（1）条件下，如图3，点是对角线的交点，连接，若，求线段的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学 满分100分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查学生对正负数及绝对值的意义掌握，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提． 根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【详解】解：， ∵， ∴最接近标准， 故选：D． 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减、整式的乘除、幂运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘以单项式、多项式除以单项式和合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，根据平行线的性质得出的度数，再由作图可知，根据等边对等角得出的度数，最后用减去与即可得到结果，解题的关键是要根据作图过程得到． 【详解】解：如图； ，， ， 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，，从而求得k的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， ∴k的最小整数值是3， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根是解题的关键． 7. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质、反比例函数的图象及性质、二次函数的图象及性质，掌握这些函数的图象及性质是解题的关键． 利用关于轴对称，判定选项A和C是错误的；利用，得出在轴的左边，随的增大而减小，判定选项B是错误的；从而得出正确的选项是D． 【详解】解： ，， ∴关于轴对称， ∵，在同一个函数图象上， ∴该函数图象关于轴对称，因此选项A和C是错误的； ∵，在同一个函数图象上，且， ∴在轴的左边，随的增大而减小，因此选项B是错误的； 正确的选项是D． 故选：D． 8. 如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． （1）求的度数； （2）求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）轮船从处到码头距离约为海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、平行线的性质、三角形的内角和等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点作，交于点，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于，在中，求出，然后在中，求出，进而即可求解的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作于， 在中，，， ， ， 在中，， ， （海里）， 答：轮船从处到码头距离约为海里． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若、满足，则代数式的值为______． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键． 10. 小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为______字/min． 【答案】200 【解析】 【分析】根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可． 【详解】解∶设， 把代入，得， ∴， ∴， 当时，， ∵， 在第一象限内，y随x的增大而减小， ∴小明录入文字速度至少为200字/min． 故答案为：200． 【点睛】此题考查了是反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明△AMO≌△CNO，将四边形CMON的面积转化为△ACO的面积，即可用割补法求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵点O是AB的中点， ∴AO=BO=CO=1， ∵∠ACB=90°，∠EOF=90°， ∴∠CMO+∠CNO=180°， 又∠AMO+∠CMO=180°， ∴∠AMO=∠CNO， 又∠A=∠B，AO=CO， ∴△AMO≌△CNO． ∴四边形CMON的面积=△CMO的面积+△CNO的面积=△CMO的面积+△CNO的面积=△ACO的面积=△ABC面积的一半． ∴阴影部分的面积=扇形OEF的面积－四边形CMON的面积=扇形OEF的面积－△ACO的面积=． 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，求阴影部分的面积，解决此题的关键是合理作出辅助线． 12. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接、，若，，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，，即可求解；掌握角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于， 由作法得 平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式的性质和混合运算，分式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，再求负整数指数幂，立方根，再计算加减运算即可． （2）先把分式的除法转化成乘法，约分，最后再计算分式减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____________，_______________； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）． 【解析】 分析】本题主要考查了条形统计图、统计表，求中位数与众数，画树状图求概率． 由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，把型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列，其中第名和第名都是万件，所以型机器人分拣快递数量的中位数是； 根据型号机器人分拣快递的平均数高于型机器人，建议购买型机器人； 画树状图，由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，所以抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率是． 【小问1详解】 解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是， 由条形统计图可知， 型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、， 其中第名和第名都是万件， 型机器人分拣快递数量的中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：合理化建议： 型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人． 【小问3详解】 解：画树状图如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）． 15. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元 （2）购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元， 由题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元． 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需总费用为万元， 由题意得： ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少． 16. 如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接分别是的中点，连接，延长交于点． （1）若，求证：是的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、切线的判定以及解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据，可得，导角可得，进而可得证； （2）由设，，所以，证，根据平行线分线段成比例得，在 中，根据勾股定理，得，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴设， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵为直径， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， 得，，解得（舍）， ∴， ∴的半径为3． 17. 如图，点是边长为的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处． （1）把纸片展平，射线交于点，交于点，判断图1中与的数量关系，并说明理由； （2）在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，求出线段的长度； （3）在（1）条件下，如图3，点是对角线的交点，连接，若，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠轴对称性可得：，，易证，得出，即可证明出； （2）由折叠轴对称性可得：，，，通过导角易证，设，由（1）和点是的中点，得，，在中，，即，求出后，即可求出线段的长； （3）先通过勾股定理，求出，，，再证明，得，可求出，可得，由，可得，又因为，可得，可得，即可求出线段的长． 【小问1详解】 解：，理由如下： 正方形沿着折叠，点落在点处， 由折叠轴对称性可得：，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 正方形纸片的边长为， ，，， ， 由折叠轴对称性可得：，，， 又， ， 设， 点是的中点， ， 由（1）得，， ， ， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， 在中，， ， 在中，， 正方形的对角线交于点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、理解“折痕是对称点连线的垂直平分线”是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； 【小问3详解】 如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 第1页/共1页 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