专题01 实数（考点串讲，4考点+4方法+5新考向+5易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题01 实数 （4考点+4方法+5新考向+5易错） 沪科版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 四大实数比较的常见方法+五大新考向 五大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期末真题对应考点练 没有 正数 负数 无理数 知识结构 3 平方根 定义：若 x2 = a，则 x 叫做 a 的________ 算术平方根 正数a有______个平方根，其中__________________叫做a的算数平方根 非负性 被开方数为________ 算术平方根为________ 平方根 非负数 非负数 两 正的平方根 知识点一：平方根 知识梳理 性质 一个正数有___个平方根，它们互为________。 0的平方根是_____ _____没有平方根 开平方：求一个数的平方根的运算 2 负数 0 相反数 平方根 立方根 定义：若 x3 = a，则 x 叫做 a 的立方根 性质：正数的立方根是_______，负数的立方根是_______，0的立方根是_______ 开立方：求一个数的立方根的运算 正数 负数 0 知识点二：立方根 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 被开方数 性 质 正数 0 负数 是本身 规律 a ≥ 0 a ≥ 0 a 为任意数 正数(一个) 0 无 0、1 互为相反数(两个) 正数(一个) 0 0 无 负数(一个) 0 0、1、-1 梳理平方根、算数平方根以及立方根的相关知识 实数 实数的概念：有理数与无理数的统称 分类 有理数 无理数 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 相关性质 相反数：数 a 的相反数是______ 绝对值: |a| = ______，当a > 0 ______，当a = 0 ______，当a < 0 -a -a a 0 知识点三：实数 数轴上的一个点都表示一个______。 实数 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 实数 实数的大小比较 实数的简单运算 与有理数的运算法则、运算律等相同。 估算法、平(立)方法、作差法(或分析法)、数轴法等。 对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 有理数与无理数的区别： 有理数 无理数 是有限小数或无限循环小数 是无限不循环小数 都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数） 不能写成分数的形式 考点1 算术平方根、平方根和立方根 1.若的立方根是3，则 的值是( ) C A.9 B. C.27 D. 针对训练 2. 盐城盐都区期中）面积为15的正方形的边长是( ) B A.15的平方根 B.15的算术平方根 C.15的平方 D.15的立方根 11 3.下面说法正确的是( ) D A.的平方根是 B.16的平方根是4 C.0.25的算术平方根是 D.的立方根是 4.下列说法： ①如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零； ②如果一个数有立方根，那么这个数不一定有平方根； ③任何数的立方根都只有一个； ④负数没有立方根. 其中正确的是______（填序号）. ②③ 12 5.已知的平方根是， 的立方根为2. （1）求 的平方根； 解：的平方根是， 的立方根为2， ，，， ， 的平方根是 . （2）若的算术平方根是3，求 的立方根. 解：的算术平方根是3， . ， ， . 的立方根是 . 13 考点2 实数的相关概念及分类 6.[2024· 烟台] 下列实数中的无理数是( ) C A. B.3.14 C. D. 7.下列各组数中，互为相反数的是( ) D A.和 B.和 C.和 D.和 8. 的相反数是________，绝对值是________. 14 9.在7，0，，，， （两个“2”之间依次 多一个“0”），， ，，中，无理数有个，有理数有 个，则 ____. 10.若与互为相反数，则 的绝对值为________. [解析] 点拨：与 互为相反数， . 又, ， ,,, , ,， . 15 11.[2024· 重庆江津区期末] 按如图所示的程序计算，若开始输入的 的 值是64，则输出的 的值是____. 考点3 无理数的估算及实数的大小比较 12.在实数3，1，0， 中，最小的数是( ) A A. B.0 C.1 D.3 16 13.如图，数轴上 可能表示的数是( ) C A. B. C. D. 14.已知，，，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 15.若，且，是两个连续的整数，则 的值为____. 13 17 16.比较大小： （1）___ ； （2）___ . 考点4 实数的运算及应用 17.计算： ___. 3 18.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 18 19.有一张面积为 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长与宽 之比为，面积为 （如图），能将这张贺卡不折叠地放入此 信封吗？请通过计算说明你的判断. 解：不能.由题意可设长方形信封的长为， 宽为 ， ， （负值已舍去）. 长方形信封的宽为 . 正方形贺卡的面积为 ， 正方形贺卡的边长为 . ，， . 不能将这张贺卡不折叠地放入此信封. 19 实数大小比较的常见方法 专项突破 20 类型一 法则比较法 方法指导 正实数大于0，负实数小于0，正实数大于负实数.若两个负实数比 较大小，则绝对值大的反而小. 1.[2024· 淮安] 下列实数中，比 小的数是( ) D A. B.0 C. D. 2.[2024· 郑州中原区三模] 下列各数中最大的数是( ) C A.1 B. C. D.0 21 类型二 数轴比较法 方法指导 在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大. 3.[2024· 北京西城区模拟] 在同一条数轴上分别用点表示实数 ， 0，， ，则其中最左边的点表示的实数是( ) C A. B.0 C. D. 22 类型三 平方法或立方法 方法指导 ①已知<m></m>,<m></m>均为实数，若<m></m>，则<m></m>；反过来也成立. ②已知<m></m>,<m></m>均为正（负）实数，若<m></m>，则<m></m>；反过 来也成立. 4.下列各数中，比 小的最大整数是( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 5.[2024· 滨州] 写出一个比大且比 小的整数：__________. 2（或3） 23 6.[2024· 安徽] 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出 圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：___（填“ ”或“ ”）. 7.若，，，则，， 的大小关系为__________ （用“ ”连接）. 24 类型四 作差法 方法指导 对于实数<m></m>，<m></m>，若<m></m>，则<m></m>；若<m></m>，则<m></m>； 若<m></m>，则<m></m>. 8.“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法,即 25 例如:比较 与2的大小. 解: ， ,即 , . 请根据上述方法解答以下问题:比较与 的大小. 解: , ,即 , . 26 9.比较大小： （1）和 ； 解: , . （2）和 . 解: , , . 27 类型一 数学文化 1.《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之.”作者给 这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”，下列关于30“面”的值说 法正确的是( ) C A.是3和4之间的实数 B.是4和5之间的实数 C.是5和6之间的实数 D.是6和7之间的实数 新考向 28 2.[2024· 滁州天长一模] 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形 的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记 ， 那么其面积 .若某个三角形的三边长分别为 2，3，3，其面积介于整数和之间，则 的值为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 29 类型二 开放性试题 3.写出一个比 小的整数：__________________. （答案不唯一） 4.写出一个小于4的正无理数是__________________. （答案不唯一） 5.请写出一个正整数，使得是整数： _________________. 2（答案不唯一） 30 7.用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系： .有两个 外观完全相同的用电器，甲的电阻为 ，乙的电阻为 .现 测得某用电器的功率为，两端电压在 ，该用电器 到底是甲还是乙？ 解：， . 当功率时， ， ， 该用电器是甲. 32 类型四 新定义题 8.对任意两个实数， 定义两种运算： 并且定义运算顺序仍然是先算 括号内的，例如，, ， 那么 等于( ) C A. B.3 C. D.2 33 9.[2024· 汕头潮阳区月考] 对于实数，，定义， 的含义为： 当时，，，当时，， ，例如： ，.已知，，，，且 和为两个连续正整数，则 的算术平方根为( ) D A.16 B.8 C.4 D.2 34 10.[2024· 南京期末] 我们用表示不大于的最大整数， 的值 称为数的小数部分，如， 的小数部分为 . （1）___，___， 的小数部分 ______； 1 2 （2）设的小数部分为，求 的值. 解：，， ， 的小数部分为， . ，， ， . 35 类型五 代数推理 11.[2024· 德州] 观察下列等式： ， ， , …… 则 的值为____. 36 12.[2024· 河北] 已知，， 均为正整数. （1）若，则 ___； （2）若，，则满足条件的 的个数总比 的个数少___个. 3 2 37 易错点1.把“的平方根”当作“a的平方根” 【例1】的平方根是 （　　） A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3 错解：B. 错解分析：误将“的平方根”当作“81的平方根”.因为=9，9的平方根是±3，所以正确的答案是D. 正解：D. 易混易错 【针对训练】 的立方根是 （ ） A. 4 B. -4 C. ±4 D. D 易错点2.不理解无理数的概念 【例2】下列各数是无理数的是 （　　） A. B. 3.141 141 114 C. D. 3. 错解：B或C或D. 错解分析：有限小数、无限循环小数和分数都是有理数，只有无限不循环小数才是无理数.如果不正确理解无理数的概念，就可能因为3.141 141 114不是无限小数、≈3.142 857 14…除不尽或者3.是循环小数而错选B或C或D. 正解：A. 【针对训练】下列各数：3π，0，-0.2，，0.373 773 777 3…（相邻两个3之间依次多一个7）.其中，无理数有 （ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B 易错点3.对数轴上两点间的距离理解错误而导致漏解 【例3】在数轴上，点A到原点的距离是，则点A所表示的数是　　　　.  错解：. 错解分析：学生习惯性地想到原点右边的点，忽略了原点左边的点-，这是因粗心大意、错误理解所致.其实，在数轴上，与原点的距离相等的点有两个，所以点A所表示的数应是±. 正解：±. 【针对训练】数轴上A，B两点之间的距离是-1，点A在数轴上表示的数为+1，则点B在数轴上表示的数为　 　.  2或2 易错点4.因对平方根的定义理解错误而导致漏解 【例4】根据下表数据回答：259.21的平方根是　　　　　.  错解：16.1. 错解分析：错解只根据表中所对应的数，直接写出16.1的答案，而混淆了平方根与算术平方根的意义. 正解：±16.1. x 16 16.1 16.2 16.3 … x2 256 259.21 262.44 265.69 … 【针对训练】根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 x 16.5 16.6 16.7 16.8 … x2 272.25 275.56 278.89 282.24 … （1）272.25的平方根是　 　；  （2）=　 　， =　 　，  =　 　；  （3）计算：+162-520. ±16.5 16.4 167 1.62 解：（3）原式=168+256-520 =-96. 易错点5.不进行分类讨论导致漏解 【例5】已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a与m的值. 错解：∵a-1和5-2a都是m的平方根， ∴a-1+5-2a=0.解得a=4. ∴m=（4-1）2=9. 错解分析：因为a-1和5-2a都是m的平方根，所以它们的值有相等或者互为相反数两种情况，应该进行分类讨论. 正解：根据题意，分以下两种情况. ①当a-1与5-2a是同一个平方根时， 得a-1=5-2a.解得a=2. 此时，m=（2-1）2=1； ②当a-1与5-2a不是同一个平方根时， 得a-1+5-2a=0.解得a=4. 此时，m=（4-1）2=9. 综上所述，当a=2时，m=1；当a=4时，m=9. 【针对训练】已知x=1-2a，y=3a-4. （1）已知x的算术平方根为3，求a的值； 解：（1）∵x的算术平方根是3，∴1-2a=32=9. 解得a=-4. ∴a的值是-4. （2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数. （2）①当x，y是同一个平方根时，得1-2a=3a-4.解得a=1. 此时，这个数为（1-2×1）2=1； ②当x，y不是同一个平方根时，得1-2a+3a-4=0.解得a=3. 此时，这个数为（1-2×3）2=25. 综上所述，这个数是1或25. 1.[2024· 福建] 下列实数中，无理数是( ) D A. B.0 C. D. 押题预测 2.比较大小：___（填“ ”“ ”或“ ”）. 3.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 49 4.你知道怎样迅速、准确地计算59 319的立方根吗?请按下面的方法试 一试. ①因为, , ， 所以 ， 所以能确定59 319的立方根是一个两位数. ②因为59 319的个位上的数是9, ， 所以能确定59 319的立方根的个位上的数是9. 50 ③如果划去59 319后面的三位319得到数59,而 ,则 ,可得 , 由此能确定59 319的立方根的十位上的数是3， 因此59 319的立方根是39. （1）请你按这种方法求195 112的立方根,请完成下列填空: ①它的立方根是一个____位数;②它的立方根的个位上的数是___; ③它的立方根的十位上的数是___;④195 112的立方根是____. 两 8 5 58 （2）请直接填写结果: ① ____;② ____. 24 56 51 $$