专题05 相交线、平行线与平移（考点串讲，4考点+6模型+4新考向+3易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题05 相交线、平行线与平移 （4考点+6模型+4新考向+3易错） 沪科版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 六大拐点模型+四大新考向 三大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期末真题对应考点练 相等 最短 一条 相等 互补 相等 知识结构 3 (1) 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的 . (2) 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已知直线垂直. (4) 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫做点到直线的距离. (3) 直线外一点与直线上各点的所有连线中，______最短. 有且只有 垂线段 长度 垂线 知识梳理 知识点一：垂线 同位角、内错角、同旁内角的结构特征： 同位角 “ ”型 内错角 “ ”型 同旁内角 “ ”型 三线八角 F Z U 知识点二：同位角、内错角、同旁内角 内错角____ 同位角____ 两条直线平行 同旁内角____ 相等 相等 互补 判定 性质 知识点三：平行线的判定和性质 (1) 平移前后图形的 完全相同. (2) 对应线段 ； (3) 对应点连线 ． A B C D E F 形状和大小 平行(或在同一直线上)且相等 平行(或在同一直线上)且相等 知识点四：平移的性质 考点1 相交线 1.[2024· 宁波鄞州区期末] 如图，，被 所 截，则 的同位角是( ) A A. B. C. D. 针对训练 2.[2024· 雅安] 如图，直线，交于点 ， 于点，若 ，则 的度数是 ( ) A A. B. C. D. 8 3. 合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是 环境保护的重要任务.如图，污水处理厂要从 处把处理过的水引入排水 沟，方法如下：过点作于点.沿着 方向铺设排水管道 用料最省.能准确解释这一现象的数学知识是____________. 垂线段最短 4.如图，若 ，则 ______；当剪刀口 增大 时， 增大___. 9 考点2 平行线的判定与性质 5.[2024· 广东] 如图，一把直尺、两 个含 的三角尺拼接在一起，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 6.[2024· 苏州] 如图，，若 ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 10 7.[2024· 金华义乌月考] 如图，在下列给出的条件中，不能判定 的是( ) A （第7题） A. B. C. D. 11 8. 光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折 射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯 底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃 杯的底面平行.若 ， ，则 ______. （第8题） 12 9. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使 用共享单车.如图是一辆共享单车放在水平地面上的简易示意图，其中 ，都与地面平行， ， .当 ___ 时，与 平行. 73 （第9题） 13 10.如图，已知，于点， ， ，则 的度数是______. [解析] 点拨：如图，过点作，过点作 ， 14 ， . ， ， . ，， ， ，，， . ， ， . ， ， ， . 15 考点3 定义、命题、定理 11.下列命题中，是真命题的是( ) C A.相等的两个角是对顶角 B.同位角相等 C.若，则 D.若一个数能被2整除，则它也能被4整除 12.如图，已知，直线与直线 有交点，命题 “内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的 是( ) D A. B. C. D. 16 考点4 平移 13.如图，已知线段是由线段 平移得到的， 且，，则三角形 的周长是( ) D A. B. C. D. 17 14.如图，把直角梯形沿 方向平移到梯形 ，，， ，则阴 影部分的面积是_______. [解析] 点拨：直角梯形沿 方向平移得到梯形 ， ， . 根据平移的性质，得 ， . 18 平行线中常见模型 专项突破 19 模型归纳 过拐点作其中一条直线的平行线，然后利用平行线的性质求解。 1.单拐点模型 20 2.多拐点模型 21 模型一 单拐点模型 类型1 “ ”形图 1. 如图，,为,之间的一点，已知 , ，求 的度数。 22 [答案] 解法一：过点 作射线 ,如图①所示。 因为， ,所以 ， 。 所以 ， 所以 。 所以 。 23 解法二：过点作射线 ,如图②所示。 因为，,所以， 。所以 。 因为 , 所以 。 所以 。 24 类型2 “ ”形图 2.小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直 杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知 垂直于 水平地面 。当车牌被自动识别后，“曲臂直杆道闸” C A. B. C. D. 的段绕点缓慢向上旋转， 段则一直保持水平状态上升 （即与始终平行），在该过程中 始终等于( ) 25 类型3 “ ”形图 3.如图， , , 。请问：与 平行吗？请说明理由。 26 解： 。理由如下： 如图，过点作 ， 所以 。 因为 ， 所以 。 因为 ，所以 ， 所以。又因为，所以 。 27 类型4 “ ”形图 4.如图，,则,, 有何数量关系？为什么？ 28 解： 。理由如下： 如图，过点作 , 所以 。 因为, , 所以，所以 ， 所以 。 29 类型5 “ ”形图 5.如图，已知， ， ，求 的度数。 30 解：如图,过点作 。 因为， ， 所以， 。 所以 。 所以 。 所以 。 31 模型二 多拐点模型 6.如图，一环湖公路的 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东 西方向的段，求 的度数。 32 解：如图，分别过点，作的平行线， ， 由题意知 ， 所以 ， 则 ， ， ， 33 所以 ， 即 。 7.如图，已知，，试说明 。 35 解：如图，作， ， 所以， 。 因为，所以 ， 所以 。 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 。 36 8.如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐 ， 第二次拐弯形成的拐角 ，第三次拐弯后的道路恰好和第一 次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 37 解：如图，过点作，延长到点 。 因为， ， 所以。因为第一次向右拐 ，所以 ， 所以 。 因为 ， 所以 。 又因为，所以 。 所以第三次应向左拐 。 38 类型一 传统文化 1.[2024· 济南槐荫区月考] 在两千多年前，我们的先祖就发明了木杆秤. 如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知 ，则 的度数 为_____. 新考向 39 类型二 数学文化 （第2题） 2.汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的 重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一 些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下， 则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法， 即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和 入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”.为了探清一 口深井的底部情况，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜可改变 光路，当太阳光线与地面所成夹角 时，要使太阳光 线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部（由光的反射定律可知 ），则需要调整平面镜与地面的夹角 _____. 40 （第3题） 3.我国古代观星，并对星图进行艺术加 工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界 现存古代星图中星数较多，年代最早的 星图，绘制于唐代.元朝数学家郭守敬 重新观测了二十八星宿（东南西北各七 宿，图①是其中的南方七宿之翼），编 制了当时最先进的历法《授时历》.小明学习了平行线知识，画出了“南 方七宿之翼”的上半部分（如图②）.当时，，，和 的数 量关系为___________________. 41 类型三 跨学科综合 （第4题） 4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当 光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相 同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的， 如图， ， ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 42 （第5题） 5.如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面 镜的镜面与平行，入射光线与反射光线 平行，若入射光线与镜面的夹角 ， 且 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 43 （第6题） 6.[2024· 山西] 一只杯子静止在斜面上，其受力分析 如图所示，重力的方向竖直向下，支持力 的方向 与斜面垂直，摩擦力 的方向与斜面平行.若斜面的 坡角 ，则摩擦力与重力方向的夹角 的度数为( ) C A. B. C. D. 44 （第7题） 7.如图①，汽车前灯的反光装置相 当于凹面镜，有了它，射出的光可 看作平行光.现对此进行逆向分析， 如图②，两条平行光线， ，通 过凹面镜反射后反射光线会聚于焦 点，是过焦点 的一条辅助线， D A. B. C. D. 根据图中信息，下列判断错误的是 ( ) 45 类型四 新考法 8.[2024· 湖州吴兴区期中] 请阅读以下“预防近视”知识卡： __________________________________________ 读书、写字、看书姿势要端正.一般人正常的阅读角度约为 俯角 （如右图视线与水平线的夹角 ）.在学习和工作中，要保持 读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括:眼与书本的距离1尺;身体与 桌子距离1拳;握笔时，手指离笔尖1寸.书本与课桌的角度要保持在 . 46 如图，桌面和水平面平行， 与书本所在平面重合，根据卡片内容， 请判断正常情况下，坐姿正确且坐椅高度适合时，视线 和书本所在 平面所成角 不可能为以下哪个角度？ ( ) D A. B. C. D. 47 易错点1.在图形中没有准确找到垂足的位置，导致画错垂线 【例1】作图：如图Z7-1-1，过点B作BE⊥AC，垂足为E. 错解：如图Z7-1-2，BE即为所作. 图Z7-1-1 图Z7-1-2 易混易错 错解分析：过点B作BE⊥AC时，误认为直角顶点为B，从而导致作图错误. 正解：如图，BE即为所作. 【针对训练】如图Z7-1-4，已知三角形ABC，根据下列要求作图（不要求写画法）： （1）作边AB上的高CH； 图Z7-1-4 解：（1）如答图Z7-1-1. CH即为所作. 答图Z7-1-1 （2）过点H作直线BC的垂线，垂足为D. （2）如答图Z7-1-1，HD即为所作. 图Z7-1-4 答图Z7-1-1 易错点2.不能准确识别截线和被截线，从而误判两直线平行或两角相等 【例2】如图Z7-1-5，下列由已知条件推出结论正确的是 （　　） A.由∠1=∠5，可以推出AB∥CD B.由AD∥BC，可以推出∠4=∠8 C.由∠2=∠6，可以推出AD∥BC D.由AD∥BC，可以推出∠3=∠7 错解：A或C或D. 图Z7-1-5 错解分析：错选A的原因是误以为内错角∠1与∠5是直线AB，CD被直线BD所截形成的；错选C的原因是误以为内错角∠2与∠6是直线AD，BC被直线BD所截形成的；错选D的原因是误以为内错角∠3与∠7是直线AD，BC被直线AC所截形成的.正确识别一对角是哪两条直线被第三条直线所截而成的方法：从组成角的两边入手，两个角的边所在的同一直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线. 正解：B. 【针对训练】如图Z7-1-6，下列结论中，不一定正确的是 （ ） A.若∠1=∠2，则AD∥BC B.若AD∥BC，则∠1=∠B C.若∠2=∠C，则AE∥CD D.若AE∥CD，则∠1+∠3=180° 图Z7-1-6 B 易错点3.混淆命题的题设与结论 【例3】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 　　　　　　　.  错解：如果两个角相同，那么它们的补角相等. 错解分析：误认为题设是“同角”，结论是“补角相等”. 正解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等. 【针对训练】将“邻补角的平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式：如果　 　　　 　，那么　 　　　　　.  两条射线是邻补角的角平分线 这两条射线互相垂直　 1. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射 时， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 押题预测 57 2. 学习了平行线的判定后，小敏想出了过已知直线 外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张纸得到的，如图， 从图中可知小敏画平行线的依据是( ) C A.两直线平行，同位角相等 B.两直线平行，内错角相等 C.同位角相等，两直线平行 D.两直线平行，同旁内角互补 58 3.[2024· 济宁] 任城区期末 如图，点 在 的延长线上，给出下列条件： ； ； ；④ ； ⑤ ； ⑥ ， 能判定 的条件有________.（填序号） ②④⑤ 59 4. 【阅读探究】 （1）如图①，，，分别是，上的点，点在， 两平行线之间， ， ，求 的度数. 60 解：如图①，过点作 ， ______. ， . ______. ， ， . 61 （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和 “凑”在 一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.进一步研究，我们可以发 现图①中，和 之间存在一定的数量关系，它们之间 的数量关系为________________________. 62 【方法应用】 （3）如图②，，，分别是，上的点，点在， 两平行线之间， ， ，求 的度数. 解：如图，过点作 ， ， . ， ， ， . 63 【应用拓展】 （4）如图③，，，分别是，上的点，点在， 两平行线之间，作和的平分线，，交于点 （交点在两平行线，之间），若 ，则 的度数 为__________ （用含 的式子表示）. 64 [解析] 点拨：根据（3）得 ， ，分别平分和 ， ， .根据（1）得 , . 65 $$