专题02 一元一次不等式与不等式组（考点串讲，5考点+6技巧+5新考向+3易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 一元一次不等式与不等式组 （5考点+6技巧+5新考向+3易错） 沪科版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对训练 六大技巧点拨+五大新考向 三大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期末真题对应考点练 知识结构 3 应用 一元一次不等式（组） 五个概念 三条性质 三个解法 不等式 不等式的解 不等式的解集 一元一次不等式 一元一次不等式组 不等式的基本性质 一元一次不等式的解法 一元一次不等式组的解法 含参的不等式（组）的解法 两个基本事实 知识梳理 1. 不等式: 用符号“<”或“>”表示不等关系的式子. 2. 不等式的解: 使不等式成立的未知数的值. 3. 不等式的解集: 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 2+3＞5 x+y＞z x-1≤2 x ≠0 x=1是不等式 x-1≤2的解 不等式 x-1≤2的解集是x≤3 包含 “≤” “≥”“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 知识点一：五个概念 把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组. 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式. 4. 一元一次不等式 5. 一元一次不等式组 3x<2x + 1 -4x ＞ 3 x-1≤2 30x > 1200 30x < 1500 2x -1 > x+1 x+8 < 4x-1 1. 交换不等式两边，不等号的方向改变： 如果a＞b，那么b＜a. 2. 不等关系可以传递： 如果a＞b， b＞c，那么a＞c. 知识点二：两个基本事实 不等式 的性质 文字语言 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果a＞b，那么 a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或 ） 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 ） 知识点三：三条性质 不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点： 类别 不同点 相同点 不等式 等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等 1.两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍成立； 2.两边乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立 1. 一元一次不等式的解法. 步骤 依据 去分母 不等式的性质2或3 去括号 去括号法则 移项 不等式的性质1 合并同类项 合并同类项法则 系数化为1 不等式的性质2或3 知识点四：三个解法 2. 一元一次不等式组的解法. 解一元一次不等式组的步骤： （1）求出各不等式的解集； （2）在数轴上表示各解集； （3）确定各解集的公共部分； （4）写出不等式组的解集. -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 x＞5 x＜3 3＜x＜5 无解 a b a b a b a b 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 x＞b x＜a a＜x＜b 无解 归纳总结 结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程. 审：认真审题，分清已知量、未知量； 找：找出题目中的不等关系，抓住关键词， 如“超过”“不大于” “最多”等； 设：设出适当的未知数； 01 02 03 答：检验答案是否符合实际意义，并作答. 列：根据题中不等关系，列出一元一次不等式； 解：求出一元一次不等式的解集； 04 05 06 知识点五：一元一次不等式（组）的应用 特别提醒：常见的不等式基本语言与符号表示： 基本语言 符号表示 基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a ≥ 0 a是非正数 a ≤ 0 a大于b a＞b a小于b a＜b a不小于b a ≥ b a不大于b a ≤ b a, b同号 ab＞0或 a, b异号 ab＜0或 超过 ＞ 不足 ＜ 考点1 不等式及其解集 1.下列各式中，不是不等式的是( ) A A. B. C. D. 针对训练 2.小丽上周每天睡眠时间不少于8小时，她上周五的睡眠时间是 小时,用 不等式表示其数量之间的关系为______. 3.写出一个不等式，使它的解集为 ，则这个不等式可以是 ___________________________. （答案不唯一） 16 考点2 不等式的性质 4.[2024· 聊城期末] 若 ，则下列不等式不一定成立的是 ( ) D A. B. C. D. 5.实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是 ( ) D A. B. C. D. 17 6.[2024· 无锡] 命题“若，则 ”是____命题. （填“真”或“假”） 假 考点3 一元一次不等式及其解法 7.下列式子：；；； . 其中是一元一次不等式的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.若2与的和不大于3与的差，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 18 9.若关于的方程的解是非负数，则 的取值范围是 _________. 10.[2024· 盐城] 求不等式 的正整数解. 解：去分母，得 ， 去括号，得，移项，得 ， 合并同类项，得，系数化为1，得 ， 不等式的正整数解为1，2. 19 考点4 一元一次不等式组及其解法 11.下列不等式组： 其中是一元一次不等式组的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20 12.[2024· 雅安] 不等式组 的解集在数轴上表示为( ) C A. B. C. D. 13.不等式组 的整数解有( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 21 14.[2024· 邢台期末] 某数学兴趣小组对关于的不等式组 讨论得 到以下结论，其中正确的是( ) D ①若，则不等式组的解集为 ； ②若不等式组无解，则的取值范围为 ； ③若 ，则不等式组无解； ④若不等式组只有两个整数解，则的取值范围为 . A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①③④ 22 15.解不等式组： （1）[2024· 常州] 解：由①，得；由②，得 ， 不等式组的解集为 . （2）[2024· 北京] 解：解不等式①，得，解不等式②，得 ， 不等式组的解集为 . 23 考点5 一元一次不等式（组）的应用 16.一艘船从地顺流而下到地需要3小时，沿相同路线从 地逆流而上 返回 地需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的 速度是每小时 千米，则题中满足的不等关系为( ) C A. B. C. D. 17.某校在一次外出郊游中，把学生分成9组，若每组比预定的人数多1 人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不 到190人，那么每组预定的学生人数为( ) B A.21人 B.22人 C.23人 D.24人 24 18. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖， 距今已有4 000多年的历史.某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价 分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1 800元 第二个月 4套 10套 3 100元 25 （1）求A，B两种材质的围棋每套的售价. 解：设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为元， 元.根据题意，得 解得 答：A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元. （2）若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过 5 760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ 解：设A种材质的围棋采购套，则B种材质的围棋采购 套， 根据题意，得，解得 . 答：A种材质的围棋最多能采购12套. 26 （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1 030 元的目标？请说明理由. 解：根据题意，得 ，解 得 . 在（2）的条件下，， 在（2）的条件下，商店不能实现利 润为1 030元的目标. 27 技巧1 解普通型的一元一次不等式组 1. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( ) A A. B. C. D. 技巧点拨 【点拨】解，得 ，解，得 ， 所以不等式组的解集为 . 28 2.解不等式组 并将解集在数轴上表示出来. 【解】 解不等式①，得，解不等式②，得 ， 不等式组的解集为 . 将解集表示在数轴上如图所示. 29 3.解不等式组 并写出满足不等式组的所有整数解. 【解】解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为 . 不等式组的所有整数解为 ，0. 30 技巧2 解连写型的不等式组 4. 满足不等式组 的整数解有( ) B A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 无数个 5.若,且,则 的取值范围为_ _________. 【点拨】由，得 ， 根据可知 ， 解得 . 31 6.解不等式组 . 【解】原不等式组可化为 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 . 原不等式组的解集为 . 32 技巧3 “绝对值”型不等式转化为不等式组求解 7.解不等式 . 【解】由 , 得，则 解不等式①,得，解不等式②,得 . 原不等式的解集为 . 33 技巧4 “分式”型不等式转化为不等式组求解 8.解不等式 . 【解】,与 异号. 即或 解①，得 此不等式组无解. 解②，得 此不等式组的解集为 . 原不等式的解集为 . 34 技巧5 求字母的值或取值范围 9.若关于的一元一次不等式组的解集为 ,则 的取值范围是______. 10. 关于的不等式组 的整数解仅有4个，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【点拨】解不等式组得 ， 由题意得，解得 . 35 11.若关于的不等式组的解集是,求, 的值. 【解】 解不等式①,得 ， 解不等式②，得 . 该不等式组的解集为 又 该不等式组的解集为 , , ， 解得, . 36 12.已知满足关于的不等式组 求 的取值范围. 【解】将代入,得 , 解得 . 将代入,得 , 解得 . 的取值范围是 . 37 技巧6 将与方程（组）的解有关的问题转化为不等式组求解 13.已知关于,的方程组 的解均为正数. （1）求 的取值范围； 【解】 ，得,解得 . ,得,解得 . 方程组的解为 又 该方程组的解均为正数， 解得 . 38 （2）化简： . 【解】由（1）知且 , 原式 . 39 14.若关于的不等式组 至少有3个整数解,且关于的方程 的解为非负整数,则满足题意的所有整数 的和是多少？ 【解】解不等式,得 ， 解不等式,得 . 不等式组的解集为 . 又 不等式组至少有3个整数解，,解得 . 解关于的方程 ,得 . 方程的解为非负整数，且， 或3或6. 或5或2. 满足题意的所有整数的和是 . 40 类型一 开放性试题 1.写出不等式 的一个整数解：_________________. 2（答案不唯一） 新考向 2.如果关于的不等式组的解集是 ，请写出一个符合条件的 的值：_________________. 1（答案不唯一） 41 类型二 过程性学习 3.解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得， 第1步 去括号，得， 第2步 移项，得， 第3步 合并同类项，得， 第4步 系数化为1，得 第5步 42 任务一： 该同学的解答过程第___步出现了错误，错误原因是________ ________________________________； 不等式①的正确解集是______； 5 两边同乘一个负数时，不等号的方向未改变 任务二： 解不等式②，并写出该不等式组的解集. 解：移项，得，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 该不等式组的解集为 . 43 类型三 新考法 4.[2024· 枣庄、临沂、菏泽、聊城] 根据以下对话，给出下列三个结论： 班学生的最高身高为；班学生的最低身高小于 ； 班学生的最高身高大于或等于 . 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) C A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 44 5.[2024·常州] “绿波”是车辆到达前方各路口时，均 遇上绿灯，提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速 的路段上，某时刻的导航界面如图所示， 前方第一个路口显示绿灯倒计时 ，第二个路口 显示红灯倒计时 ，此时车辆分别距离两个路口 和 .已知第一个路口红、绿灯设定时间 分别是， ，第二个路口红、绿灯设定时间 分别是，.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于 的车 速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过）， 则车速 的取值范围是_____________. 45 类型四 阅读材料题 6.阅读材料：我们知道于是要解不等式 ， 我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上 述思路，我们有以下解法： 解:①当，即时，，解得，由条件 ， 有 ； ②当，即时，，解得 ，由条件 ，有 . 综合①②，原不等式的解集为 . 46 根据以上思想，请解下列不等式： （1） ； 解：①当，即时，，解得 ， 由条件，有 ； ②当，即时，，解得 ， 由条件，有 , 综合①②，原不等式的解为 . 47 （2） . 解：①当，即时， ， 解得，不符合条件 ，舍去； ②当，即时， ， 解得，符合条件 . 综合①②，原不等式的解为 . 48 类型五 新定义题 7.[2024·湖南] 在平面直角坐标系中，对于点，若， 均为 整数，则称点为“整点”，特别地，当其中 的值为整数时，称 “整点”为“超整点”.已知点 在第二象限，下列说法正 确的是( ) C A. B.若点为“整点”，则点 的个数为3个 C.若点为“超整点”，则点 的个数为1个 D.若点为“超整点”，则点 到两坐标轴的距离之和大于10 49 [解析] 点拨：点 在第二象限， 解得 ，故A不正确. 点为“整点”， 为整数， 又，或 或0或1， 当时，，，此时点 ； 当时，，，此时点 ； 当时，，，此时点 ； 当时，，，此时点 . 50 “整点” 的个数是4个，故B不正确. 根据“超整点”的定义知当时，点 是“超整点”， “超整点” 的个数为1个，故C正确. 当点为“超整点”时，点到两坐标轴的距离之和为 ，故 D不正确. 易混易错 易错点1.误用不等式的性质3而出错 【例1】根据不等式的性质，把不等式-2x<4x+4化为“x>a”或“x<a”的形式. 错解：不等式两边同减4x，得-6x<4. 不等式两边同除以-6，得x<-. 错解分析：在运用不等式的性质3时，没有将“<”改变成“>”，导致出现错误.要时刻牢记：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 正解：不等式两边同减4x，得-6x<4. 不等式两边同除以-6，得x>-. 【针对训练】利用不等式的性质，把不等式x+10>4x-2化为“x>a”或“x<a”的形式. 解：不等式两边同减10，x>4x-12. 不等式两边同减4x，-3x>-12. 不等式两边同除以-3，x<4. 易错点2.去分母时，忽视分数线的括号作用而出错 【例2】解不等式-≥2. 错解：去分母，得2x+2-5x-2≥20. 移项，得2x-5x≥20-2+2. 合并同类项，得-3x≥20. 系数化为1，得x≤-. 错解分析：在解一元一次不等式时，忽视了分数线的括号作用，出现了漏乘的错误.注意：在去分母时，若分子是多项式，则必须先添上括号，再进行计算. 正解：去分母，得2（x+2）-5（x-2）≥20. 去括号，得2x+4-5x+10≥20. 移项，得2x-5x≥20-4-10. 合并同类项，得-3x≥6. 系数化为1，得x≤-2. 【针对训练】解不等式-≤1，并在数轴上表示出该不等式的解集. 解：去分母，得2（2x-1）-3（5x+1）≤6. 去括号，得4x-2-15x-3≤6. 移项，得4x-15x≤6+2+3. 合并同类项，得-11x≤11. 系数化为1，得x≥-1. 在数轴上表示解集如答图 答图 易错点3.取特殊值时出错 【例3】某次“人与自然”的知识竞赛中，共有20道题，比赛规则是：答对一题得5分，答错或不答一题扣2分.在这次比赛中，小莹被评为优秀（80分或80分以上），小莹至少答对了几道题？ 错解：设小莹答对了y道题. 由题意，得5y-2（20-y）≥80.解得y≥17. ∵y是正整数， ∴y的最小值为17. 答：小莹至少答对了17道题. 错解分析：在求答对题目的数量时，误用四舍五入法，取了正整数17，但17小于17，不符合题意，从而导致出错.对于此类题，只能入而不能舍，在解完不等式后，我们要检验一下不等式的解集，既要满足不等式，也要符合题意. 正解：设小莹答对了y道题. 由题意，得5y-2（20-y）≥80. 解得y≥17. ∵y是正整数， ∴y的最小值为18. 答：小莹至少答对了18道题. 【针对训练】某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠.期中考试后，小颖同学在该店为班级买奖品，准备买6支钢笔和若干本笔记本.已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？ 解：设小颖买x本笔记本才能享受打折优惠. 由题意，得15×6+8x≥200.解得x≥13. ∵x是正整数， ∴x的最小值为14. 答：小颖至少买14本笔记本才能享受打折优惠. 1. 如图是一个数据转换器示意图，按该程序进行运算，若输入 ， 则该程序需要运行___次才停止；若该程序只运行了2次就停止了，则 的取值范围是__________. 3 押题预测 60 2.[2024· 济南] 解不等式组： 并写出它的所有整 数解. 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 在数轴上表示不等式①②的解集如图. 原不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0，1，2，3. 61 3.[2024· 贵州] 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校 组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植 甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2 亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生. 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ 解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要名、 名学生，根据题意， 得解得 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5名，6名学生. 62 （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种 植甲作物多少亩？ 解：设种植甲作物亩，则种植乙作物 亩， 根据题意，得，解得 . 答：至少种植甲作物5亩. 63 4. 解不等式 时，我们可以采用下面的解法： ①当时， , 原不等式可以化为 , 可得不等式组解得 ; ②当时， , 原不等式可以化为 , 可得不等式组解得 . 综上可得原不等式的解集为 . 请你仿照上面的解法，尝试解不等式 64 解：①当时， ， 原不等式可化为，可得不等式组 解得 ； ②当时， ， 原不等式可化为 ， 可得不等式组解得 . 综上可得原不等式的解集为 . 请你仿照上面的解法，尝试解不等式 65 $$