1.2 子集、全集、补集（8大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版2019必修第一册）

1．2 子集、全集、补集 目录 01 题型归纳目录 2 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 2 题型二：韦恩图及其应用 2 题型三：由集合间的关系求参数的范围 3 题型四：集合间的基本关系 4 题型五：判断两集合是否相等 5 题型六：根据两集合相等求参数 5 题型七：空集的性质 5 题型八：补集及其运算 6 02 重难点拓展 7 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 1．（2025·高一·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 2．（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 3．写出集合的所有子集. 4．已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集． 题型二：韦恩图及其应用 5．设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是 . 6．（2025·高一·山东济宁·期中）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（    ） A． B． C． D． 7．下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·陕西咸阳·开学考试）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三：由集合间的关系求参数的范围 9．已知集合，，若，求实数的取值范围． 10．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 11．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 12．已知集合，．若，求实数的取值范围． 题型四：集合间的基本关系 13．（多选题）（2025·高一·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2025·高一·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 15．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）（2025·高一·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 题型五：判断两集合是否相等 17．已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 18．下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 19．下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六：根据两集合相等求参数 20．若集合与集合相等，则实数 . 21．已知集合，若，则 . 22．设集合，若，则 ． 23．已知，，若集合，，且，则的值为 ． 题型七：空集的性质 24．（多选题）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 25．（多选题）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 26．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（多选题）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 题型八：补集及其运算 28．（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 29．（2025·高一·湖北·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 30．已知集合，，若为非空集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 1．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 2．（2025·高一·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 3．（2025·高一·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 4．对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 9．若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 10．已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 11．（多选题）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．若，则存在，满足 C．如果，那么 D．如果，那么 12．（多选题）（2025·高一·广东广州·期中）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 13．（多选题）（2025·高一·广东·期中）如下四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（   ） A．2 B． C． D．0 15．（多选题）对于集合，则下面结论正确有（   ） A．如果，那么； B．如果，，那么； C．如果，，那么 D．如果，，那么 16．（2025·高一·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 17．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 18．设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 19．（2025·高一·安徽·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 20．已知全集，， (1)设实数x的取值构成集合M，求； (2)当时，求实数x的值. 21．设，若，则称集合为集合的元“好集”. (1)写出实数集上的一个二元“好集”； (2)是否存在正整数集的二元“好集”？说明理由. 22．已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由. 23．（2025·高一·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 子集、全集、补集 目录 01 题型归纳目录 2 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 2 题型二：韦恩图及其应用 3 题型三：由集合间的关系求参数的范围 4 题型四：集合间的基本关系 6 题型五：判断两集合是否相等 7 题型六：根据两集合相等求参数 8 题型七：空集的性质 10 题型八：补集及其运算 11 02 重难点拓展 13 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 1．（2025·高一·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 【解析】因为集合有且仅有两个子集， 所以A中只有一个元素， 若，此时，符合题意； 若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根， 即，即， 综上满足条件的实数组成的集合为. 2．（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 3．写出集合的所有子集. 【解析】集合的子集为B，则， 故所有子集为. 4．已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集． 【解析】由已知， 时，， 时，时，， 时，，， 综上，的所有非空真子集有，，，，，． 题型二：韦恩图及其应用 5．设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是 . 【答案】/ 【解析】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故答案为： 6．（2025·高一·山东济宁·期中）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，解得：或0，故，则是的真子集，故C正确. 故选：C 7．下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图知，集合是由正整数1，2，3，4，5组成的， 故用描述法可表示为. 故选：C 8．（2025·高一·陕西咸阳·开学考试）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】根据题意由可得，即； 解方程可得或，解得或或或， 即可得； 因此可得集合有交集，但没有包含关系. 故选：A 题型三：由集合间的关系求参数的范围 9．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【解析】①当时，恒成立，此时，满足； ②当时，此时，若，则，解得； ③当时，此时，若，则，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 10．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 11．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 12．已知集合，．若，求实数的取值范围． 【解析】因为，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 题型四：集合间的基本关系 13．（多选题）（2025·高一·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 14．（多选题）（2025·高一·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为0是元素，，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：AD 15．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 16．（多选题）（2025·高一·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【解析】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 题型五：判断两集合是否相等 17．已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 故选：C 18．下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得或， 所以，C正确； 选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集， 故选：C 19．下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A选项，，，，故A不正确； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，，，，故C不正确； 对于D选项，与中的元素不同，，故D不正确. 故选：B. 题型六：根据两集合相等求参数 20．若集合与集合相等，则实数 . 【答案】或 【解析】因为集合与集合相等， 所以当时，，则，符合题意； 当时，，则，符合题意. 故或. 故答案为：或. 21．已知集合，若，则 . 【答案】/ 【解析】由于，所以. 故答案为： 22．设集合，若，则 ． 【答案】 【解析】因为集合，即集合， 所以若， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 23．已知，，若集合，，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 又，， 所以，且，即且， 所以， 所以，又， 所以， 故. 故答案为：. 题型七：空集的性质 24．（多选题）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【解析】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 25．（多选题）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】CD 【解析】不含有任何元素的集合是空集，所以A错误； 任一集合是它自身的子集，即，所以B错误； 集合有一个元素为，即，所以C正确； 空集任何集合的子集，所以，即D正确. 故选：CD 26．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为不是中的元素，故错误; 元素与集合之间的关系是属于关系,则正确; 空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确; 集合相等是元素一样,则错误. 故选:BC. 27．（多选题）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 题型八：补集及其运算 28．（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 又，所以. 故选：D 29．（2025·高一·湖北·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， . 故选：B. 30．已知集合，，若为非空集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因为，所以的取值范围为．. 故选：B 31．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 故选：B． 1．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【解析】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 2．（2025·高一·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【解析】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 3．（2025·高一·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【解析】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 4．对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【解析】因为，则， 又因为，由题意可知：集合B至少有2个元素， 若集合B有2个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有3个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有4个元素，则集合B可以为，共1个； 若集合B有5个元素，则集合B可以为，共1个； 综上所述：集合的“稳定子集”有个. 故选：B. 5．集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A 6．已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 7．若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 8．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 9．若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 10．已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 11．（多选题）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．若，则存在，满足 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】ABC 【解析】A选项：当，时，，又，，所以，故A正确； B选项：，和同奇或同偶， 当同奇时，为奇数，为偶数； 当同偶时，能被4整除，但不一定能被4整除，所以存在，满足，故B正确； C选项：设，，则，故C正确； D选项：，故D错. 故选：ABC. 12．（多选题）（2025·高一·广东广州·期中）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】BC 【解析】对选项A，由不是的元素，故A错误； 对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故⫋，B正确； 对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确； 对选项D，由不是的元素，D错误. 故选：BC. 13．（多选题）（2025·高一·广东·期中）如下四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】元素与集合的关系以及集合间的基本关系可知 正确，错误，正确，错误， 故选：AC. 14．（多选题）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【解析】当时，不成立，，满足. 当时，， 当时，， 当时，， 综上得，的所有可能取值为. 故选：BCD. 15．（多选题）对于集合，则下面结论正确有（   ） A．如果，那么； B．如果，，那么； C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】AC 【解析】对于A：因为，，所以，故，故A正确； 对于B：因为，，所以c为偶数，且不能被4整除， 若，则存在，使得，，， 因为和同奇或同偶，若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故B不正确； 对于C：因为，，所以存在，使得，， 所以 ， 因为，，所以，故C正确． 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 16．（2025·高一·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【解析】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 17．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 【答案】32 【解析】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 18．设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 【答案】8 【解析】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 19．（2025·高一·安徽·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【解析】（1）①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． （2）因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 20．已知全集，， (1)设实数x的取值构成集合M，求； (2)当时，求实数x的值. 【解析】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数x的取值的集合； 所以 （2）根据集合相等的定义， 当时可得或； 当时，解得， 当时，无解, 所以 21．设，若，则称集合为集合的元“好集”. (1)写出实数集上的一个二元“好集”； (2)是否存在正整数集的二元“好集”？说明理由. 【解析】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾， 所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. 22．已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由. 【解析】（1）若，有，由，则， 满足，集合是的恰当子集； （2）（）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 23．（2025·高一·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【解析】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$