第05讲 二次函数与实际应用（1知识点+10考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第05讲 二次函数与实际应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10 大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.建立二次函数模型，利用二次函数的最值解决实际问题； 2.通过建立二次函数模型，解决与图形有关的最值问题 知识点 1 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 1．（2024·山西朔州·模拟预测）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ． 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    4．（21-22九年级上·河北保定·期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元． 第x天 售价（元/件） 日销售量件 （1）y与x的函数解析式为 ； （2）日销售的最大利润为 元． 5．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 6．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 考点一： 销售问题 1．（2025·山东青岛·一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为 ． 2．（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为______件； (2)为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ (3)设商场每天盈利为元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？ 考点二： 行程问题 1．（2025·天津·一模）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论：①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于；②的最大值是；③汽车刹车后到停下来等于．其中，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离S（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为 秒． 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是，． (1)直接写出小球的初始速度：______． (2)已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． (3)设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 考点三： 拱桥问题 1．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 2．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 3．（2025·陕西汉中·二模）毛乌素沙漠是中国四大沙地之一，位于陕西省榆林市长城一线以北，如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排柠条（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 考点四： 喷水问题 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m． 3．（2025·河南驻马店·二模）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 考点五： 增长率问题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 考点六： 投球问题 1．（2025·甘肃酒泉·二模）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球 （能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 3．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 考点七： 隧道问题 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为 ． 3．（2025·湖北襄阳·三模）如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式． (2)若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ (3)若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 考点八： 几何图形问题 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 2．（2025·江苏徐州·一模）小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ． 3．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． (2)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 考点九： 动点问题 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？ (3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由． (4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______． 考点十： 实物模型问题 1．（2025·贵州六盘水·二模）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 3．（2025·河南洛阳·三模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 1．（2025·江苏南通·二模）如果把小球从地面以的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为．根据该物理规律，下列对方程的两根，的解释正确的是（   ） A．小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 B．小球经过的时间约离地面的高度为，并将继续上升 C．小球离地面的高度为时，经过的时间约为 D．小球经过的时间约离地面的高度为 2．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论：①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元；③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 8．（2025·山西·三模）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：，若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 9．（2025·甘肃白银·二模）兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当汤面的最大竖直高度为时，碗中汤面的水平宽度为 ．（碗的厚度不计） 10．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 11．（2025·安徽滁州·一模）如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为 米． 12．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 13．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 14．（24-25九年级上·重庆南川·期末）某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 15．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 16．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 17．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 18．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与实际应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10 大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.建立二次函数模型，利用二次函数的最值解决实际问题； 2.通过建立二次函数模型，解决与图形有关的最值问题 知识点 1 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 1．（2024·山西朔州·模拟预测）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设函数表达式为， ∵ 设点 ∵当水位上升5米时，则水面宽米 ∴ 把，分别代入 得出 解得 ∴函数表达式为， 故选：B． 2．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知花圃的长为， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键． 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 4．（21-22九年级上·河北保定·期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元． 第x天 售价（元/件） 日销售量件 （1）y与x的函数解析式为 ； （2）日销售的最大利润为 元． 【答案】 2450 【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解； （2）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意，得， 即 ． 故答案为：； （2）， 当x=15时，y有最大值，最大值为2450， 即当x=15时，日销售利润有最大值为2450元． 故答案为：2450． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握销售问题的关系：销售利润=单件利润×销售量是解题的关键． 5．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 6．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 考点一： 销售问题 1．（2025·山东青岛·一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用利润问题，解题的关键是找到等量关系． 根据利润利润单价数量即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 2．（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质是解题的关键． （）设每箱石榴降价元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于列出方程，求出解即可； （）设利润为，即可得出关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）设每箱石榴降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或； （）设利润为， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润有最大值，为元， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为______件； (2)为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ (3)设商场每天盈利为元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？ 【答案】(1)32 (2)每件商品应降价元 (3)当每件商品降价元时，商场每天盈利最多，最多是元 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数解应用题，读懂题意，找准等量关系或函数关系，得到方程或表达式求解即可得到答案．读懂题意，掌握一元二次方程解法、二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元，列一元二次方程求解即可得到答案； （3）设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元，得到，由二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】（1）解：平均每天可售出20件，单价每降低1元，平均每天可多售出2件， 若降价6元，则平均每天销售数量为32件， 故答案为：32； （2）解：设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元， ， 则， ， 解得或， 为尽快减少库存， 取， 答：每件商品应降价元； （3）解：设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元， ， ， 抛物线开口向下，当时，商场每天盈利最多，最多是元． 考点二： 行程问题 1．（2025·天津·一模）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论：①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于；②的最大值是；③汽车刹车后到停下来等于．其中，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式，可得或，即可判断①；把二次函数转化为顶点式，即可判断②和③，综上即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 解得或， ∴汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于，故①正确； ∵， ∴的最大值是，故②正确； ∵当时，的最大值是， 即汽车刹车后到停下来等于，故③错误； 综上，正确的结论有个， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离S（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为 秒． 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解飞机停止时滑行距离达到最大值，此时对应的时间即为滑行总时间． 根据二次函数的性质，当函数取得最大值时，飞机停止滑行，从而求出滑行时间． 【详解】对于二次函数，因为二次项系数，所以该函数图象开口向下，函数有最大值． 根据二次函数顶点式，当时，有最值． 在函数中，当时，取得最大值450，即飞机滑行15秒时停止． 故答案为：15． 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是，． (1)直接写出小球的初始速度：______． (2)已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． (3)设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 【分析】（）把代入函数式计算即可求解； （）求出时的速度，即可得小球的平均速度，进而即可求解； （）用表示出平均速度，根据可得函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴小球的初始速度， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴小球的平均速度， ∴小球向前滚动的运动路程为； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 考点三： 拱桥问题 1．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 【答案】20 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面的宽． 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：20． 3．（2025·陕西汉中·二模）毛乌素沙漠是中国四大沙地之一，位于陕西省榆林市长城一线以北，如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排柠条（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等． （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线状沙丘的函数表达式为． （2）解：令，得， 解得，， ∴，， ∴M、N两点之间的距离为． 考点四： 喷水问题 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由函数解析式可得抛物线的对称轴为，解得，进而得到抛物线解析式为，然后说明喷头A的高度为c；由线段表示水池的宽于再根据米可得，则抛物线过点时喷头A的高度最大，然后将代入抛物线解析式求得c的值即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，解得：， ∴， 当时，，即喷头A的高度为c， ∵米， ∴， ∴当抛物线过点时，喷头A的高度最大， ∴，解得：， ∴喷头A的最大高度为4米． 故答案为4． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m． 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知易得：N点的坐标为和M点的坐标为，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由二次函数的图象可知， 当时，， 故N点的坐标为； ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴M点的坐标为， ∴之间的距离为． 故答案为：10． 3．（2025·河南驻马店·二模）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）将代入，求出相应的a的值即可； （）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得． 答：喷水管要降低的高度为． 考点五： 增长率问题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 考点六： 投球问题 1．（2025·甘肃酒泉·二模）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球 （能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 【答案】不能 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，由时，求出y的值可以判断得解 【详解】解：当时，， 所以，球不能射进球门． 故答案为：不能． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 【答案】7 【分析】本题考查二次函数的应用，令，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，令，则， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即此时羽毛球飞行到与点的水平距离是， 故答案为：7． 3．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 考点七： 隧道问题 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 【答案】40 【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，则可知点、的横坐标，从而可得的长． 【详解】 解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， 米， 故答案为：40． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴， 把代入， 解得， 两壁灯之间的距离为， 故答案为：． 3．（2025·湖北襄阳·三模）如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式． (2)若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ (3)若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 【答案】(1)； (2)这辆货车能安全通过． (3)，时的最大安全限高h为米． 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）易得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点C的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）判断出货车最左端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，得到y的值，与5比较即可得到能否安全通过； （3）用含d的代数式判断出货车最右端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，可得h与d的关系式，取，可得h的值． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：这辆货车能安全通过． 理由：∵隧道为单向行车道，货车宽为, ∴货车最左端的点的横坐标为：， 当时，， ∴这辆货车能安全通过； （3）解：由题意得：货车最右端的点的横坐标为：, ∴， 当时，． 答：，时的最大安全限高h为米． 考点八： 几何图形问题 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 【答案】48 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设宽为x米，则长为米， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值， 即该羊圈最大面积可以建造， 故答案为：48． 2．（2025·江苏徐州·一模）小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题．设的长度为，可得，根据二次函数的性质可得：正方形纸片的面积最小，则的长为． 【详解】解：设的长度为， 则， 四个直角三角形全等， ， ， 又， ， 整理得：， ， 当时，正方形纸片的面积最小， 正方形纸片的面积最小，则的长为． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． (2)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)（） (2)； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长大于0，围墙的长度为21米，求出的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ∵， ∴． （2）， 当时，有最大值，最大值为， 即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是． 考点九： 动点问题 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，设运动时间为，则，，，，然后用面积公式得出二次函数解析式，最后利用性质即可求解，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？ (3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由． (4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______． 【答案】(1)2或3秒 (2)3秒 (3)不能，理由见解析 (4)， 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用． （1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可； （2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可； （3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分； （4）根据题意求出，根据配方法求得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设运动t秒后的面积等于， 根据题意，知，， 根据三角形的面积公式，得， 则，即， 解得或3， 故2或3秒后，的面积等于； （2）根据勾股定理，得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴． 故3秒后，的长度等于； （3）不能，理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ． 故线段不能把分成面积相等的两部分； （4）设运动时间为t秒，根据题意，知，， ∵， ∴时，S有最小值，最小值为， 故答案为：， 考点十： 实物模型问题 1．（2025·贵州六盘水·二模）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据开口大小，比较大小即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出的坐标，进而求出，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小， ∴， ∵， ∴； （2）由题意，得：，把代入，得：， ∴； （3）当时，解得：， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 当时，解得：或； ∴加固点的坐标为，． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 【答案】(1) (2)罩子下面不能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出该抛物线的顶点坐标，把解析式设为顶点式，再代入原点坐标求解即可； （2）将代入（1）中的抛物线，求出的值，然后即可判断罩子内一排能否放下2个这样的盘子． 【详解】（1）解：∵宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米， ∴点M的坐标为， 设抛物线解析式为, 把原点坐标代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时， 解得或， ∴， ∵， ∴， ∴罩子下面不能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子。 3．（2025·河南洛阳·三模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 【答案】(1) (2)野兔不能成功越过木桩，野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时，的值，再根据比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后设起跳点向前移动米，新抛物线为：，要求当时，即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ∵， ∴野兔不能成功越过木桩， 设起跳点向前移动米，新抛物线为：， 要求当时，即 化简得：， 解得：， ∴由题意得：野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩； 1．（2025·江苏南通·二模）如果把小球从地面以的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为．根据该物理规律，下列对方程的两根，的解释正确的是（   ） A．小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 B．小球经过的时间约离地面的高度为，并将继续上升 C．小球离地面的高度为时，经过的时间约为 D．小球经过的时间约离地面的高度为 【答案】A 【分析】根据题意，方程的两根，分别表示的是上升 时，距离底面为，且继续上升；下降过程中，时，距离底面为，且继续下降，两次距离地面的时间间隔为，解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确理解方程根的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，方程的两根，分别表示的是上升时，距离底面为，且继续上升；下降过程中，时，距离底面为，且继续下降，两次距离地面的时间间隔为， 故A正确，符合题意； B，C，D都是错误的，不符合题意． 故选：A． 2．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 4．（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【详解】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 5．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用．已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，求当时，的范围，进而即可得到a的值，即可回答问题 【详解】解：设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∵墙的最大长度为， ∴， ∵最大值， ∴，即或（不合题意舍去）， ∴． 故选：A． 8．（2025·山西·三模）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：，若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【详解】解：依题意，当时， 解得： 故答案为： 9．（2025·甘肃白银·二模）兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当汤面的最大竖直高度为时，碗中汤面的水平宽度为 ．（碗的厚度不计） 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键．根据题意，求出抛物线表达式，当汤面的最大竖直高度为时，则令，解答出x的值，即可得出结果 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得， ∴抛物线表达式为， 当汤面的最大竖直高度为时， 令， 解得：， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：20 10．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 11．（2025·安徽滁州·一模）如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为 米． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意，得：， ∵，两盏灯之间的距离为米， ∴点的横坐标为：， 设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴直线与的距离为4； 故答案为：4． 12．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 13．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点到轴的水平距离是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·重庆南川·期末）某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 15．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 16．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 17．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 【答案】(1)22米 (2)雕塑EF的高为米 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； （2）代入x＝10求出y值即可． 【详解】（1）解：当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （2）解：∵，， 当x＝10时，， ∴点F（10，） ∴雕塑EF的高为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$