第08讲 反比例函数与实际问题（1知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第08讲 反比例函数与实际问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解反比例函数在实际问题中的应用. 2.掌握如何根据实际问题建立反比例函数模型. 知识点 1 反比例函数与实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知力F所做的功W为15焦，则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数图象为双曲线．根据，当时，则，再根据反比例函数的图象可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴图象为反比例函数图象，且过第一象限， 故选：D． 2．（2022·山西大同·三模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 3．（21-22九年级下·全国·课前预习）如图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速前进的图象，根据图象提供的信息回答下列问题： (1)这条高速公路全长是多少千米？ (2)写出时间t与速度v之间的函数关系式； (3)如果2 h至3 h到达，轿车的速度在什么范围？ 【答案】(1)300km (2) (3)100≤v≤150 【详解】（1）设s=vt，得有图像得s=150×2=300(km)，即公路的全长为300km. （2）； （3）100至150（千米/小时） 由图象，得当2≤t≤3时，100≤v≤150． 4．（2025·山西临汾·二模）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，“标杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂为，则动力至少需要 ． 【答案】320N 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式， 先设反比例函数关系式，再求出关系式，将代入关系式，求出解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． 当时，（N）， 所以动力至少需要320N． 故答案为：320N． 5．（24-25九年级上·河南许昌·期末）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 考点一： 反比例函数与实际问题 1．（2025·贵州贵阳·一模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1) (2)200度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 2．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； （2）把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式： (2)计算当车速为时视野的度数： (3)若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？ 【答案】(1) (2)40度 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）代入进一步求解即可； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：设f，v之间的关系式为， ∵时，度， ∴， 解得， 所以， （2）当时，（度）． （3）根据题意得：， ∴， ∴车速最多． 4．（2025·吉林延边·二模）某一电路中，保持电压不变，电流与电阻成反比例，当电阻时，电流． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2)50 【分析】本题考查反比例函数知识在物理情境中的应用，解题关键是利用欧姆定律确定电压，进而建立函数关系式并代入求值； （1）可依据反比例函数的定义写出电流I与电阻R的关系式，然后将，代入关系式中,即可得I与R之间的函数关系式; （2）再将电阻的值代入反比例函数求解即得电阻值. 【详解】（1）解：由物理知识可知：R=， 将，代入计算，得 ， 所以I与R之间的函数关系式为. （2）I与R之间的函数关系式是， 将代入中，得． 考点二： 反比例函数与其它函数相结合的实际问题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)个月 (3)个月 【分析】本题考查了反比例函数混合与一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第五个月的利润，然后根据每月的利润比前一个月增加万元，设出函数解析式，根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）把万元代入函数解析式求得的值，由此即可求出机器全部更新后所经过的月数，该厂月利润才能达到去年月的水平； （3）求出机器更新换代期间和机器全部更新后利润为万元的月数，再求出两个月数的差，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即， 当时，，当时，， ； （2）当时，， 解得：， ， 机器全部完成更新个月后，利润达到万元； （3）对于，当时，； 对于，当时，， ， 资金紧张的时间为个月． 2．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____； (2)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (3)求三明治机工作温度在以上持续时间． 【答案】(1)60、140 (2) (3)12分钟 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，从图象获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据图象，列出算式进行计算即可； （2）分和两种情况，待定系数法求出解析式即可； （3）求出反比例函数的解析式，将为，依次代入及中，求出对应的的值，作差即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：60、140； （2）由图象可知：当时，； 当时，设函数解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴； 综上：； （3）当时，设 将代入得： 当机器温度为，依次代入及中，分别解得、 ； 答：三明治机工作温度在以上持续12分钟． 3．（2025·浙江温州·二模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求的值及曲线的函数表达式． (2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把代入函数解析式，求出的值，进而求出点坐标，待定系数法求出曲线的函数表达式即可； （2）求出时的自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设曲线的函数表达式为， 则：， ∴； （2）能，理由如下： 当时，对于，解得：； 对于，解得：， ， ∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题； 4．（24-25八年级下·山西临汾·期中）勤学小组查阅资料得知某型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源开始加热，水温关于通电时间的函数表达式为；水温达到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，函数表达式为．水温降至室温后，饮水机将再次自动加热．根据提供的信息，解答下列问题． (1)饮水机第一次加热过程中，需要多长时间水温达到； (2)饮水机通电时间时是否处于加热状态，水温为多少℃； (3)研究表明水温超过，容易烫伤食道黏膜，长期饮用可能会增加食道癌的发病风险．在饮水机工作的第一个周期内，水温高于的通电时间x的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)饮水机通电时间时，不处于加热状态，水温为 (3) 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，根据数形结合的思想求解； （1）将代入中求解即可； （2）根据第一次加热过程中，需要水温达到，判断为水温开始下降状态，利用反比例函数解析式求解； （3）分别计算出加热和降温时，温度为对应的时间，即可求解． 【详解】（1）解：当时，得，解得：； 故第一次加热过程中，需要水温达到； （2）解：由（1）知，当饮水机通电时间时，水温达到， 故饮水机通电时间时，不处于加热状态， 将代入，水温为； （3）解：当加热时，当时，得，解得：； 当降温时，时，得， 故温高于的通电时间x的取值范围是：， 故答案为：． 考点三： 新情景问题 1．（24-25九年级下·吉林松原·期中）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 【答案】(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 2．（2025·河南·模拟预测）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v（）与t（）之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度； (3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用——区间测速．熟练掌握路程与速度和时间的关系，反比例函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设，运用待定系数法将代入求解即可； （2）将代入，即可求出v； （3）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入， 得， ∴； 答：v与t的函数表达式为； （2）解：20分钟小时， 当时， ． 答：它的平均速度是． （3）解：当时， ， 当时， ． ∴小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围为． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)当时，求与之间的函数表达式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 【答案】(1) (2) (3)本节课讲完这道题不能超过 【分析】主要考查了一次函数和反比例的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （3）分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将代入得， 解得， 当时，与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 设当时，与之间的函数表达式为， 将代入得， 当时，与之间的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ， 答：本节课讲完这道题不能超过． 4．（2025·浙江杭州·一模）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)月利润不高于100万元时共经历4个月 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键； （1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可； （2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点 ∴， ∴反比例函数表达式为； 又当时，， ∴一次函数图象经过点，， 即， ∴， ∴一次函数表达式为； （2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数， ∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份， ∴月利润不高于100万元时共经历4个月． 5．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)； (2)30分钟 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧时y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． （3）解：把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)至少1米 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出点的坐标，得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点坐标，代入关系式可求出，根据可求出的取值范围； （2）把的长代入关系式即可； （3）根据距水面的高度不高于米得出，即可得出的取值范围，进而可得出到的最小距离，可得答案． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为， ∵， ∴， 解得：， ∵出口点到的距离为米， ∴， ∴段所在的反比例函数关系式为； （2）解：∵， 当时，， ∴点到轴的距离长为米； （3）解：∵距水面的高度不高于米， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴到的距离至少米． 考点四： 新考法问题 1．（2025年广东省大湾区万阅联盟中考模拟二数学试卷）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而增大， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 2．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（） … 10 12 15 20 30 … 速度v（） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)v与W成反比例函数关系， (3)此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意，由8 分钟内将货物运送至 2400 米，从而（米／秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， 设，代入得：， ， 代入上式，均符合． ． （3）解：由题意，∵分钟内将货物运送至 2400 米， ∴， ， 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）本学期，我校深入贯彻落实“专项行动”，全面实行阳光大课间制度．某天初二（1）班的同学们需要到西合班教室上活动课，生活委员小明查阅资料得知西合班教室饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，待加热到，饮水机自动停止加热（此过程中水温与开机时间成一次函数关系），水温开始下降，直至降至室温（此过程中水温与开机时间成反比例函数关系），饮水机再次自动加热，重复上述过程．图1是我校的部分作息时间表，图2是饮水机工作过程中水温与通电时间的函数图像，根据图表中的信息，解答问题． (1)分别求出第一次水温上升和下降过程中y与x的函数表达式； (2)如果当天小明在8：40第一次打开饮水机（此时，饮水机中水的温度为20℃），同学们在大课间（9：35－10：05）内共有多长时间能喝到不超过50℃的温开水，请直接写出答案． 【答案】(1)， (2)15分钟 【分析】本题主要考查了求一次函数、反比例函数解析式、反比例函数的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先运用待定系数法求得第一次水温上升的一次函数解析式和下降过程的反比例函数表达式即可； （2）先求出点C的坐标，可得每次从加热和降温所用的时间，进而发现50分钟一个加热和降温循环出现，然后求得（9：35－10：05）的对应第一次水温上升和下降过程中的函数段，然后让函数值小于等于50，然后根据函数图象列式计算即可． 【详解】（1）解：如图：， 设第一次水温上升过程中y与x的函数表达式为， 则，解得：， 所以第一次水温上升过程中y与x的函数表达式为； 设第一次水温下降过程中y与x的函数表达式为， 将代入可得：，解得：， ∴， ∴点， ∴第一次水温下降过程中y与x的函数表达式为． （2）解：如图：可知：点D和点E之间为大课间时间段，且点D的横坐标为55，点E的横坐标为85，则它们对应第一次水温上升和下降过程中的点F，点G，点F的横坐标为5，点G的横坐标为35， ∴，， 由图象可知：,每50分钟一个加热和降温循环， 所以如图：点H、I的纵坐标为50，则，， ∴同学们在大课间（9：35－10：05）内共有多长时间能喝到不超过50℃的温开水的时间为：分钟． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 考点五： 跨学科问题 1．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度ρ（单位：)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：)与液体中的密度ρ的关系式为，橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多． (1)当密度计悬浮在一种液体中时，，该液体的密度ρ为 ； (2)求水的密度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）把代入，求得，于是得到结论； （2）设密度计浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为，根据“橘子汁的密度是水的密度的倍”得关于x的分式方程，列式计算进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 即该液体的密度ρ为， 故答案为：； （2）解：设密度计悬浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为， ∵橘子汁的密度是水的密度的倍， ∴， 解得， ∴水的密度为． 答：水的密度为． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）： … … … … (1)　　，　　； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是　　． (3)请结合函数图象分析，当时，的解集为　　． 【答案】(1)， (2)①图见解析；②不断减小 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解； （2）①利用描点法，画出图象即可；②根据函数的图象，即可求解； （3）作函数的图象，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ，， ，， 故本题答案为：，； （2）①根据表格数据描点：，，，，， 在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知：随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图， 由函数图象知：当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 3．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 【分析】本题考查了反比例函数的应用； 任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解； 任务2：压强，即可求解； 任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解． 【详解】解：任务1：依题意， 任务2：依题意， 任务3：∵随的增大而减小， ∴当时， ∵. ∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 4．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)反比例函数关系， (2) 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值， ∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系， 设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设，图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式； （2）再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的ρ值． 【详解】（1）设，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，． 考点六： 反比例函数与几何图形综合 1．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质，掌握反比例函数关于原点对称的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）由得到点的纵坐标为，代入到得出点的坐标，进而得出点的坐标，计算得出正方形的面积，再根据反比例函数关于原点对称的性质，可得阴影部分的面积正好是正方形面积的，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，， 点的纵坐标为， 代入到，则，解得， ， ，则， 正方形的面积为， 反比例函数的图象关于原点对称， 阴影部分的面积正好是正方形面积的， 阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积为25． 2．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，顶点在第一象限，．反比例函数的图象与分别交于点．过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象的对称性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）确定反比例函数图象关于对称，则利用即可求解． 【详解】（1）解， 轴， 点的纵坐标为4，即， ．             将代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：在等腰直角三角形中，， ， ．             轴，， 点的横坐标为4． 将代入，得， ， ．         又， 点C，E关于直线对称．         又反比例函数的图象关于直线对称， ． 3．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，可得直线的解析式为，点的坐标为，，结合图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为， ； （2）解：由（1）可得，， 如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点， 设直线的解析式为， 将点代入得：，， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， ， 的面积为：． 4．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，的坐标为； (2)的面积为； (3)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意先求点的坐标代入即可求的值，进一步通过联立直线和反比例函数的方程即可求点的坐标； （2）由题意设直线与轴交于点，与轴交于点，再根据三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积进行计算即可； （3）由直线与反比例函数的图象可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：点的横坐标为1，且点在直线上， 点的坐标为， 又点也在反比例函数上， 联立直线和反比例函数， 解得，所以点的坐标为； （2）设直线与轴交于点，与轴交于点， 可得点的坐标为，点的坐标为， 三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积， 即； （3）由直线与反比例函数的图象可知， 关于的解集为：或． 1．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的运用，理解题意，掌握反比例函数图形的性质是关键． 根据反比例函数图象的性质判定即可． 【详解】解：A、如图所示， 频率相同时，均为，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，故原选项错误，不符合题意； C、如图所示， 长度相同时，均为，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，故原选项错误，不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越小，故选项错误，不符合题意； 故选：A ． 2．（2025·河南洛阳·三模）交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其中R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，为定值电阻，电源电压U不变．闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（    ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和． 3．该电路中的电流 A．气敏电阻R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大 C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象中获取信息，反比例函数的实际应用，根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断即可，熟练根据图象得出信息是解题的关键． 【详解】解：由图（2）可知，当酒精气体浓度增大时，气敏电阻R的阻值减小，故选项A错误； 根据串联电路电阻特点，总电阻，R减小，减小，故选项B错误； 由可知，电路中的电流I增大，即电流表的示数增大，故选项C错误； 电压表测两端电压，，I增大，不变，所以增大，即电压表的示数增大，故选项D正确． 故选：D． 3．（2025·河南郑州·二模）随着科学技术的发展，汽车也越来越智能化，如图1，汽车抬头显示系统利用平面镜成像原 理，将显示器上的重要行车数据投射在驾驶员前面的挡风玻璃上．这种车窗所采用的“智能玻璃”能根据车外光照度自动调节透明度，使得投射影像的亮度保持一个适宜的定值，经测算，玻璃的透明度m和车外光照度x（）  成反比例关系，其图象如图2所示，则下列说法中正确的是 （    ）                                                            A．车外光照度越大，玻璃的透明度越高 B．车外光照度为时，玻璃的透明度最低 C．玻璃的透明度m与车外光照度x 满足关系式： D．玻璃的透明度为时，车外光照度为 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用；根据图象求出玻璃的透明度与车外光照度的函数关系式，再结合图象分析即可． 【详解】解：设玻璃的透明度与车外光照度满足关系式， 把代入得， ， ∴车外光照度越大，玻璃的透明度越低，故A错误； 当时，， ∴车外光照度为时，玻璃的透明度不是最低，故B错误； 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式，故C错误； 当时，， ∴玻璃的透明度为时，车外光照度为，故D正确； 故选：D． 4．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间； D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可． 【详解】解：水温从加热到，需要的时间为， ∴A正确，不符合题意； 设水温上升过程中，y与x的函数关系式是， 将坐标，代入， 得， 解得， ∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是， ∴B正确，不符合题意； 当时，当时，得， 解得， 当时，当时，得， 解得， ， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为， ∴C正确，不符合题意； 当时，得， 解得， ∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为， 上午10点到共90分钟，则（分钟）， 当时，得， ∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 5．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式. 根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可． 【详解】解：根据杠杆原理可得，， ， 是的反比例函数， 选项、不符合题意； ，， 选项不符合题意；选项符合题意； 故选：． 6．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一三象限的角平分线上， ∵四边形是菱形， ∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点， 联立，解得：或， ∴点的坐标可以为； 故选C． 7．（2025·浙江绍兴·二模）已知反比例函数，第一象限有一点，过向坐标轴作垂线，分别交轴，轴于A，点，分别交反比例函数于，点，若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例与几何的综合、矩形的判定与性质等知识点，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 设D的坐标为，由题意可知，则C点坐标为，由于C点和D点都在反比例函数上，即可求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：设D的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直于y轴，垂直于x轴， ∴四边形为矩形，即， ∴则C点坐标为， ∵C点和D点都在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2025·湖南邵阳·三模）已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据已知求出常数，再求出时，的值即可． 【详解】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为， ∴， ∴当时，， 故答案为：15． 9．（2025八年级下·浙江·专题练习）数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用．将直接代入计算即可求解． 【详解】解：将代入得， 他会走出的圈子的半径约为． 故答案为：7． 10．（2025·广东深圳·二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 根据题意得到，当时，，得到小孔到蜡烛的距离至多是，即可得到答案． 【详解】解： 根据函数图象得， ， 当时，， 小孔到蜡烛的距离至多是， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．延长交轴于点，利用菱形的性质可得，，进而可得，利用勾股定理求出，得到点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 四边形是菱形， ，， ， 点的坐标为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2025·贵州毕节·二模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 13．（2025·浙江杭州·一模）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，木板面积（单位：）与人和木板对地面的压强（单位：）成反比例．当木板面积为时，人和木板对地面的压强为． (1)求关于的函数表达式； (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用： （1）设关于的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式即可； （3）把，代入（1）中解析式，可得，再根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：当时， ． （3）解：木板面积至少要，理由如下： 当时，， ． ∴在第一象限内随的增大而减小， ∴当时，， 即要求压强不超过，木板面积至少要． 14．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 反比例函数与实际问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解反比例函数在实际问题中的应用. 2.掌握如何根据实际问题建立反比例函数模型. 知识点 1 反比例函数与实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知力F所做的功W为15焦，则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   2．（2022·山西大同·三模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 3．（21-22九年级下·全国·课前预习）如图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速前进的图象，根据图象提供的信息回答下列问题： (1)这条高速公路全长是多少千米？ (2)写出时间t与速度v之间的函数关系式； (3)如果2 h至3 h到达，轿车的速度在什么范围？ 4．（2025·山西临汾·二模）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，“标杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂为，则动力至少需要 ． 5．（24-25九年级上·河南许昌·期末）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 考点一： 反比例函数与实际问题 1．（2025·贵州贵阳·一模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 2．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式： (2)计算当车速为时视野的度数： (3)若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？ 4．（2025·吉林延边·二模）某一电路中，保持电压不变，电流与电阻成反比例，当电阻时，电流． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流时，求电阻R的值． 考点二： 反比例函数与其它函数相结合的实际问题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 2．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____； (2)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (3)求三明治机工作温度在以上持续时间． 3．（2025·浙江温州·二模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求的值及曲线的函数表达式． (2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 4．（24-25八年级下·山西临汾·期中）勤学小组查阅资料得知某型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源开始加热，水温关于通电时间的函数表达式为；水温达到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，函数表达式为．水温降至室温后，饮水机将再次自动加热．根据提供的信息，解答下列问题． (1)饮水机第一次加热过程中，需要多长时间水温达到； (2)饮水机通电时间时是否处于加热状态，水温为多少℃； (3)研究表明水温超过，容易烫伤食道黏膜，长期饮用可能会增加食道癌的发病风险．在饮水机工作的第一个周期内，水温高于的通电时间x的取值范围是___________． 考点三： 新情景问题 1．（24-25九年级下·吉林松原·期中）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 2．（2025·河南·模拟预测）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v（）与t（）之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度； (3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)当时，求与之间的函数表达式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 4．（2025·浙江杭州·一模）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 5．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 考点四： 新考法问题 1．（2025年广东省大湾区万阅联盟中考模拟二数学试卷）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 2．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（） … 10 12 15 20 30 … 速度v（） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）本学期，我校深入贯彻落实“专项行动”，全面实行阳光大课间制度．某天初二（1）班的同学们需要到西合班教室上活动课，生活委员小明查阅资料得知西合班教室饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，待加热到，饮水机自动停止加热（此过程中水温与开机时间成一次函数关系），水温开始下降，直至降至室温（此过程中水温与开机时间成反比例函数关系），饮水机再次自动加热，重复上述过程．图1是我校的部分作息时间表，图2是饮水机工作过程中水温与通电时间的函数图像，根据图表中的信息，解答问题． (1)分别求出第一次水温上升和下降过程中y与x的函数表达式； (2)如果当天小明在8：40第一次打开饮水机（此时，饮水机中水的温度为20℃），同学们在大课间（9：35－10：05）内共有多长时间能喝到不超过50℃的温开水，请直接写出答案． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 考点五： 跨学科问题 1．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度ρ（单位：)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：)与液体中的密度ρ的关系式为，橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多． (1)当密度计悬浮在一种液体中时，，该液体的密度ρ为 ； (2)求水的密度． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）： … … … … (1)　　，　　； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是　　． (3)请结合函数图象分析，当时，的解集为　　． 3．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 4．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设，图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 考点六： 反比例函数与几何图形综合 1．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 2．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，顶点在第一象限，．反比例函数的图象与分别交于点．过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积． 4．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 1．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 2．（2025·河南洛阳·三模）交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其中R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，为定值电阻，电源电压U不变．闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（    ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和． 3．该电路中的电流 A．气敏电阻R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大 C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框 3．（2025·河南郑州·二模）随着科学技术的发展，汽车也越来越智能化，如图1，汽车抬头显示系统利用平面镜成像原 理，将显示器上的重要行车数据投射在驾驶员前面的挡风玻璃上．这种车窗所采用的“智能玻璃”能根据车外光照度自动调节透明度，使得投射影像的亮度保持一个适宜的定值，经测算，玻璃的透明度m和车外光照度x（）  成反比例关系，其图象如图2所示，则下列说法中正确的是 （    ）                                                            A．车外光照度越大，玻璃的透明度越高 B．车外光照度为时，玻璃的透明度最低 C．玻璃的透明度m与车外光照度x 满足关系式： D．玻璃的透明度为时，车外光照度为 4．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 5．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 6．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江绍兴·二模）已知反比例函数，第一象限有一点，过向坐标轴作垂线，分别交轴，轴于A，点，分别交反比例函数于，点，若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·湖南邵阳·三模）已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为 ． 9．（2025八年级下·浙江·专题练习）数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为 ． 10．（2025·广东深圳·二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是 ． 11．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为 ． 12．（2025·贵州毕节·二模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 13．（2025·浙江杭州·一模）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，木板面积（单位：）与人和木板对地面的压强（单位：）成反比例．当木板面积为时，人和木板对地面的压强为． (1)求关于的函数表达式； (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？请说明理由． 14．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$