第05讲 反比例函数的图象与性质（6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学沪科版

第05讲 反比例函数的图象与性质（6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据反比例函数的定义求参数 典型例题二 由反比例函数值求自变量 典型例题三 已知反比例函数的图象，判断其解析式 典型例题四 比较反比例函数值或自变量的大小 典型例题五 已知反比例函数的增减性求参数 典型例题六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 典型例题七 已知双曲线分布的象限，求参数范围 典型例题八 求反比例函数解析式 典型例题九 一次函数与反比例函数的交点问题 典型例题十 反比例函数、二次函数图象综合判断 典型例题十一 一次函数与反比例函数的综合实际应用 典型例题十二 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 知识点01 反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽宣城·期中）下列点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的特点，先得出反比例函数，然后一一计算并判断即可． 【详解】解：根据反比例函数，则反比例函数中， ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； ．，该点在反比例函数图像上，故该选项符合题意； ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（2025·安徽·模拟预测）“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（    ） A．x，y互为倒数，c，d互为相反数 B．， C．点在双曲线上，点在直线上 D．， 【答案】C 【分析】此题考查了代数式求值．熟练掌握相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，是解题的关键． 根据相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，逐一判断即得． 【详解】解：A. ∵x，y互为倒数，c，d互为相反数，∴； B. ∵，，∴； C. ∵点在双曲线上，点在直线上，∴； D. ∵，，∴． 故选：C． 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 【即时训练】 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 知识点03 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）若双曲线图象的一支位于第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握系数与图象的关系是解题关键．由反比例函数图象过第二象限可知，，即可求出的取值范围． 【详解】解：双曲线图象的一支位于第二象限， ， ， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴与点C，与反比例函数的图象在第一象限内相交于A，B两点，延长交该反比例函数图象的另一分支于点D，连接．若，的面积为32，则k的值为（    ）    A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质，过点作轴于，过点作轴于，连接，根据反比例函数的对称性得，进而得，求得，利用相似三角形的判定及性质得，设，，根据反比例函数的几何意义得，可得，根据梯形的面积公式即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，连接，如图：    由反比例函数的中心对称性可知，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 设，， ， ， 即：， ， 解得：， 故选C． 知识点04 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 【即时训练】 1．（2025·安徽六安·模拟预测）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； B、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误； C、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确； D、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·蚌埠·期末）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ， ， ， 由图象可得：若，则的取值范围是或， 故选：C． 知识点05 反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【即时训练】 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于关于原点对称；当时，y随x的增大而减小，得用排除法求解． 【详解】解：∵点，， ∴B与C关于原点对称， 即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不符合题意； ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可． 【详解】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，而的顶点坐标为(-1,-1), 只有选项D的顶点符合要求， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键． 知识点06 一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 【即时训练】 1．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题．根据一次函数与反比例函数交点确定方程的解即可． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴点的横坐标为， ∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为， ∴关于方程的解是， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限． 【详解】解：A、双曲线经过第一、三象限，则．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项正确． B、双曲线经过第一、三象限，则．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误． C、双曲线经过第二、四象限，则．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误． D、双曲线经过第二、四象限，则．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误． 故选：A． 【典型例题一 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值． 【详解】解：点在双曲线上，， A，，不在此双曲线上； B，，在此双曲线上； C，，不在此双曲线上； D，，不在此双曲线上； 故选B． 【例2】（2025·安徽合肥模拟预测）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，）．若某一振动频率f为260赫兹，长度l为0.5米，则k的值为 ． 【答案】130 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：∵，当f为260赫兹，长度l为0.5米， ∴； 故答案为：130． 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知是反比例函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式． 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可． 【详解】∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小， ∴1−k>0， 解得k<1. 故选A. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值. 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）填空： （1）若是反比例函数，则 ； （2）若是反比例函数，则a的值为 ； （3）已知函数，当时，，则函数表达式是 ； （4）若y是x的反比例函数，且时，，则y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 0 1 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数的定义列方程即可得到结论； （2）根据反比例函数的定义列方程即可得到结论； （3）待定系数法即可得到结论； （4）待定系数法即可得到结论． 【详解】解：（1）∵是反比例函数， ∴， 解得，， 故答案为：0； （2）∵是反比例函数， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）把，代入得，， ∴， ∴函数表达式是； 故答案为：； （4）设， ∵时，， ∴， ∴y与x之间的函数表达式是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（4，），点B在轴的负半轴上，AB交轴于点C，C为线段AB的中点． （1）求的值和点C的坐标； （2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥轴，交反比例函数图象于点E，交轴于点F．求当△ODE面积为6时，点E的坐标． 【答案】（1），C（2，0）；（2）点E的坐标为（2，6）． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标； （2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A（4，）点， ∴，即， 过点A作轴的垂线，垂足为G， 则有∠AGC=∠BOC=90°，OG=4， ∵点C是AB的中点， ∴AC=BC， 又∵∠ACG=∠BCO， ∴△ACG≌△BCO， ∴OC=CG=2， ∴C（2，0）； （2）由（1）知△ACG≌△BCO， ∴OB=AG=3， ∴B（0，-3）， 设直线BA的解析式为， ∵A（4，），B（0，-3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为， 令点E（，），则点D为（，）， ∴， 整理，得， ∴，(舍去) 所以，点E的坐标为（2，6）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程的应用，根据三角形面积得到一元二次方程是解题的关键． 【典型例题二 由反比例函数值求自变量】 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【例2】（2025·安徽宣城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．把各点代入反比例函数的解析式，进而可得出结论． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上， ，， ， ． 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控制电流的变化实现亮度的调节．该台灯工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）设，代入即可求出； （2）将和分别代入（1）中反比例解析式求出的值，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设由函数图象可知，其经过点． 把代入，得，解得． ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时，，解得． 当时，，解得． 所以该台灯的电阻的取值范围是． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图像经过点和点． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点仍落在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为6 【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平移的性质和解一元二次方程， （1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，将点代入即可求得a； （2）根据平移的性质得到平移后点的坐标，再将点代入反比例函数解一元二次方程即可求的m． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， 点的坐标为． （2）解：将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 则所得点的坐标为． 将点代入，得， 解得（舍），或． 故的值为6 【典型例题三 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例1】 （24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【例2】 （2025·安徽·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【详解】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为，据此即可得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图像在第二、四象限， ， 又轴于点M，且的面积为4， ， ， 反比例函数的解析式为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【答案】(1)第四象限； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以即可求解； （2）由一次函数可求出，利用△AOB的面积求出点的纵坐标，再由一次函数可求得点，则，解此方程求出n即可． 【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限； 由图知，解得． （2）过作轴的垂线，垂足为，如图． 在中，令，则， 解得： 即． 由得， ∴， 即A点的纵坐标为． 将代入，求得， 即． ∴ ∴． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． (1)求k的值； (2)若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 【答案】(1)-4 (2)yx+1 【分析】（1）求得线段AB的中点D的坐标，再利用待定系数法求k的值； （2）先求得点E坐标，然后根据题意求得点F坐标，利用待定系数法求直线EF的解析式． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为（4，﹣2），AB的中点为D， ∴D（2，﹣2）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D， ∴k＝2×（﹣2）＝﹣4， 故k的值为﹣4； （2）解：由（1）可得， 把x＝4代入y得，y＝﹣1， ∴E（4，﹣1）， 连接AF，设F（m，0）， 则OF＝m，CF＝4﹣m， ∴S△AOFOF•OAm， S△CEF（4﹣m）×1＝2m， ∵S梯形OAEC（1+2）×4＝6，△AFE的面积为3， ∴S△AFE＝S梯形OAEC﹣S△AOF﹣S△CEF＝6﹣m﹣（2m）＝3， 解得m＝2， ∴F（2，0）， 设直线EF的解析式为y＝ax+b， 把E（4，﹣1），F（2，0）代入 得， 解得， ∴直线EF的函数表达式为yx+1． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，求得E、F的坐标是解题关键． 【典型例题四 比较反比例函数值或自变量的大小 】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 点位于第一象限，点位于第三象限， ； 当时，， 点，位于第一象限， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； B、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ，， 点，位于第三象限， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； C、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 当时，， 点位于第四象限，点位于第二象限， ， 当时，， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； D、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ， ，正确，此选项符合题意． 故选：D． 【例2】 （2025·安徽安庆·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵反比例函数的图象经过点，，， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）若点、、都在反比例函数的图像上，判断a、b、c有怎样的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先判断出反比例函数图象在第二、四象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而增大判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、， ∴A，B在第二象限， ∵， ∴， ∵在第四象限， ∴， ∴． 即a、b、c的大小关系为． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而减小，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断. 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确； 当时，，，此时点A在第三象限，点B在第一象限，，故B正确； 当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确； 当时，，，此时点A在第一象限，点B在第三象限，， 故D不正确； 故选：B 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）点都在反比例函数的图象上，若，则 0．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得反比例函数的解析式是． 由反比例函数的性质，得点也在反比例函数的图象上． 当时，随的增大而减小． 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：>． 3．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）已知反比例函数的图象经过点，若，是这个反比例函数图象上的两个点，请比较，的大小． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，解题的关键是正确掌握反比例函数的图象与性质．利用待定系数法先求出值，再根据反比例函数的图象与性质求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数过二、四象限，且在各自象限内随着的增大而增大， ， ． 4．（2025·安徽·模拟预测）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （）根据“纵横差”的定义求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 【典型例题五 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（2025·安徽淮北·模拟预测）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（2025·安徽宣城·模拟预测）已知点和在反比例函数（为常数，）的图象上，若，则的值可以是 ．（只写一个） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质、求不等式的解集，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．分别代入和到，得出，，再结合求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：代入到得，， 代入到得，， ， ， 解得：， 的值可以是3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）． 【例3】（2025·安徽池州·模拟预测）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【答案】(1)的最小整数值为0 (2)有交点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可； （2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可． 【详解】（1）解：∵由题意，得 ∴ ∴的最小整数值为0 （2）解：有交点，理由如下： 由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限； ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∴直线与该反比例函数图象有交点 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论中一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数， 函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， ， A、若，则或， 当时，， 选项结论错误，不符合题意； B、若，则或， 当时，， 选项结论错误，不符合题意； C、若，则，不能确定和的符号， ∴或， 选项结论错误，不符合题意； D、若，则， ∴， 选项结论正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知点、都在反比例函数的图象上，且当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．就根据题意，结合反比例函数的增减性，可得k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵ 点、都在反比例函数的图象上，且当时，， ． 则k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， （2）解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 【典型例题六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【详解】解：∵过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标是， 故选：． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【例3】（2025·安徽亳州·模拟预测）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，． (1)直接写出C点坐标 (2)求反比例函数的解析式； (3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的解析式为 (3)或 【分析】（1）设交y轴于点D，由点C是点A关于y轴的对称点，可知，再由可求出的长，故可得出A、C点坐标． （2）根据（1）中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式． （3）设，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：设交y轴于点D，， ∵点C是点A关于y轴的对称点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵点P在x轴上， ∴设， ∴， ∵，即， ∴， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出的长是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，反比例函数的性质，以及利用函数图象解不等式． 由得，作出关于x轴对称的图象，结合图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 设 ∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∵当时，， ∴关于x的不等式  的解集是． 故答案为：． 3．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可； （3）：设正比例函数的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到直线解析式为，利用反比例函数解析式求出，进而得出，再求出，即可得到答案．． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式， 则； （2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为； （3）解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】动手操作：见解析；探究发现：（1）左，；（2）B；应用延伸：（1）右平移个单位长度；向下平移个单位长度；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 动手操作：列表，描点、连线画出函数的图象即可； 探究发现：结合图象填空即可； 应用延伸：根据发现的规律填空即可． 【详解】解：动手操作 列表： … … … … 描点、连线画出函数图象如图示： 探究发现 （1）将反比例函数的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，； （2）上述探究方法运用的数学思想是B． 故答案为：B； 应用延伸 （1）将反比例函数的图象先右平移个单位长度，再向下平移个得到函数的图象． 故答案为：右平移个单位长度；向下平移个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为． 【典型例题七 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，二次函数图象与性质，首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案，掌握反比例函数的性质与二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴二次函数的开口方向向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在轴右侧， ∴选项符合题意， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据反比例函数的性质，当图象在第二、四象限时，，解不等式即得答案． 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的对称性可得另一支在第三象限，根据反比例函数反比例函数图象在第一、三象限得到，可得； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：该反比例函数图象的一支在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限． ∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一个象限内，随的增大而减小． ∵， ∴． 1．（2025九年级上·安徽宣城·专题练习）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． 【详解】（1）解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， 画图如下： （2）由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交于点E，连接，，．    (1)求反比例函数的关系式； (2)若矩形的面积是12，求点E的坐标． (3)直接写出当时，y的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理求得，即，然后将代入求得k即可解答； （2）设线段、线段的长度为m，根据矩形的面积是12可得，解得：；进而得到点B，点C的横坐标为：，再将把代入得，即可确定点E的坐标； （3）先求出当时的反比例函数值，然后再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵，, ∴, ∴， 把点代入得：，解得：， 即反比例函数的关系式为：． （2）解：设线段，线段的长度为m， 根据题意得：，解得：， ∴点B，点C的横坐标为：， 把代入得：， ∴点E的坐标为． （3）解：当时，， 观察图像可得：当时，y的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、反比例函数的应用、根据函数图像求函数值的取值范围等知识点，求得函数解析式是解答本题的关键． 【典型例题八 求反比例函数解析式】 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知变量x、y满足下面的关系如表所示，则x、y之间用关系式表示为（    ） x … 1 2 3 … y … 1 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，即图象上点的横纵坐标的乘积为一定值． 观察上表格，由x、y的关系可求得其满足反比例关系，再由待定系数法即可得出解析式． 【详解】解：观察上表格，设这个函数解析式为， 把，，代入得， 故这个函数解析式为， 故选：A 【例2】（2025·安徽安庆·模拟预测）物理学中：欧姆定律可得，电流和电阻成反比，由下表可得，当电流为30安培时，其电压为________伏特． 实验① 实验② 实验③ 实验④ 实验⑤ 电流 电阻 A．30 B．120 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 由图中给出的数据，代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：∵电流和电阻成反比， ∴， 由表中的数据可得，当电流为30安培时，电阻的值为， ∴电压（伏特）． 故选：B． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，可得直线的解析式为，点的坐标为，，结合图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为， ； （2）解：由（1）可得，， 如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点， 设直线的解析式为， 将点代入得：，， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， ， 的面积为：． 1．（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点M作轴于点，且， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，点在反比例函数图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，把代入，求出解析式，再根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】把代入，得 ， ∴， ∴， ∴函数图象分布在二四象限，且在每个象限y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数为常数，且）的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，二元一次方程组求交点的坐标，掌握以上知识是关键 （1）把点代入正比例函数得到，再代入反比例函数解析式得到； （2）联立正比例函数，反比例函数得到二元一次方程组，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）得，正比例函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得： ， 解得： 或， ∴． 4．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集． (3)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)，面积最大值为4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵在一次函数的图象上 ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 【典型例题九 一次函数与反比例函数的交点问题 】 【例1】（2025·安徽阜阳·模拟预测）若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数与函数的图象的交点为，， 由函数图象可知，不等式的解集是， 故选：A． 【例2】（2025年安徽省初中学业水平考试原创定制数学试题）一次函数与反比例函数的图象相交于点，其中，直线与的图象的交点纵坐标为，与的图象的交点纵坐标为，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，由，则点在第二象限，又因为一次函数图象过，故有，，然后根据性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， ∵一次函数图象过， ∴，， ∵， ∴，， ∴的大小关系为 故选：． 【例3】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，点，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查直线和反比例函数的综合问题，根据题意可求出和，再利用求出b，从而求出点A的坐标，再代入求k即可． 【详解】令，则；令，解得， ∴，， ∴，解得(负值舍去)， ∴， 令，则， ∴点， 将代入得： ∴． 故答案为：6． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点， 由可得，， 解得，（舍去）， ． 2．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)是反比例函数图像上一点，且点的横坐标为－4，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数表达式等知识，解题关键是会用待定系数法求函数表达式． （1）先把代入，求出，从而可得，再将代入，求得，从而可得反比例函数表达式； （2）先求出，再求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得，反比例函数表达式为． （2）当时，， ∴， 在中，令，得， ∴． ∴的面积． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点． (1)求k，a，m，n的值； (2)反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)当或时，，当时， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数的图象和性质等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）利用借助已知点的坐标利用待定系数法解答即可； （2）根据的取值范围，利用反比例函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， 把代入得：， 把代入得： ， 解得， ． （2）由题意可知，，且反比例函数在每一象限上随增大而减小． ①当时，点在第一象限反比例函数图象上，故； ②当时，即，点在第三象限反比例函数图象上，故； ③当，且时，即，点分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故． 综上所述，当或时，，当时，． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为． (1)求直线的表达式． (2)如图2，若另外有一反比例函数与直线有交点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，过点作轴，垂足为，利用勾股定理求出的长，进而可得点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线解析式和反比例函数解析式，得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】（1）解；点在反比例函数的图像上， ∴ ， 点的坐标为， 过点作轴，垂足为 ， ， 点的坐标为， 把点代入得： 解得： 一次函数的解析式为：； （2）解：联立得到 整理的：， ∴， 解得：， ． 【典型例题十 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 2．（2025·安徽·模拟预测）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程的实根可看成函数与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意可得方程的实根可以看做是函数与函数的图象交点的横坐标，画出两个函数的函数图象，根据函数经过，函数经过，即可确定两个函数的交点个数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，方程的实根可以看做是函数与函数的图象交点的横坐标， ∵函数经过，函数经过， ∴由函数图象可知，两个函数在第三象限一定有2个交点，在第一象限有1个交点， ∴两个函数一共有3个交点， ∴方程的实数根有3个， 故选：C． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限． 【答案】二 【分析】此题考查二次函数和反比例函数的图象和性质．判断出反比例函数的图象位于第二、四象限．再得到抛物线的图象不经过第四象限．即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ∴． ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． ∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为在y轴正半轴， ∴抛物线的图象不经过第四象限． ∴双曲线与抛物线的交点在第二象限． 故答案为：二 1．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【分析】（1）时，点为，把代入解得，把代入解得； （2）的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点，则，得到，则，由，解得．由点位于直线的右侧得到．则； （3）由得到．由的面积为4得到．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可； （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是或，分别代入，求出a的值，再求出m的值，即可得到k的值． 【详解】（1）解：时，点为， 把代入得， ，解得， 把代入得 ， 解得， 综上可知，，． （2）∵的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点， ∴， ∴． ∴． 由，解得． ∵点位于直线的右侧， ∴． ∴． ∴当点B在x轴的负半轴上时，； （3）∵， ∴． ∵的面积为4， ∴． ∴． ①当B在x轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设， ∵， ∴． ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴不合题意，舍去， 综上所述可知点．代入得到， ∴， ∴． 当时，， 解得． 由（2）可知， ∴． ∴． （4）∵O，F两点间的距离为1． ∴点F的坐标是或， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得 ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数 小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整： (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 解析式中的______，表格中的______； (2)描点，连线： 请画出函数图象； (3)分析图象：根据函数图象，写出函数的一条性质：____________； (4)拓展研究： ①若直线与该函数图象有一个交点，则k的取值范围：____________； ②若直线与该函数图象有两个交点，则k的取值范围：____________； ③若直线与该函数图象有三个交点，则k的取值范围：____________； ④若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________； ⑤若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)该函数有最大值3（答案不唯一） (4)①3；②或；③或；④；⑤ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，然后连线即可； （3）根据（2）中所画函数图象进行求解即可； （4）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，该函数有最大值3； 故答案为：该函数有最大值3（答案不唯一）； （4）解：①由函数图象可知，当时，直线与该函数图象有一个交点， 故答案为：3； ②由函数图象可知，当 或，直线与该函数图象有两个交点， 故答案为：或； ③由函数图象可知，当或时，直线与该函数图象有三个交点， 故答案为：或； ④由函数图象可知，当时，直线与该函数图象有四个交点， 故答案为：； ④由函数图象可知，当，即时，直线与该函数图象有四个交点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数综合，正确画出对应的函数图象是解题的关键． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … 0 1 2 3 4 5 … … 0 3 … （2）根据函数图象，小明写出了该函数性质； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号） （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1），，见解析；（2）②③④；（3）或 【分析】（1）分别代入x求y． （2）观察图象，逐条分析判断即可． （3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集． 【详解】解：（1）当x=-3时， 当x=3时， 故填：， 补全图象． （2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确； 故答案为：②③④； （3）由图象得，或 【点睛】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式． 【典型例题十一 一次函数与反比例函数的综合实际应用 】 【例1】（2025九年级上·安徽阜阳·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求反比例函数的表达式 ； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数的表达式，函数与不等式的关系，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题和利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法将代入反比例函数解析式中即可求出其表达式； （2）两个解析式联立，解方程组求得的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立， 解得：，， ∴， 根据图象，反比例函数在直线上方对应的的取值范围是或， 则不等式的解集为或． 1．（24-25九年级上·安徽滁州·课后作业）已知与成正比例，与成反比例，当和时，y都等于3．求时，y的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数与反比例函数的定义，用待定系数法求函数解析式．设，把，；，代入，求得，得到y与x函数关系式为：；把代入，求得． 【详解】解：根据题意设，， 则， 把，；，代入，得， ， 解得：， 则y与x函数关系式为：， 把代入，得，． 2．（24-25九年级上·安徽闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点． (1)求b，的值． (2)过点C作y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积 【答案】(1)． (2)2 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）把点A代入正比例函数、反比例函数关系式可求出b，的值； （2）先求出点坐标为，把代入， 求出反比例函数．继而求出D点坐标为，再求出，点到的距离，即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， ∴， 把代入，得， 解得． （2）∵是的中点，，， ∴点坐标为，即． 把代入，得， 解得， ∴反比例函数． ∵轴，， 把代入，得， ∴． ∴， 点到的距离为， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 【典型例题十二 与反比例函数有关的规律有关的探究问题】 【例1】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）面积为2的，一边长为，这边上的高为，则与的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，xy=4即y=，且x＞0，根据解析式，确定函数的图像即可． 【详解】∵面积为2的，一边长为，这边上的高为， ∴xy=4即y=，且x＞0， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式及其图像，熟练掌握解析式及其图像是解题的关键． 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 【例3】 （24-25九年级·安徽安庆·单元测试）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去． (1)完成下表 (2)观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求反比例函数值： （1）根据规律计算，依次求出即可； （2）由（1）计算的结果，发现循环规律，由此求即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ， ， ∴， 填表如下： 2 2 （2）解：由（1）的计算结果可知这一列数，每3个数为一个循环，，2，依次出现， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，将代入函数表达式中，所得函数值记为；再将代入函数表达式中，所得函数值记为；然后将代入函数表达式中，所得函数值记为，如此继续下去． (1)完成下表： (2)根据上表的规律，猜想的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查求反比例函数的函数值，数字类规律探究： （1）根据题意，将自变量的值代入函数解析式，求出函数值，填写表格即可； （2）由（1）中表格可知，函数值以，3，三个数为一组进行循环，进而求出即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 3 3 （2）由表格可知：函数值以，3，三个数为一组进行循环， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 20 25 波长（m） 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式； (2)当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？ 【答案】(1)； (2)波长至少是米． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）根据可判断反比例函数能反映波长与频率的变化规律，设解析式为，用待定系数法求解即可； （）解方程，由反比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴反比例函数能反映波长与频率的变化规律， 设波长关于频率的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：∵， ∴， ∵当电磁波的频率为时， ∴， 解得：， 由反比例函数的性质知，当电磁波的频率不超过时，， 答：波长至少是米． 3．（2025·安徽·模拟预测）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分） 如果有一道数学综合题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目？ 你的结论是 （填写“可以”或“不可以”）， 理由是 （请通过你计算所得的数据说明理由）．    【答案】可以，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，分别求出直线和曲线的解析式，再分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】解：可以，理由如下： 设线段所在的直线的解析式为， 把代入中得，， ∴， ∴直线解析式为． 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴曲线的解析式为：； 令，则，解得， 令，则，解得， ∵， ∴经过适当安排，老师可以在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y1 … 12 11 10 9 8 … (1)直接写出函数y1表达式； (2)设反比例函数y2＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A、B两点，O为坐标原点且S△AOB＝20．求反比例函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格可发现x与的关系，进而问题可求解； （2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C和D，由题意易得，设，然后可得，联立一次函数与反比例函数解析式得，进而根据韦达定理可求解． 【详解】（1）解：由表格知：， ∴； （2）解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C和D，如图所示： 由（1）可得， ∴令x=0时，则， 令，则x=10， ∴， ∴OM=ON=10， 设， ∵点A、B都在反比例函数图象上， ∴， 化简得：， 联立， 得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（24-25九年级·全国·单元测试）已知一个三角形的面积为4，一边长为x，这条边上的高为y，则y关于x的变化规律用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由△ABC的面积及一边长为x，这边上的高为y可得关系式，即4=xy，y=（x＞0）．根据反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限，因为x＞0，所以其图象在第一象限，即可得出答案． 【详解】解:∵三角形的面积为4, 一边长为x，这条边上的高为y， ∴，所以. 故选C. 【点睛】此题需要根据反比例函数的性质解答：反比例函数y= 的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数中，若，则函数值随自变量的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的增减性，反比例函数比例系数大于0时，则当时，函数值随自变量的值增大而减小，反比例函数比例系数小于0时，当时，函数值随自变量的值增大而增大；一次函数或正比例函数一次项系数大于0，当时，函数值随自变量的值增大而增大，一次函数或正比例函数一次项系数小于0，则当时，函数值随自变量的值增大而减小；二次函数二次项系数小于0，则在对称轴右侧，函数值随自变量的值增大而减小，若二次项系数大于0，则在对称轴右侧，函数值随自变量的值增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，函数中，函数值随自变量的值增大而增大，符合题意； B、当时，函数中，函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； C、抛物线的对称轴为y轴，开口向下，当时，函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； D、当时，函数中，函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； 故选：A． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知点，在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先确定，则反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限，y随x增大而减小，再根据反比例函数所在的象限即可判断． 【详解】解：由题意可得，． ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限，y随x增大而减小， ∵， ∴在第一象限，在第三象限， ∴， 故选：A． 4．（2025年6月安徽省黄山市部分学校中考模拟考试九年级数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点C，且，则k的值为（   ） A．27 B．24 C．18 D． 【答案】A 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，勾股定理，一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，，设点C的坐标为，根据，列方程求出，然后得到点C的坐标为，进而代入求解即可． 【详解】解：对于，令，则， 故点A的坐标为，则， 对于，令，则， 故点B的坐标为，则， 设点C的坐标为， ， ， 解得（舍去）或， 故点C的坐标为． 反比例函数的图象经过点C， ． 故选：A． 5．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， 当时，， 点， 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，， ， ，， ， ， 故选：B． 6．（2025年浙江省绍兴市城关“六校联考”九年级中考模拟预测数学试卷）已知反比例函数的图象过点，，，且，，则 【答案】5 【分析】本题只要考查了反比例函数图像上的坐标特征，将A、B两点带入函数解析式求出m、n，再根据和求出，载代入求值即可． 【详解】解：将A、B两点带入函数解析式得，， ， ， ， 通分后化简得， 代入解得． 故答案为5． 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，把的最小值代入反比例函数的解析式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，反比例函数的函数值随着增大而增大， ∴当取最小值时，函数值最小， ∵当时，， ∴反比例函数的最小值为， 故答案为：． 8．（2025·安徽阜阳·模拟预测）若反比例函数（k为常数，且）的图象位于第一、三象限，且点、均在该函数图象上，则m n．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反例函数的性质，由题意可得，再表示出，，判断即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，且）的图象位于第一、三象限， ∴， ∵点、均在该函数图象上， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 10．（2025·安徽六安·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解． 【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是， 分式方程 的解是，， 故答案为：，． 11．（24-25九年级上·安安庆·课后作业）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)是， (3)不是 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 【详解】（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 12．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为， 当时，，则， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，代入，得， 解得， 当时，的值为3． 13．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 14．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)点E在线段上，连接，若，求点E的坐标． 【答案】(1)2，4，6 (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）将B点坐标代入两个函数解析式，求出b，k的值，将A点代入反比例函数解析式，求出a的值； （2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得解； （3）E是线段上的一点，设点，分别表示出和，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2，4，6； （2）解：由（1）知， 由图可知：当或时，双曲线在直线的下方， 即不等式的解集为或； （3）解：设， 过点作轴于点，轴于点，则 有： ∵， ∴， 又， ∵， ∴ 解得，， ∴ ∴点的坐标为 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)该函数图象的另一支在第三象限， (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用： （1）根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可； （2）根据值的几何意义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据反比例函数的图象关于原点对称可知，该函数图象的另一支在第三象限，且， 则； （2）设与x轴交于点C． ∵点B与点A关于x轴对称， ∴轴， ∵的面积为6， ∴的面积为3， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 学科网（北京）股份有限公司 $$第05讲 反比例函数的图象与性质(6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测) 典型例题一 根据反比例函数的定义求参数 典型例题二 由反比例函数值求自变量 典型例题三 已知反比例函数的图象,判断其解析式 典型例题四 比较反比例函数值或自变量的大小 典型例题五 已知反比例函数的增减性求参数 典型例题六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 典型例题七 已知双曲线分布的象限,求参数范围 典型例题八 求反比例函数解析式 典型例题九 一次函数与反比例函数的交点问题 典型例题十 反比例函数、二次函数图象综合判断 典型例题十一 一次函数与反比例函数的综合实际应用 典型例题十二 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 知识点01 反比例函数的定义 一般地,形如 (为常数,)的函数称为反比例函数,其中是自变量,是函数,自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明: (1) 在中,自变量是分式的分母,当时,分式无意义,所以自变 量的取值范围是,函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. (2) ()可以写成()的形式,自变量的指数是-1,在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. (3) ()也可以写成的形式,用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数,从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1.(24-25九年级上 安徽宣城 期中)下列点在反比例函数图象上的是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(2025 安徽 模拟预测)“已知,求代数式的值.”其中两个“”部分给出的是x,y,e,d满足的条件.在题目中的已知条件下,求出的这个代数式的值的正确答案是.下列选项中不能得到正确答案的是( ) A.x,y互为倒数,c,d互为相反数 B., C.点在双曲线上,点在直线上 D., 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: (1)设所求的反比例函数为: (); (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数的方程; (3)解方程求出待定系数的值; (4)把求得的值代回所设的函数关系式中. 【即时训练】 1.(24-25九年级上 安徽安庆 课后作业)如果等腰三角形的面积为10,底边长为,底边上的高为,那么与之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(2025 安徽阜阳 模拟预测)王老师在上函数复习课时,利用列表法给出了变量x,y 的三组对应值如下表,你觉得这三点可以同时位于( )的图象上. 1 2 4 ….. A.一次函数和反比例函数 B.二次函数和反比例函数 C.一次函数和二次函数 D.一次函数和二次函数和反比例函数 知识点03 双曲线 定义:反比例函数的图像由两条曲线组成,我们称之为双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称,永远不会与x轴,y轴相交,只是无限靠近两坐标轴. 【即时训练】 1.(24-25九年级上 安徽亳州 阶段练习)若双曲线图象的一支位于第二象限,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 安徽合肥 阶段练习)如图,平面直角坐标系中,直线交y轴正半轴与点C,与反比例函数的图象在第一象限内相交于A,B两点,延长交该反比例函数图象的另一分支于点D,连接.若,的面积为32,则k的值为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 知识点04 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①,③部分,反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ;在②,④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方,所以的解集为或. 【即时训练】 1.(2025 安徽六安 模拟预测)一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 蚌埠 期末)如图,函数和函数的图象相交于点,,若,则x的取值范围是( ) A. B.或 C.或 D.或 知识点05 反比例函数的图象和性质 1、反比例函数的图象特征: 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称,永远不会与轴、轴相交,只是无限靠近两坐标轴. 特别说明: (1) 若点()在反比例函数的图象上,则点()也在此图象上,所以反 比例函数的图象关于原点对称; (2) 在反比例函数(为常数,)中,由于,所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴. 2、画反比例函数的图象的基本步骤: (1)列表:自变量的取值应以0为中心,在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写值时,只需计算右侧的函数值,相应左侧的函数值是与之对应的相反数; (2)描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点; (3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交; (4)反比例函数图象的分布是由的符号决定的:当时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当时,两支曲线分别位于第二、四象限内. 3、反比例函数的性质 (1)如图1,当时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每个象限内,值随值的增大而减小; (2)如图2,当时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内,值随值的增大而增大; 特别说明:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的;反过来,由双曲线所在的位置和函数的增减性,也可以推断出的符号. 【即时训练】 1.(2025 安徽滁州 模拟预测)已知点,,在同一个函数图象上,则这个函数图象可能是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 安徽淮北 期末)如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( ) A. B. C. D. 知识点06 一次函数与反比例函数的交点问题 1)从图象上看,一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号,两个函数必有两个交点; ②k值异号,两个函数可无交点,可有一个交点,可有两个交点; 2)【热考】从计算上看,一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况. 【即时训练】 1.(2025 安徽池州 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和.则关于方程的解是( ) A., B., C., D., 【即时训练】 2.(24-25九年级上 安徽阜阳 期末)函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 【典型例题一 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】(2025 安徽 模拟预测)已知点在双曲线上,则下列各点也在此双曲线上的是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 安徽合肥模拟预测)二胡是我国一种传统拉弦乐器,演奏二胡时,在同一张力下,它的振动弦的共振频率f(单位:赫兹)与长度l(单位:米)近似成反比例关系,即(k为常数,).若某一振动频率f为260赫兹,长度l为0.5米,则k的值为 . 【例3】(24-25九年级上 安徽安庆 期末)已知是反比例函数,求m的值. 1.(24-25九年级上 安徽滁州 期中)在反比例函数y=的每一条曲线上,y都随着x的增大而减小,则k的值可以是( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 2.(24-25九年级上 全国 课后作业)填空: (1)若是反比例函数,则 ; (2)若是反比例函数,则a的值为 ; (3)已知函数,当时,,则函数表达式是 ; (4)若y是x的反比例函数,且时,,则y与x之间的函数表达式是 . 3.(24-25九年级上 安徽 期中)若函数. (1)当m为何值时,该函数为二次函数? (2)该函数可能为反比例函数吗?为什么? 4.(24-25九年级上 安徽蚌埠 期中)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点A(4,),点B在轴的负半轴上,AB交轴于点C,C为线段AB的中点. (1)求的值和点C的坐标; (2)若点D为线段AB上的一个动点,过点D作DE∥轴,交反比例函数图象于点E,交轴于点F.求当 ODE面积为6时,点E的坐标. 【典型例题二 由反比例函数值求自变量】 【例1】(24-25九年级上 安徽安庆 阶段练习)已知点在反比例函数上的图象上,则m的值为( ) A. B.3 C. D.8 【例2】(2025 安徽宣城 模拟预测)在平面直角坐标系中,点在反比例函数的图象上,点在反比例函数图象上,若,则 (填写“>”“<”或“=”). 【例3】(24-25九年级上 安徽合肥 阶段练习)如图是一款可调节亮度的台灯,可通过调节台灯的电阻,控制电流的变化实现亮度的调节.该台灯工作时电流I(单位:A)与电阻R(单位: )是反比例函数关系.它的图象如图所示. (1)求这个反比例函数的解析式; (2)若该台灯工作的最小电流为,最大电流为,求该台灯的电阻的取值范围. 1.(2025 安徽六安 模拟预测)关于反比例函数,下列说法错误的是( ) A.反比例函数图象经过点 B.当时, C.该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D.若点在该反比例函数的图象上,则点也在其图象上 2.(2025 安徽安庆 模拟预测)如图,在平面直角坐标系的第一象限中,和,点在上,轴交于点,轴交于点,轴交于点,,按照此规律作图,则的点坐标为 . 3.(24-25九年级上 河北石家庄 期中)已知反比例函数常数,. (1)若点在这个函数的图象上,求的值; (2)若,试判断点是否在这个函数的图象上,并说明理由. 4.(2025 安徽合肥 模拟预测)如图,反比例函数的图像经过点和点. (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标; (2)若将点先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度后,得到的点仍落在该反比例函数的图象上,求的值. 【典型例题三 已知反比例函数的图象,判断其解析式】 【例1】 (24-25九年级上 安徽亳州 阶段练习)反比例函数的图象如图所示,则的值可能是( ) A.5 B.10 C. D. 【例2】 (2025 安徽 模拟预测)如图,点在反比例函数上,点在反比例函数和的图象之间,轴,写出一个符合条件的点的坐标为 . 【例3】(24-25九年级上 广西钦州 阶段练习)如图,,两点在反比例函数的图象上,,两点在反比例函数的图象上,轴于点,轴于点,,,,求的值. 1.(24-25九年级上 安徽马鞍山 期中)如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像,根据图像判断可能是下列的哪一个函数( ) A. B. C. D. 2.(24-25九年级上 湖南永州 阶段练习)如图,已知点A在反比例函数图像上,轴于点M,且的面积为4,则反比例函数的解析式为 . 3.(24-25九年级上 安徽滁州 阶段练习)图所示曲线是反比例函数的图像的一支. (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限?常数n的取值范围是什么? (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A,与x轴交于点B,的面积为2,求n的值. 4.(2025 安徽安庆 模拟预测)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上,点B的坐标为(4,﹣2),反比例函数y(x>0)的图象经过AB的中点D,交BC于点E. (1)求k的值; (2)若F是OC上一点,且 AFE的面积为3,求直线EF的函数表达式. 【典型例题四 比较反比例函数值或自变量的大小 】 【例1】(2025 安徽滁州 模拟预测)反比例函数的图象经过点,,下列说法一定正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【例2】 (2025 安徽安庆 模拟预测)已知反比例函数的图象经过点,,则 .(填“”或“”或“”) 【例3】(24-25九年级上 全国 课后作业)若点、、都在反比例函数的图像上,判断a、b、c有怎样的大小关系. 1.(2025 安徽安庆 模拟预测)已知点和点都是反比例函数的图象上的两点,下列说法正确的是( ) A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, 2.(2025 安徽滁州 模拟预测)点都在反比例函数的图象上,若,则 0.(填“>”“<”或“=”) 3.(24-25九年级上 甘肃定西 期末)已知反比例函数的图象经过点,若,是这个反比例函数图象上的两个点,请比较,的大小. 4.(2025 安徽 模拟预测)【阅读材料】给出如下定义:在平面直角坐标系中,点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”.在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”.例如:点的“纵横差”为;函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为;当时,的最大值为,所以函数()的“纵横极差”为. 【问题解决】根据阅读材料中的定义,解答下列问题: (1)求点的“纵横差”; (2)求函数的“纵横极差”; (3)若为实数,函数的“纵横极差”为,求的值. 【典型例题五 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】(2025 安徽淮北 模拟预测)已知点、在反比例函数的图像上,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 安徽宣城 模拟预测)已知点和在反比例函数(为常数,)的图象上,若,则的值可以是 .(只写一个) 【例3】(2025 安徽池州 模拟预测)已知反比例函数在其图象所在的各象限内,随的增大而减小. (1)求的最小整数值. (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点,并说明理由. 1.(2025 安徽安庆 模拟预测)已知点在反比例函数的图象上,若,则下列结论中一定成立的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.(2025 安徽滁州 模拟预测)已知点、都在反比例函数的图象上,且当时,,则的值可以是 .(写出一个即可) 3.(2025 安徽合肥 模拟预测)已知在反比例函数(m为常数,且)的图象上. (1)求m的值,并判断该反比例函数的图象所在的象限; (2)判断点,,是否在该反比例函数的图象上,并说明理由: (3)当时,求该反比例函数的函数值y的取值范围. 4.(24-25九年级上 安徽安庆 期中)如图,一次函数的图象分别与轴,轴交于,两点,与反比例函数的图象交于点C,已知A为线段的中点. (1)求反比例函数的表达式; (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点,轴于点.设四边形的面积为S,当时,S的最小值. 【典型例题六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】(24-25九年级上 安徽滁州 期中)已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为,则它们的另一个交点坐标是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 安徽池州 模拟预测)在平面直角坐标系中,若点是函数和的图象的一个交点,则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 . 【例3】(2025 安徽亳州 模拟预测)中考过后,我们会是双曲线两个分支上的两个点,随着时间的流逝,我们渐行渐远吗?如图,还是点A在反比例函数的图象上,点C是点A关于y轴的对称点,已知,. (1)直接写出C点坐标 (2)求反比例函数的解析式; (3)若点P在x轴上,且,直接写出点P的坐标. 1.(24-25九年级上 四川绵阳 期末)如图为反比例函数与在第一象限中的图象,点P为其中一个反比例函数图象上点,过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A,过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B,则面积应是( ) A.1 B. C. D. 2.(24-25九年级上 安徽滁州 阶段练习)如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是,则关于x的不等式 的解集是 3.(2025 安徽淮北 模拟预测)如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点. (1)求的值; (2)直接写出点的坐标; (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线,若直线分别交的图象、轴于,两点,求的面积. 4.(24-25九年级上 全国 假期作业)在同一平面直角坐标系中,函数的图象可以由函数的图象平移得到.依此想法,数学小组对反比例函数图象的平移进行探究. 【动手操作】 列表: … … … … 描点连线:在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象. 【探究发现】 (1)将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象. (2)上述探究方法运用的数学思想是 . A.整体思想 B.类比思想 C.分类讨论思想 【应用延伸】 (1)将反比例函数的图象先 ,再 得到函数的图象. (2)函数图象的对称中心的坐标为 . 【典型例题七 已知双曲线分布的象限,求参数范围】 【例1】(2025 安徽马鞍山 模拟预测)反比例函数的图象在第二、四象限,则二次函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 【例2】(24-25九年级上 安徽滁州 期中)已知反比例函数的图象在第二、四象限,则取值范围是 【例3】(24-25九年级上 广东阳江 期末)如图是反比例函数(为常数,且)图象的一支. (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限,并求出的取值范围. (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点,如果,那么和有怎样的大小关系? 1.(2025九年级上 安徽宣城 专题练习)数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象.现输入一组m,n的值,得到的函数图象如图所示,由此可以推断输入的m,n的值满足( ) A., B., C., D., 2.(24-25九年级上 安徽滁州 期末)如图是反比例函数的图象.整数的值是 . 3.(24-25九年级上 安徽安庆 期中)如图,它是反比例函数(为常数,且)图象的一支. (1)的取值范围为 ;画出图象另一支的示意图; (2)在这个函数图象上任取点和.若,判断和的大小关系,并说明. 4.(24-25九年级上 安徽合肥 期末)如图,矩形的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数在第一象限内的图像经过点D,交于点E,连接,,. (1)求反比例函数的关系式; (2)若矩形的面积是12,求点E的坐标. (3)直接写出当时,y的取值范围_. 【典型例题八 求反比例函数解析式】 【例1】(24-25九年级上 安徽池州 阶段练习)已知变量x、y满足下面的关系如表所示,则x、y之间用关系式表示为( ) x … 1 2 3 … y … 1 3 … A. B. C. D. 【例2】(2025 安徽安庆 模拟预测)物理学中:欧姆定律可得,电流和电阻成反比,由下表可得,当电流为30安培时,其电压为_伏特. 实验① 实验② 实验③ 实验④ 实验⑤ 电流 电阻 A.30 B.120 C.4 D.以上都不对 【例3】(2025 安徽合肥 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(,)的图象经过,两点. (1)求点的坐标及的值; (2)求的面积. 1.(2025 辽宁阜新 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,过轴正半轴上一点的直线轴,分别交反比例函数()和()的图象于点,,且,.则的值为( ) A.12 B. C.16 D. 2.(2025 新疆省直辖县级单位 模拟预测)已知反比例函数的图象经过点,点在反比例函数图象上,则 (填“”“”或“”). 3.(2025 湖北荆州 模拟预测)如图,正比例函数的图象与反比例函数为常数,且)的图象交于两点. (1)求的值; (2)求点的坐标. 4.(2025 河南郑州 模拟预测)如图,一次函数的图象与反比例函数图象相交于,两点,与轴交于点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出不等式解集. (3)设为线段上的一个动点(不包括,两点),过点作轴交反比例函数图象于点,当的面积最大时,求点的坐标,并求出面积的最大值. 【典型例题九 一次函数与反比例函数的交点问题 】 【例1】(2025 安徽阜阳 模拟预测)若函数与函数的图象如图所示,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025年安徽省初中学业水平考试原创定制数学试题)一次函数与反比例函数的图象相交于点,其中,直线与的图象的交点纵坐标为,与的图象的交点纵坐标为,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【例3】(2025 安徽亳州 模拟预测)如图,直线交反比例函数的图象于A,B两点,交坐标轴于C,D两点.已知,点,则k的值为 . 1.(2025 安徽亳州 模拟预测)已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点,点B是线段OA上的一点,过点B作y轴的垂线l,l与的图象交于点D. (1)求反比例函数的表达式; (2)若线段,求D点的坐标; 2.(2025 安徽池州 模拟预测)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,与轴交于点. (1)求反比例函数的表达式. (2)是反比例函数图像上一点,且点的横坐标为-4,连接,求的面积. 3.(2025 安徽安庆 模拟预测)如图,一次函数的图象与x轴,y轴交于点A,B,与反比例函数的图象交于点. (1)求k,a,m,n的值; (2)反比例函数图象上有两点,,试比较与的大小. 4.(2025 安徽合肥 模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中中,一次函数的图象上与反比例函数的图象交于点A,与x轴负半轴交于点B,其中点A的坐标为. (1)求直线的表达式. (2)如图2,若另外有一反比例函数与直线有交点,求取值范围. 【典型例题十 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】(2025 安徽合肥 模拟预测)已知反比例函数的图象如图所示,则二次函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 2.(2025 安徽 模拟预测)著名数学家华罗庚说过:“数形结合百般好,隔离分家万事休.”比如方程的实根可看成函数与函数的图象交点的横坐标,那么用此方法可推断方程的实数根有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2025 安徽马鞍山 模拟预测)若根式有意义,则双曲线与抛物线的交点在第 象限. 1.(2025 安徽淮北 模拟预测)如图,点是抛物线l:和双曲线的一个交点,且位于直线的右侧:抛物线l与x轴交于点B,C,(B在C的左侧)与y轴交于点F. (1)当时,求a和k的值; (2)若点B在x轴的负半轴上,试确定k的取值范围; (3)的面积为4,且,求k的值; (4)直接写出k的值,使O,F两点间的距离为1. 2.(2025 安徽阜阳 模拟预测)中考复习中,小明对初中学习过的三个函数进行总结,并把三种函数组合成分段函数 小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析,以下是小明的分析过程,请补充完整: (1)列表: x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 解析式中的_,表格中的_; (2)描点,连线: 请画出函数图象; (3)分析图象:根据函数图象,写出函数的一条性质:_; (4)拓展研究: ①若直线与该函数图象有一个交点,则k的取值范围:_; ②若直线与该函数图象有两个交点,则k的取值范围:_; ③若直线与该函数图象有三个交点,则k的取值范围:_; ④若直线与该函数图象有四个交点,则k的取值范围:_; ⑤若直线与该函数图象有四个交点,则k的取值范围:_. 3.(24-25九年级上 宁夏银川 期中)如图,二次函数的图象与轴相交于点,与反比例函数的图象相交于点. (1)求这两个函数的表达式; (2)当随的增大而增大且时,直接写出x的取值范围; (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、(点在点的左边),与函数的图象相交于点.若与的面积相等,求点的坐标. 4.(24-25九年级上 安徽滁州 期末)在学习函数的中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题. (1)请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象; … 0 1 2 3 4 5 … … 0 3 … (2)根据函数图象,小明写出了该函数性质; ①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴是轴; ②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值.当时,函数取得最大值3;当时,函数取得最小值; ③该函数图象与坐标轴只有一个交点; ④当或时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;其中正确的是_(只写序号) (3)已知函数的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式的解集(保留一位小数,误差不超过0.2) 【典型例题十一 一次函数与反比例函数的综合实际应用 】 【例1】(2025九年级上 安徽阜阳 专题练习)函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 安徽 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,函数与的图象交于点,则代数式的值为 . 【例3】(24-25九年级上 贵州贵阳 阶段练习)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点. (1)求反比例函数的表达式 ; (2)根据图象,直接写出不等式的解集. 1.(24-25九年级上 安徽滁州 课后作业)已知与成正比例,与成反比例,当和时,y都等于3.求时,y的值. 2.(24-25九年级上 安徽闵行 期末)如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线交于点. (1)求双曲线的表达式; (2)已知是双曲线上一点,且到轴的距离是12,直线与直线交于点,与双曲线交于点.如果,求的值. 3.(2025 安徽滁州 模拟预测)如图,过点的直线:与反比例函数:的图象交于点B,与反比例函数:的图象交于点. (1)求b,的值. (2)过点C作y轴,交反比例函数的图象于点D,连接.若B是的中点,求的面积 4.(24-25九年级上 安徽蚌埠 期中)已知,一次函数的图象交反比例函数图象于点A,B,交x轴于点C,点B为. (1)求反比例函数的解析式; (2)如图1,点M为反比例函数在第一象限图象上的一点,过点M作x轴垂线,交一次函数图象于点N,连接,若是以为底边的等腰三角形,求的面积; (3)如图2,一次函数交y轴于点F,将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D,E,求点E的坐标. 【典型例题十二 与反比例函数有关的规律有关的探究问题】 【例1】(24-25九年级上 山东菏泽 期末)面积为2的,一边长为,这边上的高为,则与的变化规律用图象表示大致是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 安徽滁州 模拟预测)如图,双曲线与直线相交于点A,B,在直线上取点,,…,依次以,…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形,….矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为:;矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为:;矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为:,….按此规律,则点的坐标为 . 【例3】 (24-25九年级 安徽安庆 单元测试)将代入反比例函数中,所得函数值记为,又将代入函数中,所得函数值记为,再将代入函数中,所得函数值记为,…,如此继续下去. (1)完成下表 (2)观察上表,你发现了什么规律?猜想 . 1.(24-25九年级上 全国 课后作业)已知反比例函数,将代入函数表达式中,所得函数值记为;再将代入函数表达式中,所得函数值记为;然后将代入函数表达式中,所得函数值记为,如此继续下去. (1)完成下表: (2)根据上表的规律,猜想的值为_. 2.(24-25九年级上 安徽滁州 期末)电磁波的波长(单位:)会随着电磁波的频率(单位:)的变化而变化.下表是它们的部分对应值: 频率f(MHz) 10 15 20 25 波长(m) 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中,哪个函数能反映波长与频率的变化规律?并求出与的函数解析式; (2)当电磁波的频率不超过时,波长至少是多少米? 3.(2025 安徽 模拟预测)心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中分别为线段,为双曲线的一部分) 如果有一道数学综合题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目? 你的结论是 (填写“可以”或“不可以”), 理由是 (请通过你计算所得的数据说明理由). 4.(2025 安徽 模拟预测)已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律: x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y1 … 12 11 10 9 8 … (1)直接写出函数y1表达式; (2)设反比例函数y2=(k>0)的图象与(1)求得的函数的图象交于A、B两点,O为坐标原点且S AOB=20.求反比例函数表达式. 1.(24-25九年级 全国 单元测试)已知一个三角形的面积为4,一边长为x,这条边上的高为y,则y关于x的变化规律用图象表示大致是( ) A. B. C. D. 2.(24-25九年级上 安徽亳州 阶段练习)下列函数中,若,则函数值随自变量的值增大而增大的是( ) A. B. C. D. 3.(2025九年级上 全国 专题练习)已知点,在反比例函数(k为常数)的图象上,若,则有( ) A. B. C. D. 4.(2025年6月安徽省黄山市部分学校中考模拟考试九年级数学试卷)如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点B,与y轴交于点A,反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点C,且,则k的值为( ) A.27 B.24 C.18 D. 5.(2025 安徽安庆 模拟预测)如图,线段是直线的一部分,点是直线与轴的交点,点的纵坐标为6,曲线是双曲线的一部分,已知点的横坐标为6,由点开始不断重复“”的过程,形成一组波浪线.若点与点均在该波浪线上,分别过、两点向轴作垂线段,垂足为和两点,则四边形的面积是( ). A.10 B. C. D.15 6.(2025年浙江省绍兴市城关“六校联考”九年级中考模拟预测数学试卷)已知反比例函数的图象过点,,,且,,则 7.(2025 安徽合肥 模拟预测)已知反比例函数,当时,该反比例函数的最小值为 . 8.(2025 安徽阜阳 模拟预测)若反比例函数(k为常数,且)的图象位于第一、三象限,且点、均在该函数图象上,则m n.(填“”“”或“”) 9.(24-25九年级上 安徽亳州 阶段练习)反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内(不含边界)只有8个整点(横、纵坐标均为整数),则的取值范围为 . 10.(2025 安徽六安 模拟预测)已知一次函数与 (,是常数,且 ,)的图象如图所示,它们的两个交点坐标分别是,则分式方程 的解是 ; . 11.(24-25九年级上 安安庆 课后作业)下列函数表达式中,是的反比例函数吗?如果是,把它写成的形式,并指出的值. (1); (2); (3). 12.(24-25九年级上 安徽滁州 期中)已知是的反比例函数,当时,. (1)求关于的函数表达式; (2)当时,求的值. 13.(24-25九年级上 安徽阜阳 阶段练习)已知反比例函数. (1)当函数图象位于第一、三象限,求m的取值范围; (2)在每一象限内,y随x的增大而增大,求m的取值范围. 14.(2025 安徽亳州 模拟预测)如图,一次函数与反比例函数的图象交于点,,轴,垂足为点C,轴,垂足为点D. (1)填空: _, _, _; (2)观察图象,直接写出不等式的解集; (3)点E在线段上,连接,若,求点E的坐标. 15.(24-25九年级上 安徽合肥 期中)已知反比例函数的图象的一支位于第一象限. (1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围; (2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若的面积为6,求反比例函数的解析式. 学科网(北京)股份有限公司 $$