专题01 相交线与平行线（10个经典基础题型＋3个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 相交线角度计算 1. （23-24七年级下·天津·期末）如图，直线，相交于点O，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 2. （23-24七年级下·天津河北区·期末）如图，于，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3. （22-23七年级下·天津南开·期末）如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）如图，，两条直线相交于点，平分，已知，则 °． 5. （23-24七年级下·天津·期末）如图，点O在直线AB上，，，． （1）的大小为 （度）； （2）与相等的角是 ． 6. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，点是直线上一点，已知平分，若，则的度数是 °． 7. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，直线相交于点O，平分，于O，若，下列说法①；②；③，其中正确的是 ． 8. （22-23七年级下·天津北辰区·期末）直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则 ． 9. （22-23七年级下·天津蓟州区·期末）如图，直线，相交于点O，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． “三线八角”基础定义辨析 1. （23-24七年级下·天津南开·期末）如图，在所标识的角中，下列说法一定正确的是（   ）    A．与是内错角 B．与互余 C．与是同旁内角 D．与互补 2. （21-22七年级下·天津津南·期末）如图，图中的∠1与∠2是（   ）． A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 3. （21-22七年级下·天津南开区·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．① 平行线判定 1. （22-23七年级下·天津滨海新区·期末）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 2. （23-24七年级下·天津河东·期末）如图，下列不能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 3. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（　　） A． B． C． D． 4. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，点E在延长线上，在①，②，③，④这些条件中，能判定的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5. （22-23七年级下·天津部分地区·期末）如图，在下列条件中，能判定的是（　　） A． B． C． D． 6. （22-23七年级下·天津东丽·期末）能判定直线的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 7. （22-23七年级下·天津红桥区·期末）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 平行线性质计算角度 1. （23-24七年级下·天津河西·期末）如图，若，为的平分线，则与相等的角的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2. （21-22七年级下·天津西青·期末）如图，直线，直线分别交，于点E，F，过点F作，交直线于点G．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）如图，直线，相交于点，直线，，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4. （21-22七年级下·天津红桥·期末）如图，，如果，那么（    ）度． A． B． C． D． 5. （24-25七年级下·天津西青·期末）如图，直线分别与直线，相交于点，，射线与直线相交于点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6. （23-24七年级下·天津河东·期末）如图，，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线a，b之间，已知，则的大小是（    ） A．114° B．104° C．124° D．116° 7. （19-20七年级下·天津和平·期末）如图，，则 （    ） A．20° B．60° C．80° D．100° 8. （21-22七年级下·天津红桥·期末）如图，已知，，，则 度．    9. （23-24七年级下·天津河北区·期末）如图，，，则，和的数量关系是 ．    10. （23-24七年级下·天津南开·期末）如图，，，，则 ． 11. （23-24七年级下·天津·期末）如图，，若，则的度数为 ．    12. （22-23七年级下·天津东丽·期末）如图，，，则的度数是 ．    13. （22-23七年级下·天津北辰·期末）已知与的两边分别平行，且、的度数分别为、，则x的值为 ． 34．（23-24七年级下·天津南开·期末）的两边与的两边分别平行，且比的2倍少，则 （度）． 命题判断及基本事实应用 1. （23-24七年级下·天津·期末）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）如图，在灌溉农田时，要把河直线表示一条河中的水引剩农田处，设计了四条路线，，，其中，要使控渠的路线最短，可以选择的路线为（   ）    A． B． C． D． 3. （21-22七年级下·天津河西·期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 4. （23-24七年级下·天津·期末）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 5. （20-21七年级下·天津河北·期末）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种；④不相交的两条直线叫作平行线，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. （23-24七年级下·天津和平·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 7. （24-25七年级下·天津西青·期末）下列命题中真命题是（   ） A．互为相反数的两个数和为0 B．相等的角是对顶角 C．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角 D．同位角相等 8. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 9. （22-23七年级下·天津西青·期末）下列命题： ①互补的两个角一定是邻补角； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； ③两直线平行，同旁内角相等； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 其中真命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 10. （21-22七年级下·天津西青·期末）下列命题： ①两个锐角的和一定是锐角； ②点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ③同旁内角互补； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11. （20-21七年级下·天津和平·期末）下列命题：①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2，PB=3，PC=4，那么点P到直线l的距离是2；④与的两边分别平行，比的3倍少40°，则=125°；是真命题的有（    ） A．１个 B．2个 C．3个 D．4个 作图（包含平移作图） 1. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（    ） A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的 B．线段是点到直线的垂线段 C．点到直线的距离是线段的长 D．点到直线的距离是线段的长 2. （18-19七年级下·天津河东·期末）如图，如果把图中任一条线段沿方格线平移1格称为“1步”，那么要通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（    ） A．5步 B．6步 C．7步 D．8步 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知：在正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，其顶点称为格点．在网格中有（如图），其顶点均在格点上． (1)将平移，使点与点重合，点、的对应点分别是，画出平移后的； (2)连接，则这两条线段之间的关系是______． 4. （23-24七年级下·天津·期末）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：    (1)补全； (2)画出边上的高线，图中的面积是　　； (3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、． 5. （22-23七年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 6. （21-22七年级下·天津滨海新·期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法： ① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1： 李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2． （1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）. （2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ． 平行线的性质及判定（推理填空） 1. （23-24七年级下·天津·期末）如图，为的角平分线，点E，F，G分别在三角形的边上，连接，，． (1)请完成下面证明： ∵（已知）， ∴（________________________________）． ∵（已知）， ∴________． ∴（________________________________）． (2)若，求和的大小． 2. （21-22七年级下·天津滨海新区·期末）推理填空：完成下面的证明过程． 如图，ADEF，∠1+∠2＝180°，DG⊥AC于点G，∠BAC＝90°． 求证：DG平分∠ADC． 证明：∵DG⊥AC（已知）， ∴∠DGC＝90°（_________）． ∵∠BAC＝90°（已知）， ∴∠DGC＝∠BAC， ∴_________AB（_________）， ∴∠BAD＝∠ADG （_________）． ∵ADEF（已知）， ∴∠BAD+_________＝_________（_________）． ∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠BAD＝_________（等量代换）， ∴∠ADG＝_________（等量代换）， ∴DG平分∠ADC （_________）． 3. （24-25七年级下·天津西青·期末）请将下面的推理过程补充完整． (1)如图①，直线，被直线所截，，，求和的大小． 解：∵（已知）， ∴（________）． ∵（已知）， （______）， ∴（________）． ∴（________）． ∴（________）． ∵（已知）， ∴． (2)如图②，点E，F分别在AB，CD上，，垂足为点O，，．求证：． 证明：∵，垂足为点O（已知）， ∴（________）． ∵（已知）， ∴（________）． ∴（_______）． ∴（平角的定义）． ∵（已知）， ∴______（同角的余角相等）． ∴（_______）． 4. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，点，分别在，上，连接，，点在上，连接，已知，，求证：． 证明：（已知） （ ） （同角的补角相等） （ ） （ ） （已知） ∴ （等量代换） ∴ （同位角相等，两直线平行） （ ） 5. （22-23七年级下·天津红桥·期末）按图填空，并注明理由． 已知：如图，． 求证：．    证明：∵（已知）， ∴ （       ）， ∴ （         ），         又∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（       ）． 6. （22-23七年级下·天津西青·期末）请将下面的推理过程补充完整． (1)如图，已知，，分别，相交，，平分，求的度数．    解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）． ∴（_________） (2)如图，，，，分别与，相交，且，求证．    证明：∵（已知）， ∴（_______________）， ∵（______________）， ∴（_______________）． 又（已知）， ∴∠___________=∠_________． ∴（____________）． 7. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，已知三角形中，于点，点，，分别在，，上，且，．求证：．    证明：， ． ， ， 等量代换， ， ， ， 垂直定义， 等量代换 ． 8. （21-22七年级下·天津红桥·期末）如图，、、和和、、分别在同一直线上，且，．求证：． 请把下列证明过程补充完整： 证明：， 又（对顶角相等）， ____________（等量代换）． __________________ （______） 又， （等量代换） ___________（_______） （______） 9. （21-22七年级下·天津西青·期末）请将下面的推理过程补充完整． (1)如图①，已知，求证：． 证明：∵（已知）， 又（____________）， ∴（等量代换）． ∴（____________）． ∴（____________）． (2)如图②，已知分别交直线，于点，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴． 即． ∴____________（____________）． 平行线的性质及判定综合解答题 1. （21-22七年级下·天津河西·期末）已知：如图，，求证：． 2. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）如图，直线平行于直线，直线是，的截线，，连接与交于点，平分，，求证：．    3. （23-24七年级下·天津河西·期末）如图，已知于点H，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 4. （22-23七年级下·天津东丽·期末）已知如图，，被所截，平分，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5. （23-24七年级下·天津河西区·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 6. （23-24七年级下·天津河东·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 7. （23-24七年级下·天津南开·期末）如图．点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，若与互补．过点作，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 8. （23-24七年级下·天津·期末）如图，在三角形中，，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求和的度数． 9. （23-24八年级上·天津·期末）如图，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 10. （22-23七年级下·天津南开·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，点D是直线外一点，连接，过点A作于E，交于点F，过点B作于G，若．求证：平分．    11. （22-23七年级下·河北区·期末）如图，已知， (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 12. （22-23七年级下·天津·期末）如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求和的大小． 13. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，． （Ⅰ）当时，求的度数； （II）求证：． 14. （20-21七年级下·天津南开·期末）已知：如图，． (1)求证：； (2)求的度数． 平移的定义 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）忻州糯玉米，皮薄无渣，口感细腻．如图，将图中的糯玉米通过平移可得到的图为（　　） A． B． C． D． 2. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）2024年5月3日，作为中国探月四期工程的“关键一环”，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭发射成功，它将完成月背采样返回等重要任务．下图中国探月标识以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮圆月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想．在选项的四个图中，能由下图经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3. （21-22七年级下·天津南开·期末）下列现象中，属于平移现象的是（    ） A．方向盘的转动 B．行驶的自行车的车轮的运动 C．电梯的升降 D．钟摆的运动 平移的应用 1. （22-23七年级下·天津·期末）如图，将三角形沿方向平移至三角形，且，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2. （23-24七年级下·天津和平·期末）如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中 点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（     ） A．12 B．18 C．24 D．36 3. （23-24七年级下·天津外国语学校·期末）如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分面积为（    ）    A．6 B．12 C．24 D．18 4. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小路，则下列结论正确的有（    ） A．改造后小路的长度不变 B．改造后小路的长度变小 C．改造后草地部分的面积变小 D．改造后草地部分的面积不变 5. （20-21七年级下·天津南开·期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（　   ） A．100米 B．99米 C．98米 D．74米 6. （22-23七年级下·天津和平区·期末）如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ． 7. （22-23七年级下·天津西青·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形若三角形的周长是，则四边形的周长为 ．    8. （21-22七年级下·天津西青·期末）如图，一块长方形草地的长为，宽为，草地中间有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 ． 9. （20-21七年级下·天津西青·期末）如图，计划在一块长为5m，宽为3m的长方形草坪上．修建宽为1m的纵横相交的两条人行道，则剩余草坪的面积为 m2． 10. （20-21七年级下·天津·期末）如图，边长为的正方形先向上平移再向右平移，得到正方形，则阴影部分面积为 ． 平行线的性质及判定综合解答题（提高） 1. （22-23七年级下·天津·期末）如图所示，已知，直线交于A，交于D，直线交于B，交于C，平分，平分．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 2. （23-24七年级下·天津和平·期末）如图， (1)已知，如图1，点C、D在直线上，．求证：． (2)如图2，，在（1）的条件下，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M． ①若，求的度数； ②若，则 （用α表示）． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数． 4. （21-22七年级下·天津西青·期末）已知直线，直线分别交，于点，，． (1)如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数； (2)如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全符合题意的图形，并求的度数． 平行线与其他学科融合 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）如图，同学们将平行于凸透镜主光轴（图中虚线表示主光轴）的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，由此发现凸透镜的焦点略有偏差，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津·期末）如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．    (1)若，且，求的度数． (2)探究与有什么关系时，光线与光线平行． 3. （20-21七年级下·天津红桥·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（______）． ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等量减等量，差相等）， 即：______＝______（等量代换）， ∴______（______）． （2）显然，改变两平面镜，之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图2中，当两平面镜，的夹角______度时，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．（直接写出结果） 平行线背景综合探究 1. （19-20七年级下·天津滨海新·期末）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 2. （24-25七年级下·天津西青·期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P落在直线外侧，写出与，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，与的平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并利用（3）的结论说明理由． 3. （20-21七年级下·天津东丽·期末）已知：如图1，，．        （1）判断图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明． 4. （18-19七年级下·天津河东·期末）已知，点不在同一条直线上，    （1）如图①，当时，求的度数； （2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下且，，直接写的值 5. （23-24七年级下·天津和平区·期末）已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 6. （21-22七年级下·天津和平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 相交线角度计算 1. （23-24七年级下·天津·期末）如图，直线，相交于点O，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角和邻补角，解题的关键是掌握对顶角相等的性质． 由且可得答案． 【详解】解：且， ， ， 故选：C． 2. （23-24七年级下·天津河北区·期末）如图，于，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直定义可知，由角平分线定义可知，结合即可求解． 【详解】解：∵于， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查垂直的定义及角平分线的定义，掌握垂直的定义及角平分线的定义是解决问题的关键． 3. （22-23七年级下·天津南开·期末）如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角垂直的定义，平角的定义，平分线的定义，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线，垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 4. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）如图，，两条直线相交于点，平分，已知，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角的概念，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关的知识 ．由，可得，，再根据平分，得到，即可求解． 【详解】解：， ，， 平分， ， ， 故答案为：． 5. （23-24七年级下·天津·期末）如图，点O在直线AB上，，，． （1）的大小为 （度）； （2）与相等的角是 ． 【答案】 /138度 【分析】此题考查了垂直的定义，邻补角互补，同角的余角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直得到，然后求出，然后利用邻补角互补得到，然后利用同角的余角相等得到． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵，， ∴ ∴ ∴与相等的角是． 故答案为：，． 6. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，点是直线上一点，已知平分，若，则的度数是 °． 【答案】40 【详解】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系等知识，求出是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义求出，进而可求出的度数． 【解答】解：， ． 平分， ， ． 故答案为：40． 7. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，直线相交于点O，平分，于O，若，下列说法①；②；③，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题．根据角平分线的性质，得出，然后根据对顶角相等，得出，进而得出，从而判断①；根据，，得出，从而判断②；由，即可判断③． 【详解】解：∵于O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∴，②正确； ∴，③正确； 故答案为：①②③． 8. （22-23七年级下·天津北辰区·期末）直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则 ． 【答案】或． 【分析】此题考查了垂线的性质，对顶角相等，几何图形中角度的计算，根据题意分射线在中和射线在中两种情况讨论，然后根据角的和差关系求解即可．解题的关键是熟练掌握垂线的性质，对顶角相等． 【详解】如图所示，当射线在中时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当射线在中时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 9. （22-23七年级下·天津蓟州区·期末）如图，直线，相交于点O，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的相关计算，角平分线的相关计算，对顶角相等等知识． （1）由对顶角相等可得出，由角平分线的定义可得出 （2）由平角的定义得出，由角平分线的定义可得出，再由对顶角相等可得出． 【详解】（1）解：∵ ∴ 又∵平分 ∴ （2）∵， ∴ 又∵平分 ∴ ∴． “三线八角”基础定义辨析 1. （23-24七年级下·天津南开·期末）如图，在所标识的角中，下列说法一定正确的是（   ）    A．与是内错角 B．与互余 C．与是同旁内角 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角、同旁内角、同位角、内错角，根据同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答．同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与为对顶角，，故此选项不符合题意； C、与不是同旁内角，故此选项不符合题意； D、与是邻补角，它们互补，故此选项符合题意． 故选：D． 2. （21-22七年级下·天津津南·期末）如图，图中的∠1与∠2是（   ）． A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】B 【分析】同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据同位角的定义即可得到结论． 【详解】解：根据同位角的定义，结合图形可知： ∠1与∠2是同位角， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同位角的定义，结合图形熟记同位角、内错角、同旁内角和对顶角的定义是解决问题的关键． 3. （21-22七年级下·天津南开区·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．① 【答案】C 【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可． 【详解】图①③中，∠1与∠2是同位角； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同位角的定义，解题关键是掌握同位角的构成形式． 平行线判定 1. （22-23七年级下·天津滨海新区·期末）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； C、不能判定，故本选项不符合题意； D、能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 2. （23-24七年级下·天津河东·期末）如图，下列不能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项符合题意； C、，则，本选项不符合题意； D、，则，本选项不符合题意； 故选：B． 3. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法进行判定即可完成． 【详解】解：由，不能判定， 故A不符合题意； ， ∴， 故B不符合题意； ， ， 故C符合题意； ， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 4. （23-24七年级下·天津和平区·期末）如图，点E在延长线上，在①，②，③，④这些条件中，能判定的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两直线平行．利用平行线的判定方法进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 但无法得出，故①不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故②符合题意； ③∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故③符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④符合题意； 综上，能判定的条件是②③④． 故选：B． 5. （22-23七年级下·天津部分地区·期末）如图，在下列条件中，能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定逐个判断即可． 【详解】解：A．由可判定，不符合题意； B．不能判定图中直线平行，不符合题意； C．由可判定，符合题意； D．由可判定，不符合题意． 故选：C． 6. （22-23七年级下·天津东丽·期末）能判定直线的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A．由，，不能判定直线，故A选项不符合题意； B．由，，不能判定直线，故B选项不符合题意； C．由，，不能判定直线，故C选项不符合题意； D．由，，可得，能判定直线，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 7. （22-23七年级下·天津红桥区·期末）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确； ∵， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确； ∵， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行）， 故④正确． ∴有3个． 故选：C． 平行线性质计算角度 1. （23-24七年级下·天津河西·期末）如图，若，为的平分线，则与相等的角的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等等知识，根据对顶角相等可得出，根据平行线的性质可得出，，根据角平分线的性质得出，等量代换代换可得出． 【详解】解：根据对顶角相等可得出， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，与相等的角有，，，，一共5个， 故选：C． 2. （21-22七年级下·天津西青·期末）如图，直线，直线分别交，于点E，F，过点F作，交直线于点G．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义等知识，先求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）如图，直线，相交于点，直线，，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，再根据垂线的定义得出，最后根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4. （21-22七年级下·天津红桥·期末）如图，，如果，那么（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，根据对顶角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 5. （24-25七年级下·天津西青·期末）如图，直线分别与直线，相交于点，，射线与直线相交于点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意及对顶角相等推出，根据平行线的性质、邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ∴． 故选：D． 6. （23-24七年级下·天津河东·期末）如图，，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线a，b之间，已知，则的大小是（    ） A．114° B．104° C．124° D．116° 【答案】A 【分析】过直角三角板的直角顶点作直线c直线a，根据平行线的性质求出∠4，结合直角三角板的性质求出∠3，再得到∠5，最后根据对顶角相等得到∠2． 【详解】解：如图，过直角三角板的直角顶点作直线c直线a， ∵a∥b ， ∴abc，∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠4=24°，∠3+∠5=180°， ∴∠3=90°-∠4=66°， ∴∠5=180°-∠3=114°， ∴∠2=∠5=114°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的知识，关键在于添加平行线构造相关联的角． 7. （19-20七年级下·天津和平·期末）如图，，则 （    ） A．20° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】由AB∥DE，CF∥AB得CF∥ED，根据平行线的性质得∠FCD=∠CDE，∠ABC=∠BCF，角的和差计算出∠BCD的度数为80°． 【详解】过点C作CF∥AB，如图所示： ∵AB∥DE，CF∥AB， ∴CF∥ED， ∴∠FCD=∠CDE， 又∵∠CDE=60°， ∴∠FCD=60°， 又∵CF∥AB，∠ABC=20°， ∴∠ABC=∠BCF=20°， 又∵∠BCD=∠BCF+∠FCD， ∴∠BCD=80°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是作辅助线构造平行线． 8. （21-22七年级下·天津红桥·期末）如图，已知，，，则 度．    【答案】120 【分析】本题主要考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质求角度是解题的关键． 如图：过作，然后根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：过作，   ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：120． 9. （23-24七年级下·天津河北区·期末）如图，，，则，和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 10. （23-24七年级下·天津南开·期末）如图，，，，则 ． 【答案】80 【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角互补，过点E作，根据平行线的性质得到，，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：80． 11. （23-24七年级下·天津·期末）如图，，若，则的度数为 ．    【答案】/210度 【分析】根据平行线的性质，数形结合找准各个角度之间的关系即可得到答案． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质求角度，熟记两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键． 12. （22-23七年级下·天津东丽·期末）如图，，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得，，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 13. （22-23七年级下·天津北辰·期末）已知与的两边分别平行，且、的度数分别为、，则x的值为 ． 【答案】14或40/40或14 【分析】与的两边分别平行，则有或，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵与的两边分别平行， ∴或， ∵、的度数分别为、， ∴或， 解得或， 故答案为：14或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补． 34．（23-24七年级下·天津南开·期末）的两边与的两边分别平行，且比的2倍少，则 （度）． 【答案】60或100 【分析】本题考查平行线的性质，根据和的两边分别平行，得到和，两种情况，结合角度之间的数量关系，列出方程求解即可．解题的关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，同时考查了方程思想． 【详解】解：∵比的2倍少，设的度数为， 则： ∵和的两边分别平行，有两种情况， ①如图，此时，    ∴， ∴， 即：， ②如图，此时：，    ∴， ∴， ∴， 综上：或； 故答案为：60或100． 命题判断及基本事实应用 1. （23-24七年级下·天津·期末）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 2. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）如图，在灌溉农田时，要把河直线表示一条河中的水引剩农田处，设计了四条路线，，，其中，要使控渠的路线最短，可以选择的路线为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：依题意，要使控渠的路线最短，可以选择的路线为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 3. （21-22七年级下·天津河西·期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行． 【详解】如图：    ∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，善于从问题中抓住问题的本质是关键． 4. （23-24七年级下·天津·期末）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 5. （20-21七年级下·天津河北·期末）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种；④不相交的两条直线叫作平行线，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分别利用平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确； ③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交，平行两种，故③正确； ④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故④错误． 故说法中错误的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理及推论，垂线，平行线的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义，难度不大． 6. （23-24七年级下·天津和平·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】根据对顶角与垂直的含义可判断A，根据点到直线的距离的含义可判断B，根据平行线的性质可判断C，根据垂线的性质可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A．两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直，真命题，符合题意； B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．原来命题为假命题，不符合题意； C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原来命题为假命题，不符合题意； D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来命题为假命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题真假的判断，对顶角的含义，垂直的含义，点到直线的距离的含义，平行线的性质，掌握基础概念与性质是解本题的关键． 7. （24-25七年级下·天津西青·期末）下列命题中真命题是（   ） A．互为相反数的两个数和为0 B．相等的角是对顶角 C．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角 D．同位角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，邻补角的定义，对顶角的定义及相反数的性质． 根据平行线的性质，邻补角的定义，对顶角的定义及相反数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：、互为相反数的两个数和为0，故原命题是真命题，符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； C、若两个角的和为，则这两个角互补，不一定是邻补角，故原命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；． 故选：A． 8. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义，两直线的位置关系，平行线的性质、平行公理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不合题意；     B. 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原命题是假命题，不合题意； C. 两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，不合题意；     D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了判断真假命题，熟练掌握对顶角的定义，两直线的位置关系，平行线的性质、平行公理是解题的关键． 9. （22-23七年级下·天津西青·期末）下列命题： ①互补的两个角一定是邻补角； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； ③两直线平行，同旁内角相等； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 其中真命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念、点到直线的距离的概念、平行线的性质、垂直的定义判断即可． 【详解】解：①互补的两个角不一定是邻补角，故本命题是假命题； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是真命题； ③两直线平行，同旁内角互补，故命题是假命题； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10. （21-22七年级下·天津西青·期末）下列命题： ①两个锐角的和一定是锐角； ②点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ③同旁内角互补； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义判断即可， 【详解】解：①两个锐角的和不一定是锐角，例如，故是假命题； ②点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故是假命题； ③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，是真命题； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题； 故真命题有④，共1个； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是知道判断命题的真假是要熟悉课本中的性质定理． 11. （20-21七年级下·天津和平·期末）下列命题：①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2，PB=3，PC=4，那么点P到直线l的距离是2；④与的两边分别平行，比的3倍少40°，则=125°；是真命题的有（    ） A．１个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据垂线公理，平行线的性质与判定，角平分线的性质，垂线段的概念，三角形内角和概念逐项分析即可 【详解】①同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是垂直公理，不符合题意 ②如图： 分别为的角平分线 ， ②是真命题，符合题意 ③P到直线l的距离是垂线段的长度，命题中没有说明，故不符合题意； ④∵与的两边分别平行， ∴+=180°或者=∠β， ∵比的3倍少40°， ∴=3-40°， 当+=180°时 3-40°+=180°， =55°， 当=∠β时 3-40°=， =20°， ∴= 55°或20°． ④不符合题意； 综上所述②是真命题，共计A个 故选A 【点睛】本题考查了垂线公理，平行线的性质与判定，角平分线的性质，垂线段的概念，三角形内角和概念，熟悉以上概念定理是解题的关键． 作图（包含平移作图） 1. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（    ） A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的 B．线段是点到直线的垂线段 C．点到直线的距离是线段的长 D．点到直线的距离是线段的长 【答案】B 【分析】根据垂线段的定义，点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的，正确，本选项不符合题意； 线段是点到直线的垂线段，错误，应该是线段，本选项符合题意； 点到直线的距离是线段的长，正确，本选项不符合题意； 点到直线的距离是线段的长，正确，本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查垂线段最短，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解点到直线的距离． 2. （18-19七年级下·天津河东·期末）如图，如果把图中任一条线段沿方格线平移1格称为“1步”，那么要通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（    ） A．5步 B．6步 C．7步 D．8步 【答案】A 【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数． 【详解】 解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，最下边的直线向上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步． ∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步． 故选：A． 【点睛】本题考查图形的平移变换的性质，平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外本题要使平移后成为三角形． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知：在正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，其顶点称为格点．在网格中有（如图），其顶点均在格点上． (1)将平移，使点与点重合，点、的对应点分别是，画出平移后的； (2)连接，则这两条线段之间的关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质．熟练掌握平移作图，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所求； （2）解：如图2， 由平移的性质可知，，， 故答案为：，． 4. （23-24七年级下·天津·期末）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：    (1)补全； (2)画出边上的高线，图中的面积是　　； (3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，8 (3)作图见解析 【分析】（1）根据平移方式作图即可； （2）根据三角形高的定义画图即可，再利用分割法求三角形面积即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等，过点A作的平行线，经过的格点即为所求． 【详解】（1）解：如图，把点A、B、C分别向右平移4个单位长度得到点、、，再把点连接得到即所求；    （2）解：延长，过点C作于点D，如图，即为所求；    由图可得，， 故答案为：8； （3）解：如图，格点、、即为所求；    【点睛】本题考查作图−平移变化，熟知平移的性质是解题的关键． 5. （22-23七年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 6. （21-22七年级下·天津滨海新·期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法： ① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1： 李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2． （1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）. （2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ． 【答案】 能 图见解析，同位角相等，两直线平行 【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断； （2）根据题目中所列的方法即可画出图形 【详解】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a； （2）如图所示， 证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行 故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 平行线的性质及判定（推理填空） 1. （23-24七年级下·天津·期末）如图，为的角平分线，点E，F，G分别在三角形的边上，连接，，． (1)请完成下面证明： ∵（已知）， ∴（________________________________）． ∵（已知）， ∴________． ∴（________________________________）． (2)若，求和的大小． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 (2)； 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键． （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据为的角平分线问题可求解． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行； （2）解：∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∵， ∴． 即． ∴． ∵为的角平分线， ∴． 2. （21-22七年级下·天津滨海新区·期末）推理填空：完成下面的证明过程． 如图，ADEF，∠1+∠2＝180°，DG⊥AC于点G，∠BAC＝90°． 求证：DG平分∠ADC． 证明：∵DG⊥AC（已知）， ∴∠DGC＝90°（_________）． ∵∠BAC＝90°（已知）， ∴∠DGC＝∠BAC， ∴_________AB（_________）， ∴∠BAD＝∠ADG （_________）． ∵ADEF（已知）， ∴∠BAD+_________＝_________（_________）． ∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠BAD＝_________（等量代换）， ∴∠ADG＝_________（等量代换）， ∴DG平分∠ADC （_________）． 【答案】垂直的定义；DG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1；180°；两直线平行，同旁内角互补；∠2；∠2；角平分线的定义． 【分析】根据平行线的性质和判定填空即可 【详解】解：证明：∵DG⊥AC（已知）， ∴∠DGC＝90°（垂直的定义）． ∵∠BAC＝90°（已知）， ∴∠DGC＝∠BAC， ∴DG   AB（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BAD＝∠ADG （两直线平行，内错角相等）． ∵ADEF（已知）， ∴∠BAD+∠1 ＝180° （两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠BAD＝∠2 （等量代换）， ∴∠ADG＝∠2 （等量代换）， ∴DG平分∠ADC （角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；DG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1；180°；两直线平行，同旁内角互补；∠2；∠2；角平分线的定义． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的性质和判定是解题的关键． 3. （24-25七年级下·天津西青·期末）请将下面的推理过程补充完整． (1)如图①，直线，被直线所截，，，求和的大小． 解：∵（已知）， ∴（________）． ∵（已知）， （______）， ∴（________）． ∴（________）． ∴（________）． ∵（已知）， ∴． (2)如图②，点E，F分别在AB，CD上，，垂足为点O，，．求证：． 证明：∵，垂足为点O（已知）， ∴（________）． ∵（已知）， ∴（________）． ∴（_______）． ∴（平角的定义）． ∵（已知）， ∴______（同角的余角相等）． ∴（_______）． 【答案】(1)邻补角定义；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 (2)垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；A；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了余角的性质，平行线的判定和性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）先证明，根据两直线平行，同位角相等得出，根据两直线平行，同旁内角互补得出，最后求出即可； （2）根据垂线定义得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，根据余角性质得出，最后根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（邻补角定义）． ∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． （2）证明：∵，垂足为点O（已知）， ∴（垂直定义）， ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（平角的定义）， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 4. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，点，分别在，上，连接，，点在上，连接，已知，，求证：． 证明：（已知） （ ） （同角的补角相等） （ ） （ ） （已知） ∴ （等量代换） ∴ （同位角相等，两直线平行） （ ） 【答案】邻补角定义；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．根据已知和邻补角的定义，可证明，得到，再结合可得，最后根据平行线的性质即可证明． 【详解】解：证明：（已知）， （邻补角定义）， （同角的补角相等）， ，（内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ，（等量代换） ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：邻补角定义；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同旁内角互补． 5. （22-23七年级下·天津红桥·期末）按图填空，并注明理由． 已知：如图，． 求证：．    证明：∵（已知）， ∴ （       ）， ∴ （         ），         又∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（       ）． 【答案】答案见详解 【分析】根据可得，可推出，根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】证明：∵ (已知)， ∴ ( 内错角相等，两直线平行 )， ∴ ( 两直线平行，内错角相等 )， 又∵ (已知)， ∴ ( 等量代换 )， ∴ ( 内错角相等，两直线平行 )． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定的综合，掌握平行线的性质，平行线的判定方法是解题的关键． 6. （22-23七年级下·天津西青·期末）请将下面的推理过程补充完整． (1)如图，已知，，分别，相交，，平分，求的度数．    解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）． ∴（_________） (2)如图，，，，分别与，相交，且，求证．    证明：∵（已知）， ∴（_______________）， ∵（______________）， ∴（_______________）． 又（已知）， ∴∠___________=∠_________． ∴（____________）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，利用角平分线的定义求得的度数，再利用平行线的性质可求解； （2）由平行线的性质可得，再结合对顶角的性质，等量代换可求解，，进而可判定． 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． 平分 （已知）， （角平分线的定义）． （已知）， 两直线平行，内错角相等）； （2）证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （对顶角相等）， （等量代换）． 又（已知）， ． （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 7. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，已知三角形中，于点，点，，分别在，，上，且，．求证：．    证明：， ． ， ， 等量代换， ， ， ， 垂直定义， 等量代换 ． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；； 【分析】根据平行线的判定定理得出．进而证明根据，根据垂直的定义，即可求解． 【详解】证明：， ． 两直线平行，内错角相等， ， 等量代换， 同旁内角互补，两直线平行， ， ， 垂直定义， 等量代换 ． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；；． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及垂线的定义是解题的关键． 8. （21-22七年级下·天津红桥·期末）如图，、、和和、、分别在同一直线上，且，．求证：． 请把下列证明过程补充完整： 证明：， 又（对顶角相等）， ____________（等量代换）． __________________ （______） 又， （等量代换） ___________（_______） （______） 【答案】；；；；两直线平行，同位角相等； ；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：， 又对顶角相等， 等量代换， ， 两直线平行，同位角相等， 又， 等量代换， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，内错角相等． 故答案为：；；；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 9. （21-22七年级下·天津西青·期末）请将下面的推理过程补充完整． (1)如图①，已知，求证：． 证明：∵（已知）， 又（____________）， ∴（等量代换）． ∴（____________）． ∴（____________）． (2)如图②，已知分别交直线，于点，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴． 即． ∴____________（____________）． ∴（____________）． 【答案】(1)对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 (2)同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】（1）证明，推出即可得到结论； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵（已知）， 又（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． （2）证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴． 即． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】本题考查的是逻辑思维推理的训练，平行线的判定与性质，对顶角的性质，掌握简单的逻辑思维推理是解本题的关键． 平行线的性质及判定综合解答题 1. （21-22七年级下·天津河西·期末）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定．熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据，可得，根据平行线的性质可得，根据已知可得，等量代换即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， ， 2. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）如图，直线平行于直线，直线是，的截线，，连接与交于点，平分，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．由可得，根据平分，可得，结合，可得，进而得到，再结合，即可证明． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 3. （23-24七年级下·天津河西·期末）如图，已知于点H，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）连接，设，则，再根据建立方程，解方程可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， 设， ， ， ， 由（1）已得：， ， ， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 4. （22-23七年级下·天津东丽·期末）已知如图，，被所截，平分，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线与平行线综合求角度问题； （1）先根据角平分线的性质得出，，再由可得出，据此可得出结论； （2）先根据对顶角相等得出的度数，由得出的度数，由角平分线的性质即可得出结论． 掌握平行线的判定方法及性质，理解角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ． 5. （23-24七年级下·天津河西区·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， ∴． 6. （23-24七年级下·天津河东·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质与判定． （1）由等量代换得到，即可证明； （2）先证明，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7. （23-24七年级下·天津南开·期末）如图．点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，若与互补．过点作，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）由与互补，可得，进而得到，根据平行线的性质即可证明； （2）由可得，结合题意可得，由，得到，，然后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：与互补， ， ， ， ； （2）， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ． 8. （23-24七年级下·天津·期末）如图，在三角形中，，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）由平行线的性质和已知条件证明，即可证明； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，再由平行线的性质得到，，，再由角之间的关系即可得到答． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 9. （23-24八年级上·天津·期末）如图，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明； （2）由平行的性质得到，求出即可求出答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行的判定与性质，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键． 10. （22-23七年级下·天津南开·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，点D是直线外一点，连接，过点A作于E，交于点F，过点B作于G，若．求证：平分．    【答案】见解析 【分析】由垂直的定义得出，得出，利用平行线的性质和等量代换得出，进而即可得出答案． 【详解】∵于E(已知)， ∴(垂直的定义)，        同理， ∴(等量代换)，          ∴ (同位角相等，两直线平行)，        ∴(两直线平行，同位角相等)， 且(两直线平行，内错角相等)，         又∵(已知)， ∴(等量代换) ，                      ∴平分 (角平分线的定义)．    【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 11. （22-23七年级下·河北区·期末）如图，已知， (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】（1）根据已知条件，先证明，继而得，根据等量代换得，从而得证； （2）由（1）的结论，求得，再根据，求得的余角即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，求一个角的余角，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 12. （22-23七年级下·天津·期末）如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求和的大小． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）证明，结合，可得，从而可得结论； （2）先求解，再求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ． ， ． ∴． （2）∵， ． ， ． ∵， ． ， ． ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 13. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，． （Ⅰ）当时，求的度数； （II）求证：． 【答案】（Ⅰ）；（II）证明见解析． 【分析】（Ⅰ）根据两直线平行，同位角相等即可得； （II）先根据平行线的性质可得，，再根据等量代换即可得证． 【详解】证明：（Ⅰ）， ， ， ； （II）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 14. （20-21七年级下·天津南开·期末）已知：如图，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠C= 【分析】（1）先证明，可得FGB，再证明，从而可得答案； （2）由，可得，再把 代入进行计算即可. 【详解】（1）证明：， ∴， FGB， ， ， ∴； （2）解：由（1）得，， ， ， ∴= ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键. 平移的定义 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）忻州糯玉米，皮薄无渣，口感细腻．如图，将图中的糯玉米通过平移可得到的图为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的应用，熟练掌握平移的定义是解题的关键； 在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，据此解答即可． 【详解】根据平移的定义可知将图中的“糯玉米”通过平移可得到图为第四个； 故选：D． 2. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）2024年5月3日，作为中国探月四期工程的“关键一环”，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭发射成功，它将完成月背采样返回等重要任务．下图中国探月标识以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮圆月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想．在选项的四个图中，能由下图经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平移设计图案，根据平移只改变图形的位置，不改变图形的方向，形状与大小解答，熟练掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的方向，形状和大小是解决此题的关键． 【详解】观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到， 故选：B． 3. （21-22七年级下·天津南开·期末）下列现象中，属于平移现象的是（    ） A．方向盘的转动 B．行驶的自行车的车轮的运动 C．电梯的升降 D．钟摆的运动 【答案】C 【分析】根据平移的定义：把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，这种移动就叫做平移，进行判断即可． 【详解】解：A、方向盘的转动，不是平移，不符合题意； B、行驶的自行车的车轮的运动，不是平移，不符合题意； C、电梯的升降，是平移，符合题意； D、钟摆的运动，不是平移，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，解题的关键在于能够熟练掌握平移的定义． 平移的应用 1. （22-23七年级下·天津·期末）如图，将三角形沿方向平移至三角形，且，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 2. （23-24七年级下·天津和平·期末）如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中 点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（     ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，得到，，得到四边形是长方形，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到， ∴，，， ∴， ∴四边形是长方形， ∵点A对应直尺的刻度为7，点对应直尺的刻度为1， ∴， ∵， ∴四边形的面积是； 故选C． 3. （23-24七年级下·天津外国语学校·期末）如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分面积为（    ）    A．6 B．12 C．24 D．18 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，则利用，得到，然后根据梯形的面积公式求解． 【详解】解：∵沿B到C的方向平移到的位置，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 4. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小路，则下列结论正确的有（    ） A．改造后小路的长度不变 B．改造后小路的长度变小 C．改造后草地部分的面积变小 D．改造后草地部分的面积不变 【答案】D 【分析】根据两点之间，线段最短可判断改造后小路的长度变化；根据平移的性质可判断改造后草地部分的面积变化． 【详解】解：由两点之间，线段最短得：改造后小路的长度变大， 由平移的性质得：笔直小路和弯曲小路的面积相等， 则改造后草地部分的面积不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间，线段最短和平移的性质，正确理解题意，灵活应用平移的性质是解题关键． 5. （20-21七年级下·天津南开·期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（　   ） A．100米 B．99米 C．98米 D．74米 【答案】C 【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（BC-1）×2，求出即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（BC-1）×2， ∵长AB=50米，宽BC=25米， ∴从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为：50+（25-1）×2=98（米）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 6. （22-23七年级下·天津和平区·期末）如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果． 【详解】解：向右平移得到， ，， 四边形的周长， 即四边形的周长的周长， 故答案为：20． 7. （22-23七年级下·天津西青·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形若三角形的周长是，则四边形的周长为 ．    【答案】19 【分析】利用平移的性质得出，，，，进而求出答案． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到三角形， ， 三角形的周长为， ， 四边形的周长为：． 故答案为：19． 【点睛】此题主要考查了平移的性质，正确利用平移的性质得出对应线段是解题关键． 8. （21-22七年级下·天津西青·期末）如图，一块长方形草地的长为，宽为，草地中间有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 ． 【答案】80 【分析】利用平移的性质，将被小路隔开的两块“绿地”拼一起得到长为10m，宽为8m的长方形即可． 【详解】解：如图，利用平移的性质，将被小路隔开的两块“绿地”拼一起可得图2， 图2是长为10m，宽为8m的长方形， 所以面积为10×8=80（m2）， 故答案为：80． 【点睛】本题考查平移，理解平移的性质是解决问题的关键． 9. （20-21七年级下·天津西青·期末）如图，计划在一块长为5m，宽为3m的长方形草坪上．修建宽为1m的纵横相交的两条人行道，则剩余草坪的面积为 m2． 【答案】8 【分析】依据平移变换，剩余草坪可以组成一个长为4米，宽为2米的长方形，即可得到其面积． 【详解】解：剩余草坪的面积为4×2＝8 m2， 即剩余草坪的面积为8 m2． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平移变换的运用，在平面内把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 10. （20-21七年级下·天津·期末）如图，边长为的正方形先向上平移再向右平移，得到正方形，则阴影部分面积为 ． 【答案】32 【分析】由平移的性质可得阴影部分为一个长方形，根据平移的性质分别求出DF和GD，即可求得阴影部分面积． 【详解】设CD与的交点为F，与AD的交点为G，如图， 由题可知：AG=2,CF=6, 重叠部分为长方形， ∴ , ∴S阴影=, 故填：32． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键． 平行线的性质及判定综合解答题（提高） 1. （22-23七年级下·天津·期末）如图所示，已知，直线交于A，交于D，直线交于B，交于C，平分，平分．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）由可得，再根据平分，即可得到结论； （2）过点E作，则，从而得，同理得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：过点E作，则， ∵，由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴    【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，关键是掌握；两直线平行，内错角相等. 2. （23-24七年级下·天津和平·期末）如图， (1)已知，如图1，点C、D在直线上，．求证：． (2)如图2，，在（1）的条件下，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M． ①若，求的度数； ②若，则 （用α表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可证明； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数．②类比①的方法可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴； （2）解：①∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴． ②∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）解：证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 4. （21-22七年级下·天津西青·期末）已知直线，直线分别交，于点，，． (1)如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数； (2)如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全符合题意的图形，并求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出再求从而可得结论； （2）分两种情况讨论：如图，当在的右边时，如图，当在的左边时，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解： ， 平分， （2）如图，当在的右边时， 如图，当在的左边时， ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的含义，画出符合题意的图形，清晰的分类讨论都是解本题的关键． 平行线与其他学科融合 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）如图，同学们将平行于凸透镜主光轴（图中虚线表示主光轴）的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，由此发现凸透镜的焦点略有偏差，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，先根据两直线平行、同旁内角互补，求出，再根据邻补角和为180度计算的度数． 【详解】解：如图， 由题意知， ，， ， ，， ， ， 故选：D 2. （22-23七年级下·天津·期末）如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．    (1)若，且，求的度数． (2)探究与有什么关系时，光线与光线平行． 【答案】(1) (2)当时，光线与光线平行 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据题意得出，根据平行线的性质可得，进而根据平角的定义，即可求解； （2）根据（1）的方法可得，，当时，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解，， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ．    （2）当时，光线与光线平行． 理由如下： ，， ． 同理． ， ． 3. （20-21七年级下·天津红桥·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（______）． ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等量减等量，差相等）， 即：______＝______（等量代换）， ∴______（______）． （2）显然，改变两平面镜，之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图2中，当两平面镜，的夹角______度时，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．（直接写出结果） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行；（2）90 【分析】（1）求出∠5=∠6，根据平行线的判定得出即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠2+∠3=90°，求出∠EAC+∠FCA=180°，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）证明：如图1，∵AB∥CD（已知）， ∴∠2=∠3 （两直线平行，内错角相等）， ∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， ∴∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换）， ∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4（等量减等量，差相等）， 即：∠5=∠6（等量代换）， ∴m∥n （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等，∠5，∠6，m∥n，内错角相等，两直线平行； （2）∠ABC=90°， 理由是：如图，∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=180°-90°=90°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=80°， ∴∠EAC+∠FCA=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=180°， ∴AE∥CF． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 平行线背景综合探究 1. （19-20七年级下·天津滨海新·期末）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 2. （24-25七年级下·天津西青·期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P落在直线外侧，写出与，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，与的平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并利用（3）的结论说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点P作，根据平行线的性质求出，，即可得出答案； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后得出答案即可； （3）由（2）可知，．根据角平分线定义得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作，则有． ∵，， ∴． ∴， ∴． （2）解：关系：． 理由：如图，过点P作，则有． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：关系： 理由：由（2）可知，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 3. （20-21七年级下·天津东丽·期末）已知：如图1，，．        （1）判断图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析． 【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可； （2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可． 【详解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL， 证明如下：∵∠1=∠AMN， ∴∠1+∠2=180°， ∴∠AMN+∠2=180°， ∴AB∥CD； 延长EF交CD于F1， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EF1L， ∵∠AEF=∠HLN， ∴∠EF1L=∠HLN， ∴EF∥HL； （2）∠P=3∠Q， 证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB， ∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD， ∴∠RQN=∠QND， ∴∠MQN=∠QMB+∠QND， ∵AB∥CD，PL∥AB， ∴AB∥CD∥PL， ∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND， ∴∠MPN=∠PMB+∠PND， ∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND， ∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND， ∴∠MPN=3∠MQN， 即∠P=3∠Q； 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键． 4. （18-19七年级下·天津河东·期末）已知，点不在同一条直线上，    （1）如图①，当时，求的度数； （2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下且，，直接写的值 【答案】（1）120°；（2）2∠AQB+∠C=180°；（3）∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°. 【分析】（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数； （2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=(∠CBE-∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°； （3）由（2）的结论可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数. 【详解】   解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE． ∵CF∥AD∥BE， ∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B， ∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=180°-(118°-58°)=120°． （2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE． ∵QM∥AD，QM∥BE， ∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ． ∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE， ∴∠NAD=∠CAD，∠EBQ=∠CBE， ∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD)． ∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB， ∴2∠AQB+∠C=180°． （3）∵AC∥QB， ∴∠AQB=∠CAP=∠CAD，∠ACP=∠PBQ=∠CBE， ∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE． ∵2∠AQB+∠ACB=180°， ∴∠CAD=∠CBE． 又∵QP⊥PB， ∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°， ∴∠CAD=60°，∠CBE=120°， ∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°， 故∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°. 【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB=180°-(∠B-∠A)；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义找出∠AQB=(∠CBE-∠CAD)；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求出∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数． 5. （23-24七年级下·天津和平区·期末）已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）过点O作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可． 【详解】（1）证明：过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作， ∴，， ∴． 6. （21-22七年级下·天津和平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 【答案】(1)0，2；5，2 (2)存在， (3)不会改变， 【分析】（1）由平移的性质可得出答案； （2）设，根据面积关系可得出的方程，解方程可得出答案； （3）求出由平移的性质求出则可得出答案． 【详解】（1）如图1，点向上移2个单位，向右平移a个单位得到， 则，， 此时C点坐标为， 同时上平移2个单位右平移2个单位得D点， 则D点坐标为， 故答案为：； （2）存在． 如图1，∵Q为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵P点在线段上， ∴设， ∵， ∴． ∴， 解得； 此时符合题意． （3）在转动过程中，的值不会改变．如图2， ∵， ∴， ∵射线以速度绕点A顺时针旋转至停止， ∴， 即， ∵射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为， ∴此时，， 同时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、平行线的判定与性质、三角形面积、梯形面积公式等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$