2026届高三数学一轮复习单元过关练5：平面向量、复数

平面向量、复数 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·浙江名校联考]已知i为虚数单位，则在复平面上对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.[2025·嘉兴模拟]在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且＝2，＝3，记＝a，＝b，则＝(　　) A.－a＋b B.a＋b C.a－b D.－a＋b 3.[2025·郑州模拟]已知a＝(－3，4)，b＝(2，2)，则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A. B.(，) C.(1，1) D. 4.[2025·广东六校联考]设复数z＝＋i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，下列结论中错误的是(　　) A.z＝1 B.z2＝ C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根 D.满足zn∈R的最小正整数n为3 5.[2025·盐城模拟]已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝(　　) A.1 B. C.2 D. 6.[2025·衡水三模]已知e1，e2是单位向量，e1·e2＝－，则e1＋2e2与e2的夹角为(　　) A. B. C. D. 7.[2025·哈尔滨模拟]复数z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，把r(cos θ＋isin θ)叫做复数a＋bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cosn θ＋isinn θ)(n∈N*)，例如：(－＋i)3＝(cos＋isin)3＝cos 2π＋isin 2π＝1， (1＋i)4＝((cos＋isin))4＝4(cos π＋isin π)＝－4，复数z满足：z3＝1＋i，则z可能取值为(　　) A.(cos ＋isin ) B.(cos ＋isin ) C.(cos ＋isin ) D.(cos ＋isin ) 8.[2025·茂名模拟]如图，已知正六边形ABCDEF的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则·的取值范围为(　　) A.[－24，16] B.[0，32] C.[－32，0] D.[－12，0] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·南通模拟]已知z1，z2都是复数，下列正确的是(　　) A.若z1＝2，则z1z2∈R B.若z1z2∈R，则z1＝2 C.若|z1|＝|z2|，则z＝z D.若z＋z＝0，则|z1|＝|z2| 10.[2025·杭州模拟]如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，＝，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若＝x＋y，则(　　) A.＝＋ B.·＝ C.·存在最大值 D.x＋y的最大值为1＋ 11.[2024·潍坊二模]已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则(　　) A.1≤|c|≤ B.(c－a)·(c－b)的最大值为 C.－1≤b·c≤1 D.若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·辽阳模拟]写出一个满足①z2的实部为5；②z的虚部不为0这两个条件的复数z＝________. 13.[2025·潍坊模拟]如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(＋)·(＋)＝________. 　 14.[2025·天津河西区模拟]如图，动点C在以AB为直径的半圆O上(异于A，B)，DC⊥BC，DC＝BC，AB＝2，|－|＝________；·的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2024·济宁模拟]已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π]. (1)若z1，z2∈R，且z1＞z2，求t的值； (2)若z1＝z2，求θ. 16.(15分)[2024·聊城模拟]如图，在平面直角坐标系中，三个向量，，满足条件：||＝2||＝2||＝2，与的夹角为α，且tan α＝2，与的夹角为45°. (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点P为线段OC上的动点，当·取得最小值时，求点P的坐标. 17.(15分)[2025·张家口模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边BC上一点，且满足(＋)·＝0. (1)证明：AD＝b； (2)若AD为内角A的平分线，且＝＋，求sin A. 18.(17分)[2023·镇江模拟]数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知AB＝2，O为BC的中点，点P，Q分别在弧AC、弧AB上，设∠PBC＝∠ACQ＝θ. (1)当θ＝时，求||； (2)求·的取值范围. 19.(17分)[2025·徐州模拟]通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1，z2)(z1，z2∈C)看作一个向量，记a＝(z1，z2)，则称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a＝(z1，z2)，b＝(z3，z4)，z1，z2，z3，z4，λ∈C，我们有如下运算法则： ①a±b＝(z1±z3，z2±z4)；②λa＝(λz1，λz2)；③a·b＝z13＋z24；④|a|＝. (1)设a＝(i，1＋i)，b＝(2，2－i)，求a＋b和a·b. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①a·b＝b·a；②a·(b＋c)＝a·b＋a·c.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若a＝(2i，1)，集合Ω＝{p|p＝(x，y)，y＝2x＋1，x，y∈C}，b∈Ω.对于任意的c∈Ω，求出满足条件(a－b)·(b－c)＝0的b，并将此时的b记为b0，证明对任意的b∈Ω，不等式|a－b|≥|a－b0|恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题(不需要证明). 参考答案 1.A　[＝＝，其在复平面上对应的点的坐标为(，)，位于第一象限.故选A.] 2.A　[因为＝2，＝3， 所以＝－＝－＝ －＋＝－a＋b.故选A.] 3.D　[向量a在向量b上的投影向量为·＝b＝(2，2)＝(，)，故选D.] 4.B　[对于A，z·＝(＋i)(－i)＝1，故A正确； 对于B，z2＝(＋i)2＝－＋i， ＝－i，z2＝－，故B错误； 对于C，(＋i)2－(＋i)＋1＝ －＋i－－i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确； 对于D，z＝＋i，z2＝－＋i，z3＝z2·z＝－(－i)(＋i)＝－1，故D正确.故选B.] 5.D　[由|a－b|＝，可得a2－2a·b＋b2＝3，① 由|a＋b|＝|2a－b|，可得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0， 代入①得b2＝3，解得|b|＝，故选D.] 6.A　[(e1＋2e2)2＝e＋4e1·e2＋4e＝1－2＋4＝3，故|e1＋2e2|＝. (e1＋2e2)·e2＝e1·e2＋2e＝－＋2＝，设e1＋2e2与e2的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，故θ＝，故选A.] 7.D　[设z＝r(cos θ＋isin θ)，则z3＝1＋i＝(cos ＋isin )＝r3(cos 3θ＋isin 3θ)， 所以r＝，3θ＝2kπ＋，k∈Z，即θ＝＋，k∈Z， 所以z＝[cos(＋)＋isin(＋)]，k∈Z， 故k＝2时，θ＝，故z可取(cos ＋isin )，故选D.] 8.C　[连接OM，OC，设〈，〉＝θ，依题意，AD＝8，OC＝4，〈，〉＝，则 ·＝·(－)＝·－·＝8×2cos θ－8×4 cos ＝16cos θ－16，由θ∈[0，π]，得－1≤cos θ≤1，所以－32≤·≤0.故选C.] 9.AD　[设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 对于A，若z1＝2，则z1＝c－di，故z1z2＝c2＋d2∈R，故A正确； 对于B，当z1＝z2＝i时，z1z2＝－1∈R，2＝－i≠z1，故B错误； 对于C，当z1＝1，z2＝i时，z＝1，z＝－1，故C错误； 对于D，若z＋z＝0，则z＝－z，所以|z|＝|－z|＝|z|， |z|＝|a2－b2＋2abi|＝＝＝a2＋b2＝|z1|2， 同理|z|＝|z2|2，所以|z1|2＝|z2|2，所以|z1|＝|z2|，故D正确.故选AD.] 10.ABC　[对于A，因为＝，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，所以OA＝OD＝DC＝AC，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 则·＝(＋)·(＋) ＝2＋2＋·＝2＋2＋×3×3×＝，故B正确； 如图，以点O为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B(－，)，C(－2，0).因为点P在以AD的中点O为圆心，OA＝1为半径的单位圆上，且在x轴的下半部分， 所以设P(cos α，sin α)，α∈[π，2π]， 则＝(cos α＋，sin α－)， 又＝(－，－)， 所以·＝－cos α－－sin α＋＝－3cos(α－)＋6. 因为α∈[π，2π]，所以α－∈[，]， 所以当α－＝π，即α＝时，·取得最大值9，故C正确； 因为＝x＋y，＝(，－)， 所以(cos α＋，sin α－)＝ x(，－)＋y(－，－)， 即(cos α＋，sin α－)＝((x－y)，－(x＋y))， 所以sin α－＝－(x＋y)， 所以x＋y＝－sin α＋1. 因为α∈[π，2π]，所以当α＝时，x＋y取得最大值＋1，故D错误.故选ABC.] 11.BCD　[对A，设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根据|c－a|＝有＝， 即(x－1)2＋y2＝，为圆心为(1，0)，半径为的圆，又|c|＝的几何意义为原点到圆(x－1)2＋y2＝上(x，y)的距离，则≤|c|≤，故A错误； 对B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y ＝(x－)2＋(y－1)2－，则转化为求圆(x－1)2＋y2＝上的点到(，1)的距离最大值， 为(＋)2－＝(＋)2－＝，故B正确； 对C，b·c＝2y，因为－≤y≤，故－1≤b·c≤1，故C正确； 对D，因为(x－1)2＋y2＝，可设x＝＋1，y＝，又因为c＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝， λ＋μ＝＋1＋＝(cos θ＋sin θ)＋1＝sin(θ＋φ)＋1， 故当sin(θ＋φ)＝－1时，其中tan φ＝2，λ＋μ取最小值1－，故D正确.故选BCD.] 12.3＋2i(答案不唯一)　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，依题意可得a2－b2＝5，b≠0，故可取a＝3，b＝2，z＝3＋2i.(答案不唯一)] 13.12π2　[由题图知，A(，1)，B(，－1)，C(，1)，D(，－1)， 所以＝(，1)，＝(，－1)， ＝(，1)，＝(，－1)， 所以＋＝(2π，0)，＋＝(6π，0)， 所以(＋)·(＋)＝2π×6π＋0×0＝12π2.] 14.2　2　[由题意可知O为AB的中点，且||＝1， 则|－|＝|＋|＝2||＝2； 设∠BOC＝2θ，θ∈(0，)，作DE⊥OE，交OC的延长线于E， 在△BOC中，BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos 2θ＝2－2cos 2θ＝4sin2θ， 故BC＝2sin θ，则DC＝2sin θ， ∠OCB＝＝－θ，又DC⊥BC，故∠DCE＝θ， 则CE＝DCcos θ＝2sin θcos θ＝sin 2θ， 故·＝||·||cos∠DOE＝OC·OE＝1×(1＋sin 2θ)＝1＋sin 2θ， 当θ＝时，·＝1＋sin 2θ取到最大值2.] 15.解　(1)∵z1∈R，∴t2－1＝0，t＝±1. ∵z2∈R，∴2cos θ＋1＝0，cos θ＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 又z1＞z2，则t＞sin θ＝sin ＝， 故t＝1. (2)∵z1＝z2，∴t＝sin θ， 且t2－1＝2cos θ＋1， 则sin2θ－1＝2cos θ＋1，则cos2θ＋2cos θ＋1＝0， 即(cos θ＋1)2＝0，得cos θ＝－1，所以θ＝π. 16.解　(1)由tan α＝2知α为锐角， 则sin α＝，cos α＝， 故cos(45°＋α)＝－， sin(45°＋α)＝， 故点A，B，C的坐标分别是(2，0)， ，. (2)设＝t(0≤t≤1)， 由(1)知， ＝t＝， ＝， ＝， 故· ＝－t＋ ＝－， 又∵0≤t≤1， ∴当t＝时，·有最小值为－， 此时点P的坐标为. 17.(1)证明　记CD的中点为E，则＋＝2，因为(＋)·＝2·BC＝0， 所以AE⊥BC，所以AE为CD的垂直平分线，所以AD＝AC＝b. (2)解　记∠CAD＝θ，因为＝＋，所以－＝2(－)， 所以＝2，BD＝a，DC＝a，又AD为内角A的平分线，所以＝＝2，c＝2b， 在△ACD，△ABD中，分别由余弦定理得： b2＋b2－2b2cos θ＝，b2＋4b2－4b2cos θ＝，联立可得a2＝， 在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝，所以sin A＝＝. 18.解　 (1)当θ＝时，设BP与CQ的交点为M，连接OQ，OP，PQ， 则CQ⊥AB， BP⊥AC， 故∠QMP＝∠BMC＝， BM＝，MP＝MQ＝2－， 故QP＝2×MP＝ ＝2－2， 即||＝2－2. (2)·＝(＋)·(＋) ＝－1＋·＋·＋· ＝－1＋2cos＋2cos θ＋2×2×＝sin θ＋3cos θ－3 ＝2sin－3， 由θ∈，得θ＋∈， 故sin∈， 则·∈. 即·的取值范围是. 19.解　(1)由a＝(i，1＋i)，b＝(2，2－i)， 得a＋b＝(2＋i，3)，a·b＝i×2＋(1＋i)(2＋i)＝1＋5i. (2)设a＝(z1，z2)，b＝(z2，z4)，c＝(z5，z6)，z1，z2，z3，z4，z5，z6，λ∈C， 则a·b＝z13＋z24，b·a＝z31＋z42，故①a·b＝b·a不成立， b＋c＝(z3＋z5，z4＋z6)，a·b＝z13＋z24，a·c＝z1·5＋z26， a·(b＋c)＝z1z3＋z＋z2z4＋z，因为z3＋z＝3＋5，z4＋z＝4＋6， 所以a·(b＋c)＝z1(3＋5)＋z2(4＋6)＝z13＋z24＋z15＋z26＝a·b＋a·c，故②正确； (3)设满足条件的b＝(z1，2z1＋1)，c＝(z2，2z2＋1)，z1，z2∈C， 则a－b＝(2i－z1，－2z1)，b－c＝(z1－z2，2z1－2z2)，因为z1－z2为任意的复数，不妨设z3＝z1－z2且z3∈C，由定义可得(2i－z1)3＋(－2z1)×23＝0，即(5z1－2i)3＝0，即5z1－2i＝0， 所以z1＝i，则b0＝(i，i＋1)， 以下证明对任意的b∈Ω，不等式|a－b|≥|a－b0|恒成立，只需计算|a－b|的最小值. 不妨令b＝(m＋ni，2m＋1＋2ni)，则a－b＝(－m－(n－2)i，－2m－2ni)， 则|a－b|＝， ＝＝， 当m＝0，n＝时，取得最小值，此时b＝(i，i＋1)与之前得到的b0相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量a∉Ω，b∈Ω，若对于任意的c∈Ω，当且仅当(a－b)·(b－c)＝0时，|a－b|取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$