精品解析：河南省许昌市襄城县部分学校2025届高三三模数学试题

2025届高三数学模拟测试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模长公式、复数的除法化简复数，结合共轭复数的定义和复数的概念可得出结果. 【详解】依题意，，所以， 故复数的实部为. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的交集定义求出. 【详解】由，可得 ，， 故. 故选：D. 3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 4. 已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，从而得到，即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，即， 所以双曲线的离心率. 故选：B 5. 已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可得答案. 【详解】易得， 由正态分布的对称性可得， 故.. 故选：D 6. 设等比数列公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的下标性质和前项和公式求解即可； 【详解】当时，由题意得解得或； 当时，，不满足，不符合题意； 所以符合条件的数列的个数是， 故选：C. 7. 已知三个电流瞬时值的函数表达式为，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先化简为，再根据函数图象求出参数，进而写出解析式即可. 【详解】由题意知， ， 根据图象知，，所以直线是的一条对称轴，且是最大值， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 所以的最大值为2， 故选：D. 8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，分和两种情况，利用导数判断函数单调性，进而根据最值求解即可. 【详解】由题意可知，且， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 故，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内的最小值为，解得， 此时在内的最大值为， 且，可得，即，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：注意特值，即，进而分和两种情况讨论即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则中边上高的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由余弦定理求出判断A，再由正弦定理求出判断B，由诱导公式及同角三角函数基本关系式求出后判断C，最后由等积法求出边上的高判断D. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，即， 或（舍去），，故A正确； 在中，由正弦定理得， 即，解得，故B不正确； ，为锐角，， 又，.故C正确； 由， 在中，由余弦定理得： ， 解得， 又的面积为， 设中边上高的长度为，可得，可得， 的边上高的大小为.故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的平行六面体中，，点 分别是的中点，对角线与平面交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线和直线所成角的余弦值等于 D. 三棱锥的体积是平行四六面体的体积的 【答案】AB 【解析】 【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断AC，利用空间向量法可得面，再求正三棱锥的高，即可判断B，利用割补法判断D； 【详解】解：依题意以，，作为空间的一组基底，则 所以 所以，故A正确； 设直线和直线所成的角为，则，故C错误； 因为，所以 ，即，同理可证，，面，所以面，即面，即为正三棱锥的高，因为，所以，所以，故B正确；，其中，所以，故D错误； 故选：AB 11. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数的点） C. 曲线上存在一点，使得到点的距离小于1 D. 曲线所围成区域的面积大于4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对称性判断A，结合图形判断整点判断B，应用两点间距离公式判断C，结合三角形面积公式计算判断D. 【详解】方法一：，代入则，即曲线不是关于对称， ，整点，，，共4个，B对． 设，，C错． 如图，曲线所围成区域的面积大于4，D对， 方法二：对于A，在曲线上，关于的对称点，而不在曲线上， 曲线不关于直线对称，A错． 对于B，由，当时，；当时，； 当时，，舍；当时，也舍，当时， 曲线上恰有4个整点及，B正确． 对于C，设为曲线上的点，， 到的距离，C错． 对于D，曲线关于轴对称，考察曲线在第一象限与轴围成的面积，为曲线第一象限上任一点，在曲线上， ，也在曲线上，且时， ，当且仅当或1时取“＝”， 始终在上方，即在直线上方； 且时，， 当且仅当时取“＝”，始终在直线上方，曲线所围区域面积，D正确， 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数性质求得，二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． 【详解】由题意可得，求得， 故展开式的通项公式为， 令，求得，得展开式的常数项为， 故答案为：． 13. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，若取到的是合格品，则此合格品由第1车间生产的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先要根据两个车间生产成品的比例确定从两个车间取到产品的概率，再根据各车间的次品率算出各车间生产合格品的概率，然后用全概率公式算出取到合格品的总概率，最后用贝叶斯公式计算在取到合格品的条件下，该合格品是由第1车间生产的概率. 【详解】设{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第车间生产的产品}，，2， 则， 由题意可得，， ，， 由全概率公式可得. 则此合格品由第1车间生产的概率是. 故答案为：. 14. 已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，直线，分别交抛物线C的准线于P，Q两点，若，，则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】设，则可用所设坐标表示、，设出直线方程，联立曲线方程，借助韦达定理计算即可得. 【详解】设，则，同理， 设直线，联立直线与抛物线， 可得，， 则， 所以. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先作辅助线，根据一条直线垂直于平面里两条相交的直线可得到线面垂直，根据线面垂直得到面面垂直，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 取的中点为一点，连接，如图所示： 因为为等腰直角三角形，， 所以,， 因为点S在以为直径的半圆上， 所以， 因为，， 所以， 又平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 以点为原点，所在的直线分别为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示： 因为，点S在以为直径的半圆上， 所以， 由（1）可得，所以， 所以，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数. （1）若 ①求的极小值； ②证明：当时，； （2）若的图象与直线切于点，求的值. 【答案】（1）①极小值为0；②证明见解析； （2）3 【解析】 【分析】（1）①利用导数判断函数的单调性，再求极值即可； ②利用当时，,，可得，结合①，可得结论. （2）求的导数，根据导数和切线斜率的关系求解即可. 【小问1详解】 ①的定义域为，当时，，， 令，得或（舍去） 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 在处取得极小值，极小值为； ②由①可得在处取得最小值，最小值为， ， 当时，，所以，，所以， . 【小问2详解】 ，由题意得 ， 消去得，令， 因为函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， ，将代入，得. 17. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，离心率（为椭圆半焦距），三角形面积公式，再结合椭圆中来确定椭圆方程. （2）先求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据垂直平分线的性质、正方形的性质来求解的值. 【小问1详解】 已知，，， 则的面积，解得. 因离心率，，所以. 又因为，，，所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立得. 根据韦达定理，，. 计算， 从而得到线段中点坐标为. 然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为， 根据点斜式可得垂直平分线方程为， 进而得到点. 最后根据四边形为正方形时： 则 展开得 进一步化简为 将，代入得，， 整理得，解得. 18. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 19. 已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质． （1）判断下列数列是否具有性质； ①4，3，2，1；②1，2，3，5，4． （2）已知数列具有性质，求的最小值； （3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①不具有性质，②具有性质 （2）的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）①求出即可求解；②求出即可求解； （2）证明，证明与的奇偶性相同，证明为偶数，根据求出的取值范围，求出的最小值； （3）证明，根据数列具有性质求出，记，求出，证明时，，求出满足题意的数列. 【小问1详解】 ①由题意得，，，， 因为，所以数列不具有性质； ②由题意得，，，，， 所以数列具有性质； 【小问2详解】 由已知，设，其中， 可得， 又，所以， 即， 因为，所以， 所以与的奇偶性相同， 因为， 所以为偶数， 又，所以， 又数列， 此时，， 综上，的最小值为； 【小问3详解】 由已知，，且， 则， 因为数列具有性质，即， 所以， 记，所以， 因， 所以， 当时，， 所以， 当时，数列， 此时， ，， 所以数列满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于证明与的奇偶性相同，证明为偶数，（3）关键在于根据数列具有性质求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学模拟测试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 5 已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个电流瞬时值的函数表达式为，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（ ） A B. C. D. 若，则中边上高的长度为 10. 如图，在棱长为2的平行六面体中，，点 分别是的中点，对角线与平面交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线和直线所成角的余弦值等于 D. 三棱锥的体积是平行四六面体的体积的 11. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数点） C. 曲线上存在一点，使得到点的距离小于1 D. 曲线所围成区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是_____. 13. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，若取到的是合格品，则此合格品由第1车间生产的概率是________. 14. 已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，直线，分别交抛物线C的准线于P，Q两点，若，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知函数. （1）若 ①求的极小值； ②证明：当时，； （2）若的图象与直线切于点，求的值. 17. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 18. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 19. 已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质． （1）判断下列数列是否具有性质； ①4，3，2，1；②1，2，3，5，4． （2）已知数列具有性质，求的最小值； （3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$