培优专题 第六章 平行四边形02 坐标系中平行四边形的存在性问题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 02 坐标系中平行四边形的存在性问题 “一线三直角”全等三角形模型 条件 点P在直线AB上，∠1＝∠2＝∠3=90°，且AP＝BD(或AC＝BP或CP＝PD) 模型特点 一线：经过三个直角顶点；三直角：∠1＝∠2＝∠3=90°；含相等的线段 模型图示 同侧 异侧 直线上的点的坐标表示 ·平行于x轴的直线设为y=b，该直线上的动点P可设为(m，b)；（m为任意实数） ·平行于y轴的直线设为x=a，该直线上的动点P可设为(a，m)；（m为任意实数） ·设一次函数为y=kx+b(k≠0)，该一次函数上的动点P的坐标可设为(m，km+b)．（m为任意实数） 解平行四边形存在性问题的一般步骤 所有平行四边形存在性问题基本都可以利用上述的坐标模型求解，具体步骤如下： 第一步：坐标表达：写出或设出平行四边形四个顶点的坐标； 第二步：①分类讨论动点位置：“三定点”图形中以对角线为分类标准分三种情况讨论；“两定点”图形中，分别以这两点组成的线段为边或为对角线分两种情况讨论；②列方程求坐标：根据对角线互相平分，表示出中点坐标，再利用上述模型分情况建立等式解方程，求四个顶点的坐标；（常用） 第三步：检验求出的点是否符合题意或能否构成平行四边形. 【核心笔记】 项目 若A，B，C，D四点构成平行四边形，求未知点的坐标 方法 方法一：利用平行四边形对边平行且相等 方法二：利用平行四边形对角线互相平分(中点坐标相同) 公式 直线上存在点与已知点构成平行四边形（两动点） 例1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】已知直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求点的坐标． (2)为轴上的一点，为上的一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求满足条件的点坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于点A、B，直线与直线交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4． (1)求直线的函数解析式： (2)将沿x轴方向平移，在y轴上存在点E，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标，并直接写出平移方式． 平行四边形的存在性问题——动点坐标表示与方程思想的应用 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； (3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C，D． (1)求直线的函数关系式及点A的坐标； (2)设点，若，求a的值及点C的坐标； (3)将直线向上平移3个单位长度得直线l，在直线上有一点E，直线l上有一点F，是否存在，使以O、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 平面内存在点与已知点构成平行四边形（单动点） 例3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【变式3】如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 图形的翻折或旋转变换与平行四边形的存在性问题 例4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象与x轴交于A点． (1)A点坐标为 ； (2)一次函数图象上是否存在一点C，使得四边形是平行四边形？如存在，求出C点坐标．若不存在，说明理由； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． (1)填空：________； (2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积； (3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． ※【变式4-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时， ①求出点D的坐标； ②试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，则周长的最小值为______； (3)如图2，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将沿射线方向平移个单位，平移后的记为． ①点P的坐标为______，点坐标为______． ②在平面内是否存在一点Q，使得以点，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 2.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，直线 与轴交于点，与 轴交于点 ，与直线交于点．    (1)已知不等式的解集为，求的值； (2)点是轴上一点，点是直线上一点，若以点，，为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标． ※3．（24-25八年级下·湖南·期中）定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 02 坐标系中平行四边形的存在性问题 “一线三直角”全等三角形模型 条件 点P在直线AB上，∠1＝∠2＝∠3=90°，且AP＝BD(或AC＝BP或CP＝PD) 模型特点 一线：经过三个直角顶点；三直角：∠1＝∠2＝∠3=90°；含相等的线段 模型图示 同侧 异侧 直线上的点的坐标表示 ·平行于x轴的直线设为y=b，该直线上的动点P可设为(m，b)；（m为任意实数） ·平行于y轴的直线设为x=a，该直线上的动点P可设为(a，m)；（m为任意实数） ·设一次函数为y=kx+b(k≠0)，该一次函数上的动点P的坐标可设为(m，km+b)．（m为任意实数） 解平行四边形存在性问题的一般步骤 所有平行四边形存在性问题基本都可以利用上述的坐标模型求解，具体步骤如下： 第一步：坐标表达：写出或设出平行四边形四个顶点的坐标； 第二步：①分类讨论动点位置：“三定点”图形中以对角线为分类标准分三种情况讨论；“两定点”图形中，分别以这两点组成的线段为边或为对角线分两种情况讨论；②列方程求坐标：根据对角线互相平分，表示出中点坐标，再利用上述模型分情况建立等式解方程，求四个顶点的坐标；（常用） 第三步：检验求出的点是否符合题意或能否构成平行四边形. 【核心笔记】 项目 若A，B，C，D四点构成平行四边形，求未知点的坐标 方法 方法一：利用平行四边形对边平行且相等 方法二：利用平行四边形对角线互相平分(中点坐标相同) 公式 直线上存在点与已知点构成平行四边形（两动点） 例1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【知识点】一次函数与几何综合、已知图形的平移，求点的坐标、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 【变式1-1】已知直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求点的坐标． (2)为轴上的一点，为上的一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、利用平行四边形的判定与性质求解、求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，平行四边形的性质与判定．熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系和分类讨论是解题的关键． （1）先用待定系数法求出直线的解析式，再联立两函数解析式求解即可求解； （2）①当为平行四边形的边时，i)当在上方时，则有，ii)当在下方时，则有，②当为平行四边形的对角线时，则有，分别 求出点Q坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴， 联立，得，解得：， ∴； （2）解：∵ ∴， 分两种情况： ①当为平行四边形的边时，i)当在上方时，如图， ∵ ∴，， ∴点Q的横坐标为3， 把代入，得， ∴； ii)当在下方时，如图， ∵ ∴，， ∴点Q的横坐标为， 把代入，得， ∴， ②当为平行四边形的对角线时，则有， 连接交于C， ∵ ∴点C是、的中点， ∴ ∴ ∴ 把代入，得， ∴， 综上，以为顶点的四边形为平行四边形时， 点坐标为或． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于点A、B，直线与直线交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4． (1)求直线的函数解析式： (2)将沿x轴方向平移，在y轴上存在点E，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标，并直接写出平移方式． 【答案】(1) (2)或 向右平移3个单位或向左平移11个单位或向左平移5个单位 【知识点】一次函数与几何综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查一次函数的综合应用，平行四边形的性质： （1）求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出平面内一个点，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，再将点沿轴平移至点即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为； 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得：， 所以 则直线的函数解析式：； （2）解：设存在一个点，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，设点的坐标为， ∵，当时，， 解得：， ∴点A的坐标为． 若使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：    ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 所以的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为（11，4）； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为或或． 把点沿轴移动到轴，得到或，即将向右平移3个单位或向左平移11个单位或向左平移5个单位，得到点或，则：以A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形． 平行四边形的存在性问题——动点坐标表示与方程思想的应用 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； (3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质： （1）先求出A、B坐标，进而根据面积为10求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 同理可知直线解析式为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【变式2】（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C，D． (1)求直线的函数关系式及点A的坐标； (2)设点，若，求a的值及点C的坐标； (3)将直线向上平移3个单位长度得直线l，在直线上有一点E，直线l上有一点F，是否存在，使以O、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或； (3)或 【分析】（1）把点代求得b即可直线的函数关系式，再令即可求得点A的坐标； （2）先确定B点坐标为，则，再表示出点C的坐标为，点D的坐标为，则有，然后解方程即可； （3）由平移的性质可得，设E点坐标为，F点坐标为，然后分为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平行四边形的对角线相互平分列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代可得，解得：， ∴直线的函数关系式为， 令可得，解得：， ∴点A的坐标为． （2）解：把代入可得， ∴B点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，， ∴，解得：或1， 当时，，则点C的坐标为：； 当时，，则点C的坐标为：； ∴点C的坐标为或． （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得直线l， ∴直线l的解析式为， 由题意可得：, 设E点坐标为，F点坐标为， 当为平行四边形的一边时，四边形为平行四边形， 则有：，解得：； ∴; 当为平行四边形的一边时，四边形为平行四边形， 则有：，解得：； ∴; 当为平行四边形的对角线时，四边形为平行四边形， 则有：，解得：； ∴; 综上，点F的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与几何的综合、一次函数的平移、平行四边形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 平面内存在点与已知点构成平行四边形（单动点） 例3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点、坐标，可求得△的周长，再联立方程组求得点坐标，根据坐标平移规律可求得点坐标； （2）作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令，可求得点坐标； （3）分三种情况：①当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，②当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，根据平行四边形的性质，利用平移的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解：对于函数 ， 当时， ， 当时，，解得：， 、， 在中，， 的周长为， 联立，解得， 点坐标为， 又将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点， 点坐标为； （2）解：作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 即当最小时，点的坐标为； （3）解：分三种情况： ①当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， ∵， ∴，， ∵， ∴向右平移2个单位，向上平移3个单位，可得， ∵ ∴， ②当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； ③当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； 综上，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查直线与坐标轴交点，两直线交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，平移的坐标变换，最短路径问题，熟练掌握一次函数的图象性质，平行四边形的性质是解题的关键，注意分类讨论． 【变式3】如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据平行四边形的对角线互相平分列方程求出点的坐标． 点和点的坐标代入，用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 设点的坐标为，根据平行线四边形的对角线互相平分，可得关于、的方程组，解方程组求出 、的值即可．本题中需要分情况讨论． 【详解】（1）解：一次函数经过点和点， 可得：， 解得：， 一次函数的解析是； （2）解：存在，点的坐标为或或， 如下图所示， 当是平行四边形的对角线时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 如下图所示， 当是平行四边形的一条边且点在点上方时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 如下图所示， 当是平行四边形的一条边且点在点下方时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或或． 图形的翻折或旋转变换与平行四边形的存在性问题 例4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象与x轴交于A点． (1)A点坐标为 ； (2)一次函数图象上是否存在一点C，使得四边形是平行四边形？如存在，求出C点坐标．若不存在，说明理由； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)的坐标为或或． 【分析】（1）由一次函数解析式，令可求得点的坐标； （2）由两点距离可求得、的长，根据四边形为平行四边形即可得点坐标，进而即可判断； （3）分三种情况，以直角三角形的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 当时，， 解得， 点坐标为， 故答案为：； （2）解：存在一点，使得四边形是平行四边形，如图， ，，， ， ，， ， 当时，， 点在一次函数的图象上， 存在一点，使得四边形是平行四边形，点坐标为； （3）解：由题意可知；，， ①旋转后，若轴，连接，成四边形，如图， ， 四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为； ②旋转后，若的中点在轴上，成四边形，如图2， ， ， 四边形构成平行四边形 作轴交于， 则，， 点的坐标为； ③旋转后，若轴，成四边形，如图， 又， 四边形构成平行四边形 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了旋转的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，题中运用直角三角形的勾股定理知识，求出线段的长是解题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． (1)填空：________； (2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积； (3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可； （2）设，则，求出，根据四边形是平行四边形，可得出，求出x的值即可求解； （3）分类讨论，当D在y轴的左侧和右侧，根据折叠的性质、等角对等边等可得出，构建方程求解即可． 【详解】（1）解∶对于， 当时，； 当时，，解得， ∴，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：5； （2）解：如图， 设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的面积为； （3）解：当D在轴左侧时，如图， ， ∵翻折， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； ∴D的坐标为或； 当D在y轴的右侧，如图， 同理， 设，则， ∴， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上，D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． ※【变式4-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时， ①求出点D的坐标； ②试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，则周长的最小值为______； (3)如图2，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将沿射线方向平移个单位，平移后的记为． ①点P的坐标为______，点坐标为______． ②在平面内是否存在一点Q，使得以点，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①点，点；②点的坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①设点的坐标为，则点，根据列方程，解得，即可求出的坐标；②过点作直线的对称点，过点作轴的对称点，则点，连接交直线于点，交轴于点，则点、为所求点，此时的周长最小，进而求解； （3）①由“”可证，可得，，可得点，可得求出直线的表达式为，即可求解；②求出直线的表达式为，再分为对角线、为对角线、是对角线三种情况，利用中点坐标公式，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线得：，解得，故点， 设直线的表达式为，将、代入得，解得， 故直线的表达式为； （2）解：①设点的坐标为，轴， 则点，，解得， 点、； ②过点作直线的对称点，如图所示： 由直线的表达式知，该直线和坐标轴的夹角为，连接，则为等腰直角三角形，则，故点， 过点作轴的对称点，则点，连接交直线于点，交轴于点，则点、为满足条件的点，此时的周长最小，由图形的对称性知，，，则的周长为最小值， 由两点之间距离公式可得； （3）解：①如图，点的对应点，， 直线与轴交于点，则点， 同理可得，点、的坐标分别为、，则， 将直线绕点逆时针旋转得到直线，则，， 则点的坐标为， 过点作轴于点，如图所示： ，， ， ，， ， ，， 点； 设直线的表达式为，将、代入得，解得， 直线的表达式为， 点是直线上一点，到轴的距离为2且位于第一象限， 当时，，即点； 由（1）知，直线， 将先向右平移个单位、向上平移个单位，相当于将沿射线方向平移个单位， 将沿射线方向平移个单位，即向右平移了4个单位、向上平移了2个单位， 点； ②点、、， 设点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：，且，解得，即； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，且，解得，即； 当是对角线时，由中点坐标公式得：，且，解得，即； 点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了待定系数法确定函数关系式，一次函数的性质，两点之间距离公式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移、旋转与对称，中点坐标公式等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握一次函数图像与性质及相关几何知识是解决问题的关键． 1.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：若四边形是平行四边形， 则，， ∵是的中位线， ∴， ∴， 此时点G和点H分别同时运动到的中点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴点G运动到的中点所需时间， 同理，点H运动到的中点所需时间， ∴时，点G和点H分别同时运动到的中点， ∴时，四边形是平行四边形． 2.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，直线 与轴交于点，与 轴交于点 ，与直线交于点．    (1)已知不等式的解集为，求的值； (2)点是轴上一点，点是直线上一点，若以点，，为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）根据图象可得代入可得，再根据直线 与直线 交于点，结合不等式的解集为，可得点C的横坐标为1，得到方程得解为，代入求解即可； （2）先求得点C坐标，设，根据平行四边形的性质，分为对角线和为对角线两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得代入可得 解得：， 与直线交于点，且不等式的解集为， 点C的横坐标为1， 方程得解为，则， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，则， ， 设， 如图， ∵， ∴点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：    若为对角线，则平行四边形中，， 解得，则， ∴； 若为对角线，则平行四边形中，， 解得，则， ∴， 综上，满足条件的点Q坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与坐标轴的交点、平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． ※3．（24-25八年级下·湖南·期中）定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)3 (3)（ⅰ）或；（ⅱ）存在，或或或 【分析】本题主要考查一次函数的基本性质，利用平行四边形的性质求解，理解新定义“沉毅函数”，进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意确定，然后将点E代入求解即可； （2）根据题意整理得，然后代入一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”，确定点M和N的纵坐标分别为3和1，确定其横坐标为，即可求解； （3）（ⅰ）根据题意确定，分别代入两个一次函数得出，然后分两种情况分析：当时，即时，当时，即时，结合一次函数的性质求解即可； （ⅱ）根据题意确定，得出的“沉毅函数”为，然后分两种情况分析：当以为边，当以为对角线时，分别利用平行四边形的性质列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数为“沉毅函数”， ∴， 将点代入得：； （2）根据题意得：点坐标在上， ∴， ∴， ∴一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”为：， ∵，，，， ∴点M和N的纵坐标分别为3和1， ∴当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； ∴， ∴； （3）（ⅰ）∵， ∴， ∴，， ∴， 当时，即时，y随x的增大而增大， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 当时，即时，y随x的增大而减小， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 综上可得：或； （ⅱ）根据题意，联立得：， 解得：， ∴， ∴的“沉毅函数”为， 当以为边，当点H在上时， 设， ∵，， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 当以为对角线时，点H在上时， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 综上可得：或或或 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$