第六章 平行四边形（单元检测）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

第六章 平行四边形单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．观察如图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 2．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 3．如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 5．如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 7．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 9．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为42 D．当时，的面积为24 10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．在四边形中，，若，则的度数是 ． 12．如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点；②过点作直线，交于点．如果的周长为26，那么的周长是 ． 13．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 14．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则 ． 15．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 16．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 18．如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 20．【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    21．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 22．大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 23．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 试卷第28页，共28页 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．观察如图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边的判定，根据判定四边形为平行四边形的条件逐一判定即可，熟知判定平行四边形的条件是解题的关键． 【详解】解：图1，根据四边形的内角和，可知第四个角为， 图1不是平行四边形； 图2，只能判断一组对边平行，其他条件不具备，不能判定其为平行四边形； 图3，根据一组对边平行且相等，证明其为平行四边形， 故选：A． 2．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 3．如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，再利用平行四边形的性质得到，则可判断为等边三角形，作于，利用含度的直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形沿翻折，得到， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为等边三角形， 如图，作于， 在中，， ， ， 即的高是． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得． 【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点， ∵八边形为正八边形， ∴正八边形的每个内角为， ∵， ∴在五边形中，， 由入射角等于反射角得：， ∴，即， ∴在五边形中，， 同理可得：， ∴在五边形中，， 故选：A． 6．如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全能三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键.根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证明，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． 故选：B． 7．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 8．如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、勾股定理等知识，连接，由四边形是平行四边形得到，证明是的中位线，是的中位线，得到，，证明，得到，由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】解：要求的长，只需知道线段的长，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵点分别是上的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要求的长，只需知道线段的长， 故选：D． 9．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为42 D．当时，的面积为24 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息．根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得，由勾股定理求出，求出，进而求出的面积可判断D． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A不正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B不正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C不正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D正确，符合题意． 故选：D． 10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．在四边形中，，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键．先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形对角相等即可得到答案． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 故答案为： 12．如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点；②过点作直线，交于点．如果的周长为26，那么的周长是 ． 【答案】52 【分析】由图知是线段的中垂线，据此可得，结合，利用平行四边形的性质可得答案．本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键. 平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分． 【详解】解：由图知是线段的中垂线， ∴， ∵的周长为26， ∴， 则的周长， 故答案为． 13．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案． 【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】根据三角形中位线定理结合得出，再结合，即可推出结果． 本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：、F、G分别是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 又， ， ， 又， ， 故答案为： 15．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】11 【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， ∴， ∵n是整数， ∴， 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组． 16．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，交的延长线于点，如图； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先证出，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据定理即可得证； （2）取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后设，则，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图，取的中点，连接， ∵，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，即， 解得， ∴的长为2． 19．如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质求出，根据垂直可得，，证得，得，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得，，根据勾股定理求出，即可根据平行四边形的面积公式得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 20．【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080 【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：   ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 21．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标； （2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案； （3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ， 当时，，解得， ， 将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段， ； （2）解：线段平移得到线段， ，且； 四边形是平行四边形， ， 延长交轴于点，如图所示： 设， 将代入得， ， 当时，，解得， ， ， ， ； （3）解：连接相交于点，如图所示： 设， 将代入得，解得：， ， 联立，解得， 点坐标为， 将代入直线，解得． 【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 22．大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 【答案】(1)能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 (2)正方形（答案不唯一） (3)2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） (4)1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【详解】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）解：4个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 23．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8或8或9.6 (3)的长为8 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为8； （4）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 试卷第28页，共28页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$