培优专题 第六章 平行四边形01（知识盘点+9题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 第六章 平行四边形 01 平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 平行四边形的性质定理 【核心笔记】 性质 类别 定理内容与几何表述 边 平行四边形的对边平行、对边相等 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=CD、AD=BC 角 平行四边形的对角相等、邻角互补 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO，BO=DO 对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 周长 ①等于两邻边和的2倍，即2(AB＋BC)； ②对角线分得的4个小三角形中： 相邻两个小三角形的周长之差＝平行四边形两邻边之差，即|AB－AD| 面积 ①边长×该边上的高，即S▱ABCD＝BC·h(h为BC边上的高)； ②过平行四边形对称中心的直线平分该平行四边形的面积 补充说明：（1）平行四边形的性质定理中：边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，，得出，证明，得出，求出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 已知：如图，在平行四边形中，延长至点，延长至点，使得，连接，与对角线交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，进而可得，，，即可证明，得到，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． （23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，，进一步得到，由，得到，证明，即可得到，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2024·陕西榆林·三模）如图，E，F分别为的边，的中点，G，H是对角线上的两点，且，连接，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质推出．由线段中点定义得到，由，得到，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别为，的中点， ， ， ， ， 在 和 中， ， ． 平行四边形的判定 【核心笔记1】 判定 类别 判定方法 几何表述 边 ①定义法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD、AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形 对角线 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD为平行四边形 *角 *⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，∴四边形ABCD为平行四边形 已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质等知识，熟练正确平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．先由平行四边形的性质得，，则，再证，得，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【核心笔记2】 （1）在证明平行四边形时优先考虑使用定义法； （2）根据已知条件，找剩下条件： 判定平行四边形的具体方法 已知 判定方法 一组对边平行 ①定义法：说明另一组对边平行（两组对边分别平行） ②说明这组对边相等（一组对边平行且相等） 一组对边相等 ①说明另一组对边相等（两组对边分别相等） ②说明这组对边平行（一组对边平行且相等） 一条对角线有中点O 说明O是另一条对角线的中点 其它条件 转化为可直接用平行四边形判定定理的条件 （24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质推出，再证出，由即可得出，由全等三角形的性质得出，结合，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ， ， 在和中， ； ， ， 四边形是平行四边形． 平行线间的距离 【核心知识】 平行线间的距离定义 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. （注：距离是指垂线段的长度，是正值） 平行线间的距离性质及推论 ①夹在两条平行线间的平行线段相等 ②夹在两条平行线间的垂线段相等 ∵l1∥l2，AB∥CD，∴AB=CD ∵l1∥l2，EF⊥l2 ，GH⊥l2，∴EF=GH 平行四边形的周长为25，对边的距离分别为2cm、3cm，则这个平行四边形的面积为(     ) A．15cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．50cm2 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】∵平行四边形的两组对边的距离分别是2cm、3cm， ∴平行四边形的较短边与较长边的比是2：3． 又平行四边形的周长是25cm， ∴平行四边形的较短边5cm，较长边是7.5cm． 则平行四边形的面积是5×3=15（cm2）． 故选A． 三角形的中位线 ·三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ·性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. （24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【答案】8 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 【补充】 三角形的中位线 类别 位置与数量关系 中位线 性质定理 三角形有三条中位线，每一条与第三边平行，并且等于第三边的一半 几何表述：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC、DE=AC，DF∥BC、DF=BC，EF∥AB、EF=AB 推论1 三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形 几何表述：≌≌≌ 推论2 每个小三角形的面积为原三角形面积的 几何表述：S△ADF = S△DBE = S△FEC = S△EFD = S△ABC 如图，在中，，点D、E、F分别是的边、、的中点，连接、、，则图中与全等的三角形（不含）共有 个． 【答案】3 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定，结合中位线的定义以及性质可得出，再由和有条公共边利用即可证得，同理即可证出，，由此即可得出结论． 【详解】解：D、E、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证得: ，， ∴图中与全等的三角形是，共3个， 故答案为：3． 多边形内角和、外角和 ·多边形与正多变形的性质： n边形的性质 (n≥3) 内角和 n边形的内角和为(－2)·180°(≥3)　                     　   外角和 n边形的外角和为360°（与边数的多少无关）　         　   边数 n边形的边数＝ 对角线 过n边形的一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有条对角线 内角和定理的应用 ①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数 正n边形的性质 边 每条边都相等 内角 每一个内角都相等，为 外角 每一个外角都相等，为 对称性 ①当n是奇数时，仅是轴对称图形； ②当n是偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形 （2025·陕西安康·二模）如图，五边形是正五边形，连接、，则的度数是 ． 【答案】/36度 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．先求出多边形的内角度数，再根据等边对等角的性质，得出，同理可得，，即可求出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， 内角度数为，， ， 同理可得，， ， 故答案为：． 平行四边形中角平分线的应用 平行四边形＋角平分线→等腰三角形. ①一条角平分线可得等腰三角形(如图①)，AB＝BE； ②一条角平分线可得等腰三角形、等角关系(如图②)，AF＝AE，BC＝BF，DE＝DC； ③两条角平分线可得等腰三角形、平行四边形(如图③)，AB＝AF＝CE＝CD，四边形BEDF是平行四边形 与平行四边形对称中心有关的面积比问题 问题：如图，点O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则＝  　. 【正确解答】 如图，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDE'，连接EE'. ∵△CDE'与△ABE关于点O对称，BE＝3，∴BE＝DE'＝3.∵AD＝7，∴AE'＝4.设▱ABCD的边AD上的高为h，则△AEE'的边AE'上的高也等于h，则. 【方法总结】 对于平行四边形、矩形、菱形和正方形，过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分.如图，AE＝CF，DE＝BF，△AOE≌△COF，S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 两条对角线将平行四边形的面积四等分，S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S△AOD 判定一个四边形为平行四边形 例1．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，再由可知，进而可证四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质推出，，进而有． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【变式1-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形，，平分交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是平行四边形、等边三角形的判定和性质 【分析】（）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得，则，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （）先证明为等边三角形，由性质得，最后由平行四边形的性质即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）由（）得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（）得四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式1-2】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，连接．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，然后根据即可证明； （2）先证明，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵是边的中线， ∴， ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形． 【变式1-3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质、平行四边形的判定与性质，证明垂直平分线线段是解题关键． （1）首先证明垂直平分线段，即，易得，然后证明结论即可； （2）首先根据平行四边形的性质可得，再结合垂直平分线的性质可得，，根据三角形面积公式求得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段，即， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴，， ∵，即， 解得， ∴． 【解题技巧反思】 平行四边形的判定思路 利用平行四边形的性质求解 例2．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，首先根据平行四边形的对角线互相平分，可得：，，根据勾股定理的逆定理可得：，利用勾股定理可求，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可得：，从而可求点到的距离． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， 设点到的距离为， ， ， 解得：． 故选：B． 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在中， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·陕西渭南·一模）如图，的对角线AC、BD交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质．设，根据平行四边形的性质，得到，再根据三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 例3．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】/2.5 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质，平行四边形的性质以及三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得出，由等边三角形的性质得，延长交于点H，利用“”证明可得，，证出是等边三角形，最后求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，G为的中点， ∴， 延长交于点H， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【解题技巧反思】 利用平行四边形的性质进行求解 ①将平行四边形与三角形结合，大多数问题是在平行四边形中解三角形（联系全等和勾股定理）； ②利用等面积法求一边上的高； ③在不能直接求边长的三角形里，可运用方程思想. 根据多边形的性质解角度 例4．（2025·陕西咸阳·一模）正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】/48度 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键； 根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案． 【详解】解：在正六边形和正五边形中， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解答本题的关键． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 【变式4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的顶点B、C分别在正方形的边上，若，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】正多边形的内角问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是正多边形的有关计算；求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出，再根据正多边形的性质计算． 【详解】正六边形的内角的度数 则 ， 故答案为：6． 【变式4-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，为正八边形和正方形的一条公共边，点A、E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据角的和差求出的度数，再根据等腰三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵正八边形的每个内角的度数为， 正方形的每个内角的度数为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-4】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】正多边形的内角问题、平面镶嵌 【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：， ∵， ∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角， ∴用记号表示为：； 故答案为：． 例5．（2025·陕西·模拟预测）如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为 ．    【答案】/120度 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据对顶角相等可得，，由此即可得． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵在四边形中，， ∴， 由对顶角相等得：，， ∴， 故答案为：． 【变式5】如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是 ． 【答案】40 【知识点】多边形外角和的实际应用、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 延长交于点H，根据，，得到，结合，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：40． 在折叠问题中运用平行四边形的性质求解 例6．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可． 【详解】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 【变式6-1】如图，在平行四边形中，，，将沿翻折至，连接．当长为 时，是直角三角形． 【答案】6或4或3 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，分三种情况，利用含的直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答，关键是根据平行四边形的性质和含的直角三角形的性质解答． 【详解】①如图1，延长，交于点G，当时， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 由翻折知：， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴G为中点， ∴， ∴， ②如图2，设与相交于点F，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，A，在同一直线上， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ③如图3，当时，记与交于点O， 由折叠可知，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， 在中，，，， 综上所述，的长为6或4或3， 故答案为：6或4或3． 【变式6-2】（2025·四川广元·二模）如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ． 根据折叠的性质知，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平行四边形纸片中， ，， 将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等腰直角三角形． 则重叠部分的面积是 ．    【答案】9 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，由，得，，则，所以，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 例7．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理， （1）由四边形是平行四边形得，，，由折叠得，可得，即可得，则，即可得； （2）作交的延长线于点H，根据得．根据点落在上得，则，即可得，根据，，，得，，则，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，则，根据，即可得； 掌握平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作交的延长线于点H， ∵， ∴． ∵点落在上， ∴， ∴， 则． ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴的长是． 【解后反思】 在翻折问题中解三角形注意两点: (1)翻折前后图形全等——对应边相等; (2)应用勾股定理+方程思想解直角三角形. 根据三角形中位线求边长 例8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，，、、分别是、、的中点，若，则的周长是 ． 【答案】15 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，，，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：、分别是、的中点， ，， ， 同理可得：，， ， ，， 为等边三角形， 的周长为15， 故答案为：15 【变式8-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，由平行四边形的性质得，，，，，则，，而，则，所以，由，，得，则，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，结合题意求出，即可得证； （2）证明，得出，由，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 例9．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明见解析 (3)图见解析，的度数为或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 根据平行四边形的性质确定顶点坐标 例10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质可得，，结合点的坐标即可得出，点和点的纵坐标相等，从而即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，，， ∴，点和点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故选：A． 【变式10-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．根据平行四边形性质以及点的平移性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为， 则点D的坐标为， 故选：D． 【变式10-2】如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，过作轴于，根据勾股定理得到，根据勾股定理得到，再根据平行四边形的性质即可求解，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过作轴于，如图， ∵点的坐标分别为、， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， 同理， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， 故选：． 利用平行四边形的性质转化线段求最值问题（重要、填空压轴题高频考点） 例11．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 【变式11-1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，以，为边作，则对角线的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的特征；设的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小，根据平行四边形的性质得到，利用30度直角三角形性质求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设、交于点， ∵在中，，， ∴当时，最小，即最小． 在中，，，， ∴， ， ， ∴， ， ，即， （负值舍去）， ． 故答案为：． 【变式11-2】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形性质、垂线段最短等知识点，确定的最小值成为解题的关键，先利用勾股定理算出，再根据垂线段最短可得当时，的长的最小；再根据平行四边形的性质可知,即的长的最小值就是线段长的最小值，据此即可解答即． 【详解】解：∵，， ， 根据垂线段最短可得当时，的长的最小； ∴,即, 解得：， ∵在中， ∴， ∴的长的最小值就是线段长的最小值． 故答案为：． 例12．如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中位线性质，连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得当点与点重合时最大，最大值为，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， 在中，，，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意得，当点与点重合时最大，最大值为， ∴长度的最大值为， 故答案为：． 根据平行四边形的性质解面积问题 例13．如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键． 连接，先求出的面积，根据平行四边形的性质求出的面积，根据求出的面积，同理得到的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵点O是的中点， ∴点O在上，且点O是的中点， ∴的面积＝的面积， ∵， ∴的面积＝的面积， 再由旋转性质同理可得，的面积， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 【变式13-1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，若的面积为20，则阴影区域的面积为 ． 【答案】5 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质易得，进而得到，又由 即可得出结论． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的面积为20， ∴， 故答案为：5． 【变式13-2】如图，在中，点D，E，F，G分别为边，，，的中点，已知的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形的中位线得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， ∵点E，F分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∵点D，G分别为边，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 综合实践 例14．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 1．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，相交于点，点在对角线上，连接，，，．则下列条件中不一定能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质逐项分析即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，故B不符合题意； 不能判定，故不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等；由平行四边形的性质得，由折叠的性质得，由勾股定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， 由翻折得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 3.如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质求解、用SAS证明三角形全等（SAS）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，再根据平行的性质得到，然后再通过全等三角形的判定证明从而得到，即可证明． 【详解】证明：∵，； ∴四边形是平行四边形； ∴； ∴； ∵O为AC的中点； ∴； ∴在和中； ； ∴（）； ∴； ∴； 即． 3.（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，点E、F为的边上两点，连接并延长交的延长线于点G，点H为上一点，连接、、，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若F、H分别为、的中点，，，，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）先证明，，可得，再证明，，再进一步可得结论； （2）先求解，可得，证明是的中位线；从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵F、H分别为、的中点， ∴是的中位线； ∴； ∴； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，掌握几何基础知识是解本题的关键． 4.（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论； （）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论； （）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解． 【详解】证明：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图，过作于， 则， 由（）可知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 第六章 平行四边形 01 平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 平行四边形的性质定理 【核心笔记】 性质 类别 定理内容与几何表述 边 平行四边形的对边平行、对边相等 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=CD、AD=BC 角 平行四边形的对角相等、邻角互补 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO，BO=DO 对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 周长 ①等于两邻边和的2倍，即2(AB＋BC)； ②对角线分得的4个小三角形中： 相邻两个小三角形的周长之差＝平行四边形两邻边之差，即|AB－AD| 面积 ①边长×该边上的高，即S▱ABCD＝BC·h(h为BC边上的高)； ②过平行四边形对称中心的直线平分该平行四边形的面积 补充说明：（1）平行四边形的性质定理中：边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 已知：如图，在平行四边形中，延长至点，延长至点，使得，连接，与对角线交于点．求证：． （23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：． （2024·陕西榆林·三模）如图，E，F分别为的边，的中点，G，H是对角线上的两点，且，连接，．求证：．    平行四边形的判定 【核心笔记1】 判定 类别 判定方法 几何表述 边 ①定义法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD、AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形 对角线 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD为平行四边形 *角 *⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，∴四边形ABCD为平行四边形 已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形． 【核心笔记2】 （1）在证明平行四边形时优先考虑使用定义法； （2）根据已知条件，找剩下条件： 判定平行四边形的具体方法 已知 判定方法 一组对边平行 ①定义法：说明另一组对边平行（两组对边分别平行） ②说明这组对边相等（一组对边平行且相等） 一组对边相等 ①说明另一组对边相等（两组对边分别相等） ②说明这组对边平行（一组对边平行且相等） 一条对角线有中点O 说明O是另一条对角线的中点 其它条件 转化为可直接用平行四边形判定定理的条件 （24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形． 平行线间的距离 【核心知识】 平行线间的距离定义 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. （注：距离是指垂线段的长度，是正值） 平行线间的距离性质及推论 ①夹在两条平行线间的平行线段相等 ②夹在两条平行线间的垂线段相等 ∵l1∥l2，AB∥CD，∴AB=CD ∵l1∥l2，EF⊥l2 ，GH⊥l2，∴EF=GH 平行四边形的周长为25，对边的距离分别为2cm、3cm，则这个平行四边形的面积为(     ) A．15cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．50cm2 三角形的中位线 ·三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ·性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. （24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【补充】 三角形的中位线 类别 位置与数量关系 中位线 性质定理 三角形有三条中位线，每一条与第三边平行，并且等于第三边的一半 几何表述：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC、DE=AC，DF∥BC、DF=BC，EF∥AB、EF=AB 推论1 三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形 几何表述：≌≌≌ 推论2 每个小三角形的面积为原三角形面积的 几何表述：S△ADF = S△DBE = S△FEC = S△EFD = S△ABC 如图，在中，，点D、E、F分别是的边、、的中点，连接、、，则图中与全等的三角形（不含）共有 个． 多边形内角和、外角和 ·多边形与正多变形的性质： n边形的性质 (n≥3) 内角和 n边形的内角和为(－2)·180°(≥3) 外角和 n边形的外角和为360°（与边数的多少无关） 边数 n边形的边数＝ 对角线 过n边形的一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有条对角线 内角和定理的应用 ①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数 正n边形的性质 边 每条边都相等 内角 每一个内角都相等，为 外角 每一个外角都相等，为 对称性 ①当n是奇数时，仅是轴对称图形； ②当n是偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形 （2025·陕西安康·二模）如图，五边形是正五边形，连接、，则的度数是 ． 平行四边形中角平分线的应用 平行四边形＋角平分线→等腰三角形. ①一条角平分线可得等腰三角形(如图①)，AB＝BE； ②一条角平分线可得等腰三角形、等角关系(如图②)，AF＝AE，BC＝BF，DE＝DC； ③两条角平分线可得等腰三角形、平行四边形(如图③)，AB＝AF＝CE＝CD，四边形BEDF是平行四边形 与平行四边形对称中心有关的面积比问题 问题：如图，点O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则＝. 【正确解答】 如图，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDE'，连接EE'. ∵△CDE'与△ABE关于点O对称，BE＝3，∴BE＝DE'＝3.∵AD＝7，∴AE'＝4.设▱ABCD的边AD上的高为h，则△AEE'的边AE'上的高也等于h，则. 【方法总结】 对于平行四边形、矩形、菱形和正方形，过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分.如图，AE＝CF，DE＝BF，△AOE≌△COF，S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 两条对角线将平行四边形的面积四等分，S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S△AOD 判定一个四边形为平行四边形 例1．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【变式1-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形，，平分交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：． 【变式1-2】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，连接．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式1-3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是，，求的长． 【解题技巧反思】 平行四边形的判定思路 利用平行四边形的性质求解 例2．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 【变式2-2】（2025·陕西渭南·一模）如图，的对角线AC、BD交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为 ． 例3．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ． 【解题技巧反思】 利用平行四边形的性质进行求解 ①将平行四边形与三角形结合，大多数问题是在平行四边形中解三角形（联系全等和勾股定理）； ②利用等面积法求一边上的高； ③在不能直接求边长的三角形里，可运用方程思想. 根据多边形的性质解角度 例4．（2025·陕西咸阳·一模）正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 【变式4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的顶点B、C分别在正方形的边上，若，则的长度为 ． 【变式4-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，为正八边形和正方形的一条公共边，点A、E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 ．    【变式4-4】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 例5．（2025·陕西·模拟预测）如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为 ．    【变式5】如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是 ． 在折叠问题中运用平行四边形的性质求解 例6．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【变式6-1】如图，在平行四边形中，，，将沿翻折至，连接．当长为 时，是直角三角形． 【变式6-2】（2025·四川广元·二模）如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为 ． 【变式6-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平行四边形纸片中， ，， 将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等腰直角三角形． 则重叠部分的面积是 ．    例7．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 【解后反思】 在翻折问题中解三角形注意两点: (1)翻折前后图形全等——对应边相等; (2)应用勾股定理+方程思想解直角三角形. 根据三角形中位线求边长 例8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，，、、分别是、、的中点，若，则的周长是 ． 【变式8-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是 ． 【变式8-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 例9．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 根据平行四边形的性质确定顶点坐标 例10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 利用平行四边形的性质转化线段求最值问题（重要、填空压轴题高频考点） 例11．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【变式11-1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，以，为边作，则对角线的最小值是 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 例12．如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ． 根据平行四边形的性质解面积问题 例13．如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式13-1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，若的面积为20，则阴影区域的面积为 ． 【变式13-2】如图，在中，点D，E，F，G分别为边，，，的中点，已知的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 综合实践 例14．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，相交于点，点在对角线上，连接，，，．则下列条件中不一定能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 3.如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 3.（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，点E、F为的边上两点，连接并延长交的延长线于点G，点H为上一点，连接、、，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若F、H分别为、的中点，，，，求的长 4.（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$