精品解析：2025年江苏省宿迁市沭阳县中考三模数学试题

2024-2025学年中考模拟测试 数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式、积的乘方、合并同类项、单项式除以单项式，根据相关法则计算即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．与不是同类项，不能进行加法运算，，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：580万亿； 故选C． 4. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意； B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意； C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意； D．平均数为， 方差为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键． 5. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 7. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求． 【详解】解：如下图所示，连接BC， ∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3， ∴根据勾股定理可得：， 又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角， ∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，求出∠OBC的正弦值即可得到答案． 8. 小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（　　）立方厘米． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据上面看到的图形确定下层正方体的个数，根据正面和左面看到的图形确定上层正方体的个数，即得． 本题主要考查了由三视图推断小正方体的个数．解决问题的关键是熟练掌握由俯视图掌握小正方体的堆叠方式，由另两种视图确定小正方体的个数． 【详解】观察从三个方向看到的图形，从上面看到的图形由4个正方体排成两行三列，下层有4个正方体；从正面看到的图形有两层，上层左列只有1个正方体；从左面看到的图形有两层，上层后行只有1个正方体． 可得该几何体如图所示， ， 由5个体积是1立方厘米的正方体摆成， ∴这个几何体的体积是5立方厘米． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形．点的对应点为，若为 ，则A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练确定图形的位似比是解题的关键，根据题可得到与的位似比为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据为 ，代入即可得到答案． 【详解】解：∵点关于原点O的位似对应点为， ∴位似比， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴ 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 10. 小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（ ） A. 22 B. 22.5 C. 23 D. 23.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象．熟练掌握行程问题的s—v图象数据，路程与速度和时间的计算，是解题的关键． 由两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为2.5分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值． 【详解】解：由图象可得， 小鹿的速度为（千米/分钟）， 小鹿行完全程的时间为（分钟）， 在休息点休息的时间为（分钟）， 小鹿与小晨的速度差为（千米/分钟）， 小晨的速度为（千米/分钟）， 小晨行完全程的时间为（分钟）， 图书馆到休息点的路程为（千米）， 小晨从休息点到公园的时间为（分钟）， ． 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 二次根式中的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为： 12. 正六边形内角和度数为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据多边形内角和公式为：，其中 为多边形的边数，且， ∵正六边形的边数， ∴代入公式得：． 13. 如图是甲、乙两人10次实心球训练成绩的折线统计图，对比方差发现，则图中折线A表示__________的成绩．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，方差，解题关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．利用折线统计图可判断折线A表示的成绩波动较大，根据方差的意义可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大，即可求解． 【详解】解：由图可知折线A表示的成绩波动较大， 由可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大， 所以折线A表示甲的成绩． 故答案为：甲． 14. 一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率公式进行求解是解题的关键；因此此题可根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 该班每一位学生获奖的概率是； 故答案为． 15. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，要熟练掌握弧长公式．根据弧长公式即可直接求解． 【详解】解：弧长为， 故答案为：． 16. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 17. 江苏省城市足球联赛正在如火如荼的进行，足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若宿迁队进行了12场比赛，其中负了4场，共得20分，那么该队胜了___________场． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该队胜了x场，则平了场，利用总积分胜场数平场数，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该队胜了x场，则平了场， 根据题意得：， 解得： ， ∴该队胜了6场． 故答案为：6． 18. 已知满足，则的最小值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，19-22每题8分，23-26每题10分，27-28每题12分，共96分） 19. 计算：． 【答案】1． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及整数指数幂的计算，特殊角的三角函数及二次根式的化简等知识，掌握这些知识是解题的关键；依次计算特殊角三角函数，零次幂，化简二次根式及负整数指数幂，最后化简即可． 【详解】解： ． 20. （1）解方程：． （2）方程的解是___________． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及解无理方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）先令，将原方程变为，再利用因式分解法解方程，然后验证即可． 【详解】解：（1） 或 ，； （2） 令，则原方程变为：， ，， 当时，，解得：； 当时，（无解，舍去）； 代入原方程验证成立，故原方程的解为：． 21. 如图，在中，，，，为 边上的中点． （1）求 的长； （2）求的周长． 【答案】（1） ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数． 在中，根据的余弦可得：，从而可求 的长度； 根据勾股定理求出，根据 点是 的中点，求出，利用勾股定理求出的长，再根据三角形的周长公式计算即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由可知，， ， ， 点是 的中点， ， 在中，， 的周长为． 22. 某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”，“20元”，“30元”，“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场消费每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券． （1）若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为30元的概率是______； （2）某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．（1）由题意可得共有4种等可能的结果，其中该顾客所获购物券金额为30元的有1种情况，然后利用概率公式求解即可求；（2）列表或画树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于50元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得； 共有4种等可能的结果，其中该顾客所获购物券金额为30元的有1种情况； 故该顾客所获购物券金额为30元的概率为． 【小问2详解】 方法一：列表如下： 10 20 30 40 10 20 30 40 50 20 30 40 50 60 30 40 50 60 70 40 50 60 70 80 由上表可知，共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为． 方法二：画树状图如下： 由上图可知，共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为． 23. 我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了 名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下： 成绩得分用表示，共分成四组： A.；；；． 七年级 名学生的成绩：，，，，，，， ，，． 八年级 名学生的成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______，______． （2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由． （3）我校八年级共人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2）七年级的成绩更稳定，理由： 七八年级的平均数相等，根据已知条件可得，七年级成绩的方差为： ，即七年级成绩的方差为， ， 七年级成绩的方差比八年级小，七年级的成绩更稳定； （3）参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人 【解析】 【分析】（1）先根据扇形统计图求解，组的学生人数，结合组人数，求解组人数，可得的值，再根据八年级学生成绩的中位数落在组，可得的值，由七年级学生成绩中分有 个，出现的次数最多，可得 的值； （2）因为两个年级的平均数相同，计算七年级的方差分析可得结论； （3）分别统计出七年级、八年级成绩大于或等于分的人数，利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 题干错误，请审核老师看看解析过程，题干错误，给个一般错误，能不能撤回？ 【小问1详解】 解： 八年级组有人，组有人，组有 人， 组有 人，则，即； 七年级 名学生的成绩：，，，，，，， ，，，从小到大排列：，，，，，，，，， ， 根据中位数定义取第个，第个数据：，， 中位数为； 七年级学生成绩中分有 个，出现的次数最多， 众数； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：八年级成绩大于或等于分的有人， （人）， 答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人． 【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，平均数，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键． 24. 班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下： 小组甲：测量竹竿的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长 ． 小组乙：在同一时刻，测量路灯 在斜坡上的影长，及路灯与斜坡底端的距离 ．测量示意图和测量数据如下： 小组 甲 乙 图示 测量数据 请根据以上信息计算路灯 的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】路灯 的高度约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．过点G分别作的垂线，垂足分别为点M，N，根据坡度的概念求出、，进而求出 ． 【详解】解：如图，过点G分别作 ， 的垂线，垂足分别为点M，N，则四边形是矩形，，． 斜坡坡度为， ， ∴， 在中，， ∴， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：路灯 的高度约为． 25. 如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，以CD 为直径的 分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作于点G． （1）试判断FG与 的位置关系，并说明理由； （2）若，，求FG的长． 【答案】（1） 解：与 相切．理由如下： 如图，连接OF，DF， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD=BD=， ∵CD为⊙O直径， ∴DF⊥BC， ∴F为BC中点， ∵OC=OD， ∴OF为△CDB的中位线， ∴OF∥AB， ∵FG⊥AB， ∴FG⊥OF， ∴为 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接OF，DF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由CD为直径，得到DF⊥BC，得到F为BC中点，证明OF∥AB，进而证明GF⊥OF，于是得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出AB，再依次求出BC，BF，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵CD为Rt△ABC斜边上中线， ∴AB=2CD=10， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ， ∴BC=， ∴BF=， ∵FG⊥AB， ∴sinB=， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的中位线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形 纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（ 为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________ 【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点． 如何找到任意一条线段的白银分割点呢？ 小然是这样做的：如图3，已知线段，以为直角边作等腰，再作出的对角 的平分线，与的交点即为线段的白银分割点．请你说明小然这么做的理由． 【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形 （1）若菱形 为白银菱形，___________． （2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________ 【答案】问题一：； 问题二：如图所示，过点P作于E， 在等腰中， ，， ∴， ∵平分 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴点P即为白银分割点； 拓展探究：（1） ；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质等等，正确理解白银分割的定义是解题的关键． 问题一：由折叠的性质可得，则可求出，即，据此可得答案； 问题二：过点P作于E，由勾股定理得，由角平分线的性质可得，根据，可得； 拓展研究：（1）根据题意可得，则； （2）作于点 ，于，于，在上截取，连接，由对称性可得，由菱形的性质可得，则，证明，同理可得，再证明，设，则，，可得，据此求解即可． 【详解】解；问题一：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴白银比为； 问题二：略 拓展探究：（1）如图所示，过点B作 于F， ∵菱形 为白银菱形， ∴， ∴； （2）如下图，作于点 ，于，于，在上截取，连接， 由对称性可得， 由菱形的性质可得， ∴， ∴， 由题可知：， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ∵矩形的较短边长为8，即， ∴， ∴． 27. 在菱形 中，如图1，对角线 与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合），将线段 绕着点顺时针旋转，得到线段 ，旋转角度与相等，过点 作 的平行线，交射线于点 ， （1）求证：为等腰三角形 （2）如图2，若线段上存在点，满足，联结， ①则___________． ②请判断在点的运动过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，若，延长交 于点 ，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①； ②不变，理由如下： 取 中点，连接， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∵点为 中点， ∴， ∵， ∴为中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心， 为直径的圆上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不变； （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，再由平行得到，，再根据三角形的外角即可证明； （2）①由旋转得，则，而，再由三角形内角和定理即可求解；②取 中点，连接，先证明，则，继而可得点在以为圆心， 为直径的圆上，则，而，则，故不变； （3）证明，则，设，则，由勾股定理可得，那么，则，可表示，则，再化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问3详解】 解：如图： ∵菱形 ， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数求最值，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，综合性很强，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 28. 定义：在平面直角坐标系 中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为． 例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为． （1）点的“神秘点”坐标为 ； （2）点的“神秘点”在的图象上，求的值； （3）如图，直线 与坐标轴分别交于点，，记直线 上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为． ①点在直线 上，求当时点对应的“神秘点”的坐标； ②当抛物线 与图形有2个交点时，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①当时点对应的“神秘点”的坐标为；② 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了“神秘点”的定义，一元二次方程根的判别式，求得的函数关系式是解题的关键． （1）由“神秘点”的定义解答即可； （2）由“神秘点”的定义可求得的“神秘点”，代入函数解析式可求得的值； （3）①先求出直线 的解析式，再根据，求出得坐标，进而求出点对应的“神秘点”的坐标； ②先求出点对应的“神秘点”的坐标，点对应的“神秘点”的坐标，进而可得当时和当时，“神秘点”所形成图象的解析式，即新的图形的解析式，联立抛物线和图形成一元二次方程，结合图象位置分别讨论一元二次方程解的数量，即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴点的“神秘点”坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，点的“神秘点”为， 把代入，得， 解得：； 当时，点的“神秘点”为， 把代入，得， 解得：； ∴综上，． 【小问3详解】 解：①设直线 的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为， 点在直线 上，当时，， 解得：，即， ∴点的坐标为， ∵， ∴点对应的“神秘点”的坐标为； ②点对应的“神秘点”的坐标为， 点对应的“神秘点”的坐标为， 当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：， 当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：， ∴新的图形是以为端点的两条射线组成的图形， 由和， 得：和， 如图，当抛物线 与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 如图2，当抛物线 与有1个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：， 此时，过点， 由图像可知： 当时，此时当抛物线 与射线有2个交点， 当时，此时当抛物线 与射线有1个交点，射线有1个公共点， 综上所述，当抛物线 与图形有2个交点时， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年中考模拟测试 数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 5. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（　　）立方厘米． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形．点的对应点为，若为 ，则A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中 的值为（ ） A. 22 B. 22.5 C. 23 D. 23.5 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 二次根式中 的取值范围为______． 12. 正六边形内角和度数为___． 13. 如图是甲、乙两人10次实心球训练成绩的折线统计图，对比方差发现，则图中折线A表示__________的成绩．（填“甲”或“乙”） 14. 一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是______________． 15. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为_____．（结果保留） 16. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时， 的取值范围是_____． 17. 江苏省城市足球联赛正在如火如荼的进行，足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若宿迁队进行了12场比赛，其中负了4场，共得20分，那么该队胜了___________场． 18. 已知满足，则的最小值为______． 三、解答题（共10小题，19-22每题8分，23-26每题10分，27-28每题12分，共96分） 19. 计算：． 20. （1）解方程：． （2）方程的解是___________． 21. 如图，在中，，，， 为 边上的中点． （1）求 的长； （2）求的周长． 22. 某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”，“20元”，“30元”，“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场消费每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券． （1）若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为30元的概率是______； （2）某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 23. 我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了 名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下： 成绩得分用 表示，共分成四组： A.；；；． 七年级 名学生的成绩：，，，，，，， ，，． 八年级 名学生的成绩在 组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______，______． （2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由． （3）我校八年级共人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 24. 班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下： 小组甲：测量竹竿 的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长 ． 小组乙：在同一时刻，测量路灯 在斜坡上的影长，及路灯与斜坡底端的距离 ．测量示意图和测量数据如下： 小组 甲 乙 图示 测量数据 请根据以上信息计算路灯 的高度．（结果保留整数，参考数据：） 25. 如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，以CD 为直径的 分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作于点G． （1）试判断FG与 的位置关系，并说明理由； （2）若，，求FG的长． 26. 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形 纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（ 为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________ 【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点． 如何找到任意一条线段的白银分割点呢？ 小然是这样做的：如图3，已知线段 ，以 为直角边作等腰，再作出 的对角 的平分线，与 的交点 即为线段 的白银分割点．请你说明小然这么做的理由． 【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形 （1）若菱形 为白银菱形，___________． （2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________ 27. 在菱形 中，如图1，对角线 与相交于点，点 为线段上一动点（不与点重合），将线段 绕着点 顺时针旋转，得到线段 ，旋转角度与相等，过点 作 的平行线，交射线于点 ， （1）求证：为等腰三角形 （2）如图2，若线段上存在点，满足，联结， ①则___________． ②请判断在点 的运动过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，若，延长交 于点 ，请直接写出的最小值． 28. 定义：在平面直角坐标系 中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为． 例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为． （1）点的“神秘点”坐标为 ； （2）点的“神秘点”在的图象上，求 的值； （3）如图，直线 与坐标轴分别交于点，，记直线 上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为 ． ①点在直线 上，求当时点对应的“神秘点”的坐标； ②当抛物线 与图形 有2个交点时，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $