期末提分特训讲义（二）《 整式的乘除》2024-2025学年苏科版数学七年级下册

2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（二）--《 整式的乘除》 【特训目的】 1.准确理解整式（单项式、多项式）的定义及相关概念，能准确区分整式与非整式。透彻理解同底数幂、幂的乘方、积的乘方等运算法则的本质，明确指数运算的逻辑。 2.灵活运用单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，避免符号和指数运算错误。 3.熟练掌握整式乘法公式：平方差公式(a+b)(a - b)=a2 - b2、完全平方公式(a±b)2=a2±2ab + b2，并能识别公式结构特征。 4.能高效、准确地进行整式的混合运算，合理规划运算顺序，减少因粗心导致的错误。 5.学会逆用公式简化复杂计算（如逆用平方差公式进行因式分解）。 6.能将实际问题抽象为整式运算模型（如几何图形面积计算、增长率问题），通过运算解决问题。 7.利用整式乘法公式解决代数化简、求值问题，培养“整体代换”思想。 8.体会“转化思想”（如将多项式乘法转化为单项式乘法）、“类比思想”（对比幂的运算法则）在学习中的应用。 【知识清单】 1.单项式乘单项式：系数乘以系数，相同字母相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.单项式乘多项式：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a + b + c)=ma + mb + mc。 3多项式乘多项式：先把一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(m + n)(a + b)=ma + mb + na + nb。 4.平方差公式：(a + b)(a - b)=a2 - b2，法则为两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。 5.完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，(a - b)2= a2 - 2ab + b2。 口诀：首平方，尾平方，积的二倍在中央（注意符号）。 拓展公式：a2 + b2=(a + b)2 - 2ab=(a - b)2 + 2ab等。 6.单项式除以单项式：系数除以系数，同底数幂相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 7. 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即(a + b + c)÷m=a÷m + b÷m + c÷m（m≠0）。 8.运算顺序：整式混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有小括号，先算括号里面的。 《整式的乘除》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A．5a+6a＝11a2 B．（﹣3）b2⋅2b3＝6b5 C．6b6÷2a2＝3a3 D．（b+3a）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则b的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 4.下列计算正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1 D．（x﹣2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 5．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”计算（a+b）21的展开式中第三项的系数为（　　） A．220 B．210 C．191 D．190 6．将二次三项式x2﹣4x+1配方后得（ ） A．（x﹣2）2+3 B．（x﹣2）2﹣3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2﹣3 第6题图 第7题图 7. 如图，4块完全相同长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，每个小组都有若干张面积分别为、、的正方形纸片和长方形纸片，莉莉从中抽取了1张面积为的正方形纸片和6张面积为的长方形纸片．若她想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（ ） A. 3张 B. 6张 C. 9张 D. 12张 9. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ ”. 如：记； . 已知：，则 的值是（ ） A. 40 B. C. D. 10．已知单项式串：M0＝1，M1＝ax，M2＝a2x2，M3＝a3x3，⋯，Mn＝anxn，其中n为非负整数，a为正整数．规定：F（x）＝M0+M1+M2+⋯+Mn＝1+ax+a2x2+a3x3+⋯+anxn，下列说法： ①若F（1）＝7，则a＝1，n＝6； ②从单项式Mn，Mn+1，Mn+2，Mn+3，Mn+4中任选4个，存在3种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取6个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共30分） 11. （1）________；（2）________． 12. 若，则代数式的值为_______． 13. 如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 14．设M＝2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为 　 　． 15. 魔术师发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数(a－1)(b－2)．现将数对(m，1)放入魔术盒中得到数n＋1.如果将数对(n－1，m)放入魔术盒中，那么最后得到的结果是________．(用含n的代数式表示) 16. 如果多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）． 17. 已知，则_______． 18. 如图所示，将“L”形折尺的下半部分（阴影部分）拼接到图形的左侧，使之变为一直尺的形状，则依据图形中的数据和图形面积的两种表示方法可得出一个乘法公式，此公式为_______． 第18题图 第19题图 19. 如图，有多个长方形和正方形的卡片，图①是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a(a＋b)＝a2＋ab成立，根据图②，利用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等式______________________． 20.计算 的结果是_______． 三．解答题（60分） 21. （12分）计算： （1）； （2）； （3）． （4）（a+2b+1）（a+2b﹣1） 22. （8分）已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 23.（8分）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3＝22﹣1，7＝42﹣32，8＝32﹣1，因此3，7，8都是“智慧数”． （1）18 　 　“智慧数”，2025 　 　“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由． 24.（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：9×15﹣8×16＝7，19×25﹣18×26＝7，不难发现，结果都是7． （1）将每个方框的左上角数字设为n．请用含n的式子表示你发现的规律：　 　； （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明． 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 25. （12分）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了． （1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平方为四块小长方形，然后再拼成一个正方形，请你观察图形，写出三个代数式关系的等式： ； （2）若已知，则 ； （3）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞，则的值为 ． 26.（12分）【阅读理解】 “若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值” 解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）×x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20， 所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340． 【解决问题】 （1）若x满足（25﹣x）（18﹣x）＝30，求（25﹣x）2+（18﹣x）2的值； （2）若x满足x2+（10﹣x）2＝260，求x（10﹣x）的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝6，CG＝8，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（二）--《 整式的乘除》 【特训目的】 1.准确理解整式（单项式、多项式）的定义及相关概念，能准确区分整式与非整式。透彻理解同底数幂、幂的乘方、积的乘方等运算法则的本质，明确指数运算的逻辑。 2.灵活运用单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，避免符号和指数运算错误。 3.熟练掌握整式乘法公式：平方差公式(a+b)(a - b)=a2 - b2、完全平方公式(a±b)2=a2±2ab + b2，并能识别公式结构特征。 4.能高效、准确地进行整式的混合运算，合理规划运算顺序，减少因粗心导致的错误。 5.学会逆用公式简化复杂计算（如逆用平方差公式进行因式分解）。 6.能将实际问题抽象为整式运算模型（如几何图形面积计算、增长率问题），通过运算解决问题。 7.利用整式乘法公式解决代数化简、求值问题，培养“整体代换”思想。 8.体会“转化思想”（如将多项式乘法转化为单项式乘法）、“类比思想”（对比幂的运算法则）在学习中的应用。 【知识清单】 1.单项式乘单项式：系数乘以系数，相同字母相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.单项式乘多项式：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a + b + c)=ma + mb + mc。 3多项式乘多项式：先把一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(m + n)(a + b)=ma + mb + na + nb。 4.平方差公式：(a + b)(a - b)=a2 - b2，法则为两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。 5.完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，(a - b)2= a2 - 2ab + b2。 口诀：首平方，尾平方，积的二倍在中央（注意符号）。 拓展公式：a2 + b2=(a + b)2 - 2ab=(a - b)2 + 2ab等。 6.单项式除以单项式：系数除以系数，同底数幂相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 7. 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即(a + b + c)÷m=a÷m + b÷m + c÷m（m≠0）。 8.运算顺序：整式混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有小括号，先算括号里面的。 《整式的乘除》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A．5a+6a＝11a2 B．（﹣3）b2⋅2b3＝6b5 C．6b6÷2a2＝3a3 D．（b+3a）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 【答案】D 【解答】A、原式＝11a，故A不符合题意．B、原式＝﹣6b5，故B不符合题意．C、原式＝3a4，故C不符合题意．D、原式＝9a2﹣b2，故D符合题意．故选：D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A. ，故不正确；B. ，故不正确；C. ，故不正确； D. ，故正确；故选D. 3. 若，则b的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 【答案】C 【解析】∵（x+3）（2x-5）=2x2+x-15=2x2+bx-15，∴b=1．故选C． 4.下列计算正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1 D．（x﹣2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，因此选项A不符合题意；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2≠x2﹣2xy﹣y2，因此选项B不符合题意；（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，因此选项C符合题意；（x﹣2y）（x﹣2y）＝x2﹣4xy+4y2≠x2﹣2y2，因此选项D不符合题意；选：C． 5．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”计算（a+b）21的展开式中第三项的系数为（　　） A．220 B．210 C．191 D．190 【答案】B 【解析】找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；…… 不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）21第三项系数为1+2+3+…+19+20210，选：B． 6．将二次三项式x2﹣4x+1配方后得（ ） A．（x﹣2）2+3 B．（x﹣2）2﹣3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2﹣3 【答案】B 【解析】把二次三项式配方为x2-4x+1=x2-4x+4-3=（x-2）2-3．所以，选择B 7. 如图，4块完全相同长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】阴影的面积（a+b）2-（a-b）2=4ab．故选A． 8. 数学活动课上，每个小组都有若干张面积分别为、、的正方形纸片和长方形纸片，莉莉从中抽取了1张面积为的正方形纸片和6张面积为的长方形纸片．若她想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（ ） A. 3张 B. 6张 C. 9张 D. 12张 【答案】C 【解析】：∵要拼成正方形，∴a2+6ab+kb2是完全平方式．∵（a+3b）（a+3b）=a2+6ab+9b2， ∴还需面积为b2的正方形纸片9张．故选C． 9. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ ”. 如：记； . 已知：，则 的值是（ ） A. 40 B. C. D. 【答案】D 【解析】∵的系数为，∴ ,故选: D． 10．已知单项式串：M0＝1，M1＝ax，M2＝a2x2，M3＝a3x3，⋯，Mn＝anxn，其中n为非负整数，a为正整数．规定：F（x）＝M0+M1+M2+⋯+Mn＝1+ax+a2x2+a3x3+⋯+anxn，下列说法： ①若F（1）＝7，则a＝1，n＝6； ②从单项式Mn，Mn+1，Mn+2，Mn+3，Mn+4中任选4个，存在3种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取6个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】①中，由题意，得F（1）＝1+a+a2+…+an＝7，当a＝1时，1+1+12+…+16＝7，则n＝6；当a＝2时，1+2+22＝7，则n＝2；当a＝6时，1+6＝7，则n＝1；故①错误； ②中，由题意得Mn＝anxn，Mn+1＝an+1xn+1，Mn+2＝an+2xn+2，Mn+3＝an+3xn+3，Mn+4＝an+4xn+4，则任选4个，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况有：Mn•Mn+4＝Mn+1•Mn+3＝a2n+4x2n+4；Mn•Mn+3＝Mn+1•Mn+2＝a2n+3x2n+3；Mn+1•Mn+4＝Mn+2•Mn+3＝a2n+5x2n+5；共3种情况，故②正确； ③中，对于n不同的Mn＝anxn，当三个单项式的积等于另外三个单项式的积时，即若at1xt1•at2xt2•at3xt3＝at4xt4•at5xt5•at6xt6，其中t1，t2，t3，t4，t5，t6为非负整数，则at1+t2+t3xt1+t2+t3＝at4+t5+t6xt4+t5+t6，则t1+t2+t3＝t4+t5+t6，则t1+t2+t3+t4+t5+t6＝2（t1+t2+t3），则t1+t2+t3+t4+t5+t6为偶数，设6个相邻单项式分别为atxt，at+1xt+1，at+2xt+2，at+3xt+3，at+4xt+4，at+5xt+5，根据题意得t+（t+1）+（t+2）+（t+3）+（t+4）+（t+5）＝6t+15，是奇数，故从单项式串中任取6个相邻单项式，不存在使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积的情况，故③错误；综上所述，正确的有1个，故选：B． 二．填空题（共30分） 11. （1）________；（2）________． 【答案】 ①. ②. 【解析】（1）原式==；（2）原式=． 故答案为；． 12. 若，则代数式的值为_______． 【答案】﹣9 【解析】∵a2-a+3=0，∴a2-a=－3，（a-3）（a+2）=a2-a-6=－3－6=－9．故答案为－9． 13. 如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 【答案】或 【解析】∵是一个完全平方式，∴，∴或． 故答案为：或． 14．设M＝2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为 　 　． 【答案】5或14或﹣10 【解析】当2n是乘积二倍项时，原式＝28+2•24+1＝（24+1）2，此时n＝5；当28是乘积二倍项时，原式＝2n+2•27+1＝（27+1）2，此时n＝14；当1是乘积二倍项时，原式＝2n+2•24•2﹣5+28＝（24+2﹣5）2，此时n＝﹣10，综上所述，n的值为5或14或﹣10． 15. 魔术师发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数(a－1)(b－2)．现将数对(m，1)放入魔术盒中得到数n＋1.如果将数对(n－1，m)放入魔术盒中，那么最后得到的结果是________．(用含n的代数式表示) 【答案】4﹣n2 【解析】根据数对（m，1）放入其中得到数n+1得：（m﹣1）×（1﹣2）=n+1，即m=﹣n， 则将数对（n﹣1，m）放入其中后，结果为（n﹣1﹣1）（m﹣2）=（n﹣2）（﹣n﹣2）=4﹣n2． 故答案4﹣n2． 16. 如果多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）． 【答案】±， 【解析】①当9x2是平方项时，1±6x+9x2=（1±3x）2，∴可添加的项是6x或﹣6x； ②当9x2是乘积二倍项时，1+9x2+x4=（1+x2）2，∴可添加的项x4． 故答案6x或﹣6x或x4． 17. 已知，则_______． 【答案】5 【解析】 ∵a≠0，∴，∴． =5．故答案为5． 18. 如图所示，将“L”形折尺的下半部分（阴影部分）拼接到图形的左侧，使之变为一直尺的形状，则依据图形中的数据和图形面积的两种表示方法可得出一个乘法公式，此公式为_______． 【答案】 【解析】“L”形折尺的面积=，直尺的面积=（b+a）（b-a）．∵两者的面积相等，∴ ．故答案为 ． 第18题图 第19题图 19. 如图，有多个长方形和正方形的卡片，图①是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a(a＋b)＝a2＋ab成立，根据图②，利用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等式______________________． 【答案】(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2 【解析】由图②可知：阴影部分的面积是：①（a+b）（a+2b），②a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2+3ab，所以（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab，故答案为（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab． 20.计算 的结果是_______． 【答案】 【解析】设，则原式 三．解答题（60分） 21. （12分）计算：（1）； （2）； （3）． （4）（a+2b+1）（a+2b﹣1） 【答案】（1）；（2）；（3）．（4）a2+4ab+4b2﹣1 【解析】（1）原式=； （2）原式==； （3）原式==． （4）原式=＝[（a+2b）+1][（a+2b）﹣1]＝（a+2b）2﹣12＝a2+4ab+4b2﹣1． 22. （8分）已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）30；（2）8． 【解析】（1）∵x+y=2，xy=﹣1，∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y） 2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30； （2）∵x+y=2，xy=﹣1，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8． 23.（8分）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3＝22﹣1，7＝42﹣32，8＝32﹣1，因此3，7，8都是“智慧数”． （1）18 　 　“智慧数”，2025 　 　“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由． 【答案】（1）不是，是．（2）见解析 【解析】（1）18不能写为A2﹣B2（A，B都为非零自然数，且A＞B）的形式，故不是“智慧数”；∵2025＝10132﹣10122，∴2025能写为A2﹣B2的形式，故2025是“智慧数”．故答案为：不是，是． （2）除1外的正奇数一定是“智慧数”，理由如下：设这个奇数为2n+1（n为正整数）， ∵（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∴2n+1＝（n+1）2﹣n2，∴除1外的正奇数一定是“智慧数”． 24.（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：9×15﹣8×16＝7，19×25﹣18×26＝7，不难发现，结果都是7． （1）将每个方框的左上角数字设为n．请用含n的式子表示你发现的规律：　（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7　； （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明． 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 【答案】（1）（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7；（2）7 【解析】（1）设左上角的数字为n，则右上角的数字为（n+1），左下角的数字为（n+7），右下角的数字为（n+8）．发现的规律是（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7．故答案为：（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7． （2）（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝n2+8n+7﹣n2﹣8n＝7． 25. （12分）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了． （1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平方为四块小长方形，然后再拼成一个正方形，请你观察图形，写出三个代数式关系的等式： ； （2）若已知，则 ； （3）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞，则的值为 ． 【答案】（1）；（2）9；（3）4． 【解析】（1）由图形的面积可得出：；故答案为； （2）∵，则． （3）∵，∴的值为． 26.（12分）【阅读理解】 “若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值” 解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）×x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20， 所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340． 【解决问题】 （1）若x满足（25﹣x）（18﹣x）＝30，求（25﹣x）2+（18﹣x）2的值； （2）若x满足x2+（10﹣x）2＝260，求x（10﹣x）的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝6，CG＝8，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】（1）109 （2）-80 （3）964 【解答】（1）根据阅读材料的方法，设25﹣x＝a，18﹣x＝b， 则ab＝30，而a﹣b＝7， （25﹣x）2+（18﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝72+2×30＝109； （2）设x＝a，10﹣x＝b，则a2+b2＝260，而a+b＝10，∴x（10﹣x）＝ab =[（a+b）2﹣（a2+b2）] =[102﹣260]＝﹣80； （3）由题意得，ED＝x﹣6，DG＝x﹣8，设x﹣6＝m，x﹣8＝n，m﹣n＝2， ∵长方形EFGD的面积是240，∴mn＝240，∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形， ∴ME＝DE，DG＝NG，∴MF＝ME+EF＝DE+FE＝x﹣6+x﹣8， 同理，FN＝x﹣6+x﹣8，∴S阴影部分＝（x﹣6+x﹣8）2＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn ＝22+4×240＝964，图中阴影部分的面积964． 学科网（北京）股份有限公司 $$