期末提分特训（四）--《二元一次方程组》2024-2025学年苏科版数学七年级下册

2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（四）--《二元一次方程组》 【特训目的】 1.清晰掌握二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，能准确判断方程或方程组是否为二元一次方程（组），并熟练检验一对数值是否为方程组的解 。 2.熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，理解消元的本质，能根据方程组的特点灵活选择合适的解法，提高计算的准确性和速度。 3.能够找出实际问题中的等量关系，将实际问题转化为二元一次方程组并求解，涵盖行程问题、工程问题、销售问题、分配问题等常见类型。 【知识清单】 一、相关概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边值相等的两个未知数的值，一般用大括号联立表示。 3.二元一次方程组：由含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组。 4.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解。 二、解法 1.代入消元法：将一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程消元求解。 2.加减消元法：当方程组中同一未知数系数相反或相等时，将方程两边相加或相减消元求解。 三、实际应用 1.解题步骤：审（审题，找等量关系）、 设（设未知数）、 列（列方程组）、 解（解方程组）、 检（检验解的合理性）、 答（作答）。 2.常见类型：行程问题（路程 = 速度×时间）、 工程问题（工作量 = 工作效率×工作时间）、 和差倍分问题、 航速问题（顺流航速 = 静水速度 + 水速，逆流航速 = 静水速度 - 水速）、 几何问题、 年龄问题、 商品销售问题（利润 = 实际售价 - 成本等）。 《二元一次方程组》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1. 已知xm－2－8yn+3=2是关于x，y的二元一次方程，则m+n的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 2. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程2x+3y=11的非负整数解的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（　　） A. a=-3，b=-14 B. a=3，b=-7 C. a=-1，b=9 D. a=-3，b=14 5. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程组中的 x，y互为相反数，则m的值为（ ）. A. 2 B. ﹣2 C. 0 D. 4 7. 将三元一次方程组，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　） A. B. C. D. 8. 将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则一个小长方形的面积为（ ） A. 120m2 B. 135m2 C. 108m2 D. 96m2 10. 用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（共30分） 11. 若2x5y2m＋3n与－3x3m＋2ny6是同类项，则|m－n|＝____． 12. 关于x，y的方程组的解满足x+y=7，则a的值是___________． 13. 若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=______________. 14. 已知关于x、y的二元一次方程组 (m≠0)则x∶y=_________. 15. 若，且，则_________． 16. 若方程组的解是， 则方程组的解为 ________． 17. 关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 18. 同学们每个星期都会听着国歌升国旗，但国歌歌词有多少个字可能大家都不知道．已知歌词数量是一个两位数，十位数是个位数的两倍，且十位数比个位数大4，则国歌歌词数有________ 个． 19. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？” 译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______． 20．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过　　小时车库恰好停满． 三．解答题（60分） 21．（12分）解二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 22．（8分）如图，∠α和∠β的度数满足方程组 (1)求∠α和∠β的度数，并判断AB与EF的位置关系； (2)若CD∥EF，AC⊥AE，求∠C的度数． 23.（10分）．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组； （i）求xy的值； （ii）求出这个方程组的所有整数解． 24.（10分）对于未知数为x,y的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”. (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”?说明你的理由. (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”,求m的值. (3)已知未知数为x,y的方程组其中a与x,y都是正整数,该方程组的解x与y能否具有“邻好关系”?如果能具有,请求出a的值及方程组的解;如果不能具有,请说明理由. 25.（12分）对于任意实数a、b，我们定义运算“”：ab = 2a + 3b ，例如12=2×1 + 3×2=2 + 6 = 8。 （1）计算3(-2)的值； （2）已知，求x和y的值； （3）若关于m、n的方程组的解满足m + n = 3，求k的值。 26．（12分）人工智能的变革力在教育、制造等领域加速落地在某市举办的一次中学生机器人足球赛中有四个代表队进入决赛，决赛中，每个队分别与其它三个队进行主客场比赛各一场（即每个队要进行6场比赛），以下是积分表的一部分． 排名 代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 净胜球（个） 进球（个） 失球（个） 积分（分） 1 A 6 1 6 12 6 22 2 B 6 3 2 1 0 6 6 19 3 C 6 3 1 2 2 9 7 17 4 D 6 0 0 6 m 5 13 0 （说明：积分＝胜场积分+平场积分+负场积分） （1）D代表队的净胜球数m＝　　． （2）本次决赛中胜一场积 　　分，平一场积 　　分，负一场积 　　分； （3）本次决赛的奖金分配方案为进入决赛的每个代表队都可以获得参赛奖金6000元；另外，在决赛期间，每胜一场可以再获得奖金2000元，每平一场再获得奖金1000元．请根据表格提供的信息，求出冠军A代表队一共能获得多少奖金． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（四）--《二元一次方程组》 【特训目的】 1.清晰掌握二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，能准确判断方程或方程组是否为二元一次方程（组），并熟练检验一对数值是否为方程组的解 。 2.熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，理解消元的本质，能根据方程组的特点灵活选择合适的解法，提高计算的准确性和速度。 3.能够找出实际问题中的等量关系，将实际问题转化为二元一次方程组并求解，涵盖行程问题、工程问题、销售问题、分配问题等常见类型。 【知识清单】 一、相关概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边值相等的两个未知数的值，一般用大括号联立表示。 3.二元一次方程组：由含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组。 4.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解。 二、解法 1.代入消元法：将一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程消元求解。 2.加减消元法：当方程组中同一未知数系数相反或相等时，将方程两边相加或相减消元求解。 三、实际应用 1.解题步骤：审（审题，找等量关系）、 设（设未知数）、 列（列方程组）、 解（解方程组）、 检（检验解的合理性）、 答（作答）。 2.常见类型：行程问题（路程 = 速度×时间）、 工程问题（工作量 = 工作效率×工作时间）、 和差倍分问题、 航速问题（顺流航速 = 静水速度 + 水速，逆流航速 = 静水速度 - 水速）、 几何问题、 年龄问题、 商品销售问题（利润 = 实际售价 - 成本等）。 《二元一次方程组》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1. 已知xm－2－8yn+3=2是关于x，y的二元一次方程，则m+n的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】由题意得：m-2=1，n+3=1，解得：m=3，n= －2，∴m+n=1．故选D． 2. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项中最高次数为2次，则不是；B选项中第二个方程不整式方程，则不是；C选项中含有3个未知数，则不是；故选：D． 3. 方程2x+3y=11的非负整数解的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】∵2x+3y=11，∴，∵x与y是非负整数，∴≥0，∴0≤y≤， ∴y的可能取值为：0，1，2，3，当y=0时，x=（不符合题意，舍去），当y=1时，x=4， 当y=2时，x=（不符合题意，舍去），当y=3时，x=1．∴方程2x+3y=11非负整数解有2个．故选B． 4. 已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（　　） A. a=-3，b=-14 B. a=3，b=-7 C. a=-1，b=9 D. a=-3，b=14 【答案】A 【解析】∵方程组有无数多个解，∴ ，∴a=-3，b=-14． 故选A. 5. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在方程组中，得，由得， 由得，由得，所以方程组的解为，故选：D． 6. 已知方程组中的 x，y互为相反数，则m的值为（ ）. A. 2 B. ﹣2 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】∵x与y互为相反数，∴x+y=0，y=-x，又∵，∴x=m，x-(-x)=4，∴m=x=2 故选A. 7. 将三元一次方程组，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意得：①-③得：4x+3y=2，③×4+②得：7x+5y=3，则三元一次方程组，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是； 故选：A． 8. 将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则一个小长方形的面积为（ ） A. 120m2 B. 135m2 C. 108m2 D. 96m2 【答案】B 【解析】如图设小长方形的长为x，长方形的宽为y，根据图一可知： ，根据图二可知：，方程组：，方程组的解集为：，∴每个小方形的面积＝15×9＝135（m2），故选：B． 10. 用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】设●、■、▲分别x、y、z，由前两架天平可知， ，由①②可得：，，∴．故选：A 二．填空题（共30分） 11. 若2x5y2m＋3n与－3x3m＋2ny6是同类项，则|m－n|＝____． 【答案】1 【解析】由题意，得 解得 ∴|m﹣n|= 故答案为1. 12. 关于x，y的方程组的解满足x+y=7，则a的值是___________． 【答案】9 【解析】两式相加得：3x+3y=3a-6，即3（x+y）=3a-6，则x+y=a-2．即a-2=7，解得：a=9． 故答案是：9. 13. 若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=______________. 【答案】2 【解析】∵ 是方程的一个解，∴2a+b=0，∴6a+3b+2=3(2a+b)+2=0+2=2. 故答案为：2. 14. 已知关于x、y的二元一次方程组 (m≠0)则x∶y=_________. 【答案】2:1 【解析】，3×①+②得：（9x﹣3y）+（x+3y）=3m+m，∴10x=4m，∴x=，将x=代入3x﹣y=m，∴y=，∴x：y=2：1．故答案为2：1． 15. 若，且，则_________． 【答案】-15 【解析】设，则a=3k，b=5k，c=7k，代入3a+2b-4c=9，得9k+10k-28k=9， 解得：k=-1，∴a=-3，b=-5，c=-7，于是a+b+c=-3-5-7=-15．故答案为：-15． 16. 若方程组的解是， 则方程组的解为 ________． 【答案】 【解析】∵方程组解是，∴ ， 在方程组 的每个方程两边同时除以5得：（3），（4）把方程（3）（4）分别和方程（1）（2）对比可得： ，解得：.故答案为. 17. 关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】：，①②得，，， ，，解得：，故答案为：． 18. 同学们每个星期都会听着国歌升国旗，但国歌歌词有多少个字可能大家都不知道．已知歌词数量是一个两位数，十位数是个位数的两倍，且十位数比个位数大4，则国歌歌词数有________ 个． 【答案】84 【解析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：，解得： ，∴这个两位数是：8×10+4=84，即国歌歌词共有84个字.故答案为84. 19. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？” 译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______． 【答案】 【解析】：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：， 故答案为. 20．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过　　小时车库恰好停满． 【答案】 【解析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得解得：，则60%a÷（2×﹣）a＝小时 故答案为：． 三．解答题（60分） 21．（12分）解二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 解：(1)将①代入②，得2(y＋3)－y＝5，解得y＝－1，将y＝－1代入①，得x＝2，则方程组的解为 (2) 把①代入②，得6y＋y＋7＝0，即y＝－1，把y＝－1代入①，得x＝－3，则方程组的解为 (3) ①×2＋②，得11x＝11，即x＝1，把x＝1代入①，得y＝2， 则方程组的解为 (4) ①－②，得4y＝12，即y＝3，把y＝3代入①，得x＝1， 则方程组的解为 22．（8分）如图，∠α和∠β的度数满足方程组 (1)求∠α和∠β的度数，并判断AB与EF的位置关系； (2)若CD∥EF，AC⊥AE，求∠C的度数． 解：(1) ①＋②，得5α＝250，∴α＝50，将α＝50代入①，得2×50＋β＝230，∴β＝130，即∠α＝50°，∠β＝130°，∵∠α＋∠β＝180°，∴AB∥EF； （2）∵AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD，∵AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠CAB＝∠CAE＋∠α＝140°.∵AB∥CD，∴∠C＝180°－∠CAB＝40° 23.（10分）．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组； （i）求xy的值； （ii）求出这个方程组的所有整数解． 解：（1），将方程②变形：6x+8y+y＝25，即2（3x+4y）+y＝25③， 把方程①代入③得：2×16+y＝25，解得y＝﹣7，把y＝﹣7代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）（i）原方程组化为，由①得：x2+3y2＝11﹣xy③， 将③代入方程②得：﹣8xy＝16，∴xy＝﹣2； （ii）由（i）得xy＝﹣2，∵x与y是整数，∴或或或， 由（i）可求得x2+3y2＝13，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或． 24.（10分）对于未知数为x,y的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”. (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”?说明你的理由. (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”,求m的值. (3)已知未知数为x,y的方程组其中a与x,y都是正整数,该方程组的解x与y能否具有“邻好关系”?如果能具有,请求出a的值及方程组的解;如果不能具有,请说明理由. 解：(1)具有“邻好关系”. 理由:由②得|x-y|=1,所以方程组的解x,y具有“邻好关系”. (2) 由③+④得6x=6m+6,解得x=m+1. 把x=m+1代入③,得2(m+1)-y=6, 解得y=2m-4, 则方程组的解为 因为|x-y|=|m+1-2m+4|=|-m+5|=1, 所以5-m=±1,所以m=6或m=4. （3）能具有“邻好关系”. 两个方程相加得(2+a)y=12, 因为a,x,y均为正整数, 所以或 在上面符合题意的两组解中,只有a=1时,|x-y|=1,即a=1时,该方程组的解x与y具有“邻好关系”.所以a=1,方程组的解为 25.（12分）对于任意实数a、b，我们定义运算“”：ab = 2a + 3b ，例如12=2×1 + 3×2=2 + 6 = 8。 （1）计算3(-2)的值； （2）已知，求x和y的值； （3）若关于m、n的方程组的解满足m + n = 3，求k的值。 解： （1）根据定义ab = 2a + 3b，当a = 3，b=-2时，3(-2)=2×3+3×(-2)=6 - 6=0。 （2）因为xy = 13，根据定义可得2x + 3y=13 ①； 又因为2x(-y)=2，根据定义可得2×(2x)+3×(-y)=2，即4x-3y = 2 ②。 ①+②得：(2x + 3y)+(4x-3y)=13 + 2，去括号得2x+3y + 4x-3y=15，合并同类项得6x=15， 解得x==。把x =代入①式得：2×+3y=13，即5 + 3y=13，移项得3y=13 - 5，即3y = 8，解得y=。 （3）由mn = k - 1，根据定义得2m+3n=k - 1 ③；由3m2n=k + 3，根据定义得2×(3m)+3×(2n)=k + 3，即6m + 6n=k + 3 ④。由m + n = 3，两边同时乘以6得6m+6n=18 ⑤。把⑤代入④得：k + 3=18，移项可得k=18 - 3=15。 26．（12分）人工智能的变革力在教育、制造等领域加速落地在某市举办的一次中学生机器人足球赛中有四个代表队进入决赛，决赛中，每个队分别与其它三个队进行主客场比赛各一场（即每个队要进行6场比赛），以下是积分表的一部分． 排名 代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 净胜球（个） 进球（个） 失球（个） 积分（分） 1 A 6 1 6 12 6 22 2 B 6 3 2 1 0 6 6 19 3 C 6 3 1 2 2 9 7 17 4 D 6 0 0 6 m 5 13 0 （说明：积分＝胜场积分+平场积分+负场积分） （1）D代表队的净胜球数m＝　　． （2）本次决赛中胜一场积 　　分，平一场积 　　分，负一场积 　　分； （3）本次决赛的奖金分配方案为进入决赛的每个代表队都可以获得参赛奖金6000元；另外，在决赛期间，每胜一场可以再获得奖金2000元，每平一场再获得奖金1000元．请根据表格提供的信息，求出冠军A代表队一共能获得多少奖金． 解：（1）5﹣13＝﹣8，故答案为：﹣8； （2）设胜一场积x分，平一场积y分，由B代表队知负一场积（19﹣3x﹣2y）分，根据题意得解得，∴19﹣3x﹣2y＝0， 故答案为：5，2，0； （3）设A队胜a场，则平（5﹣a）场，根据题意得5a+2（5﹣a）＝22 解得a＝4，即A队胜4场，平1场．6000+2000×4+1000＝15000（元）， 答：冠军A代表队一共能获得15000元． 学科网（北京）股份有限公司 $$