精品解析：2025年安徽省蚌埠市怀远县中考三模数学试题

2025安徽中考模拟卷 数学 注意事项： 1．数学试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（6页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. 25 C. D. 52 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四所学校举行了航天知识竞赛，并将各校竞赛成绩的优秀率及参赛人数以点的形式描在平面直角坐标系中，其中点的横坐标x表示该校参赛人数，纵坐标y表示竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次航天知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 若一次函数的自变量的取值减少2，函数值就相应增加4，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，在 中， 是边 的垂直平分线，E为 的延长线上一点．过点 E 作 于点F，交 于点M．若，， ，则的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 在数学活动课上，老师将6种生活现象制成下图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（ ） A. 无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B. 无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 12. 已知两个不相等的实数m，n满足 则 _______． 13. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接 ，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 14. 如图，动点 P 在正方形内部，E 为边 的中点，且． （1）当 时，的度数为______； （2）点D到点P的最小距离为____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在的正方形网格图中， 与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点 位似． （1）在图中标出位似中心点 ；（保留作图痕迹） （2）与 的相似比是 ； （3）将 平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小明两次到某糕点店购买A糕点和B 糕点，第一次购买A糕点4盒，B糕点6盒，总共花费120元；第二次购买时，糕点店正在进行促销活动（所有糕点按原价的八折销售），小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多1盒，总共花费116元．求促销前每盒A糕点和B糕点的售价． 18. 将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． （1）每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； （2）第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树 的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树 AB 的高度 测量示意图 说明：点B，C，E 在同一水平线上 测量数据 ①在 C 处测得大树顶端A 的仰角为 ②在 D 处测得大树顶端A 的仰角为 ； ④斜坡 的坡度：； 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求出河对岸的大树的高度． 20. 如图， ，是 的两条弦，且于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，连接， ， ， ，若 ，求证： 六、（本题满分12分） 21. 为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”知识竞赛，每班抽取25名同学参加比赛，成绩分为 A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．现将八（1）班和八（2）班参赛学生的成绩绘制成如图所示的不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）该校采取的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”），请将八（1）班参赛学生的成绩的条形统计图补充完整； （2）求出下表中a，b，c的值： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分² 八（1）班 a 90 90 c 八（2）班 88 b 100 136 根据表格中数据的结果，请你对这次竞赛成绩的结果进行分析，推荐一个班级获得表彰，并说明理由； （3）若八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定90分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 七、（本题满分12分） 22. 已知：如图1，在 中，D 为斜边的中点，在边 外存在一点E 使 ，连接， ， ， 与 交于点F，与 交于点G，且 平分 （1）求 的度数． （2）若 ①如图2，当 时，求 的值； ②如图3，连接，并延长交 于点 H，求证： ． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线 （1）求该抛物线的对称轴方程及抛物线与x轴的交点坐标； （2）若 当 时，求函数y的取值范围，并说明理由； （3）若 设直线 与抛物线 交于点 A，B，与抛物线 交于点 C，D，求线段与线段 的长度之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025安徽中考模拟卷 数学 注意事项： 1．数学试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（6页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. 25 C. D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了化简多重符号，根据偶数个负号结果为正即可得解，熟练掌握化简多重符号的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面往下看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，俯视图为： 故选C． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 表示在数轴上如图所示： ， 故选：C． 5. 如图，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，求得 ，再利用两直线平行，内错角相等即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：在中, ， ， ， 故选：D． 6. 甲、乙、丙、丁四所学校举行了航天知识竞赛，并将各校竞赛成绩的优秀率及参赛人数以点的形式描在平面直角坐标系中，其中点的横坐标x表示该校参赛人数，纵坐标y表示竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次航天知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过乙点作 轴平行线交反比例函数于，过丙点作 轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 甲、、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即乙学校优秀人数比甲、丁两所学校优秀人数多； ③，即丙学校优秀人数比甲、丁两所学校优秀人数少； 综上所述：丙学校优秀人数甲学校优秀人数丁学校优秀人数乙学校优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是乙学校， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 7. 若一次函数的自变量的取值减少2，函数值就相应增加4，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据题意，易得，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：C． 8. 如图，在 中， 是边 的垂直平分线，E为 的延长线上一点．过点 E 作 于点F，交 于点M．若，， ，则的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，由线段垂直平分线的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ 是边 的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 9. 在数学活动课上，老师将6种生活现象制成下图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列表法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．列出所有情况再根据概率公式求解即可． 【详解】解：把第一组卡片依次记为 ，第二组卡片依次记为，其中B（酒精燃烧）、C（铁棒生锈）和E（牛奶变质）为化学变化， 从每组中随机抽取一张的可能结果为，，，，，，，共9种等可能结果， 其中符合题意的结果数为2，即（）和，故所求概率为． 故选：A． 10. 如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（ ） A. 无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B. 无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式变形为即可得出该抛物线恒过点，即点，即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；当时，，即点，再根据抛物线对称轴公式计算即可判断C；当时，此时，代入抛物线解析式计算即可判断D；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线恒过点，即点，故A正确，不符合题意； 根据题意可知，对称轴为， 若，则对称轴为 轴；若，则对称轴在 轴右侧，故B正确，不符合题意； 当时，，故抛物线与 轴的交点为， ∴， 当时，，即点， 又∵该抛物线恒过点， ∴对称轴为， 根据对称轴公式得， ∴， 解得，故C正确，不符合题意； 当时，此时， 将点代入抛物线的解析式中得， 解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表示时关键是要正确确定的值以及 的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 12. 已知两个不相等的实数m，n满足 则 _______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查一无二次方程极与系数的关系，根据所给等式可得是一元二次方程 的两根，由根与系数的关系得，，将变形为，再整体供稿计算即可． 【详解】解：∵实数 m，n满足 ， ∴m，n为一元二次方程. 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ 故答案为：20． 13. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接 ，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质、平移的性质、坐标与图形；根据平移性质和菱形性质得，设，根据两点坐标距离公式列方程求得，则，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解k值即可． 【详解】解：由平移性质得， 当时，，则； ∵四边形是菱形， ∴， 由题意，设，则， 解得(负值已舍去)， ∴，则， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：8． 14. 如图，动点 P 在正方形内部，E 为边 的中点，且． （1）当 时，的度数为______； （2）点D到点P的最小距离为____． 【答案】 ①. ##65度 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的角是直角，点到圆的最值，根据发现点P的运动路径是解决问题的突破口． 【详解】解：E 为边 的中点，， ， ∴动点P在以E为圆心、以1为半径的半圆(不包括点)上，如图， ， 当时,， 连接，交半圆E于点Q，则当点P运动到点Q处时，点D到点P的距离最小为 的长度， ， 由勾股定理，得， . 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的加减运算，零整数指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂，化简二次根式，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在的正方形网格图中， 与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点 位似． （1）在图中标出位似中心点 ；（保留作图痕迹） （2）与 的相似比是 ； （3）将 平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） （3） 如图，即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得 ，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得： ，， 故与 的相似比是； 【小问3详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小明两次到某糕点店购买A糕点和B 糕点，第一次购买A糕点4盒，B糕点6盒，总共花费120元；第二次购买时，糕点店正在进行促销活动（所有糕点按原价的八折销售），小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多1盒，总共花费116元．求促销前每盒A糕点和B糕点的售价． 【答案】促销前每盒A糕点的售价为15元，每盒 B糕点的售价为10元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、y元， 根据题意，得， 解得， 答：促销前每盒A糕点的售价为15元，每盒B糕点的售价为10元． 18. 将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． （1）每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； （2）第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）， （2） 解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， ∴第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为， ∴周长为． 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，即可得出答案； （2）先根据（1）得出第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为，再求出周长即可． 【小问1详解】 解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， 故答案为：4，； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树 的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树 AB 的高度 测量示意图 说明：点B，C，E 在同一水平线上 测量数据 ①在 C 处测得大树顶端A 的仰角为 ②在 D 处测得大树顶端A 的仰角为 ； ④斜坡 的坡度：； 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求出河对岸的大树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键添加辅助线，构造直角三角形，过点 D 分别作于点G，作于点H，解，求出的长，设，解，进行求解即可． 【详解】解∶如图，过点 D 分别作于点G，作于点H． 在中，， 斜坡 的坡度：， ∴， ∴， ∴， ∴． 设． ∵， ∴． ∵， 四边形为矩形， ∴． 在中， ， ∵， ∴， 解得 ： 答：河对岸的大树的高度是． 20. 如图， ， 是 的两条弦，且于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，连接， ， ， ，若 ，求证： 【答案】（1） 证明：如图1，连接 ， ， ∵，， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （2） 如图2，过点 分别作 ， ， ， 为垂足，连接并延长交 于点， 则由垂径定理，得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接 ， ，证明 ，由相似三角形的性质并结合题意即可得证； （2）过点 分别作 ， ， ， 为垂足，连接并延长交 于点，则由垂径定理，得 ， ，证明 得出 ，由同角的余角相等得出 ，由圆周角定理可得 ，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”知识竞赛，每班抽取25名同学参加比赛，成绩分为 A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．现将八（1）班和八（2）班参赛学生的成绩绘制成如图所示的不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）该校采取的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”），请将八（1）班参赛学生的成绩的条形统计图补充完整； （2）求出下表中a，b，c的值： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分² 八（1）班 a 90 90 c 八（2）班 88 b 100 136 根据表格中数据的结果，请你对这次竞赛成绩的结果进行分析，推荐一个班级获得表彰，并说明理由； （3）若八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定90分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）抽样调查， 补全条形统计图如下： （2）推荐八（1）班获得表彰， 一班成绩的平均数 （分， 一班成绩的方差 ， 二班 等级人数为 （人， 等级人数为 （人， 等级人数为 （人， 等级为 （人， 二班成绩的中位数是第 13个数据，在 等级，即中位数 ， ， ， ； 从平均数和方差的角度，一班和二班平均数相等，一班的方差小于二班的方差，故一班成绩好于二班，推荐对一班进行表彰． （3）496人 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数的计算，样本估计总量，条形统计图与扇形图，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据调查方法的选择即可解答；计算出八（1）班 等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）计算出 的值，再对照比较即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【小问1详解】 解：该校采取的调查方式是抽样调查， 八（1）班 等级的人数为 （人）， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有496人. 七、（本题满分12分） 22. 已知：如图1，在 中，D 为斜边的中点，在边 外存在一点E 使 ，连接， ， ， 与 交于点F，与 交于点G，且 平分 （1）求 的度数． （2）若 ①如图2，当 时，求 的值； ②如图3，连接 ，并延长 交 于点 H，求证： ． 【答案】（1） （2）①； ②证明：如图，延长， ，交于点 P． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ， 又∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 垂直平分， ∴ ， 又 ，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出 ，结合得出是 的垂直平分线，进而可证明，根据平行线的性质，角平分线定义可得出 ，根据等角对等边得出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可求出 ； （2）①证明 ，得出，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理可，设，则 ，代入得，求出，则，，根据余角的性质、对顶角的性质可得出 ，根据等角对等边得出，即可求解； ②延长， ，交于点 P．根据等边对等角，余角的性质，对顶角的性质等可得出 ，根据三线合一的性质可得出 垂直平分，则 ，根据证明 ，得出 ，则 ，根据平行线分线段成比例得出，根据证明 ，得出 ，进而求出，然后根据三角形中位线定理即可得证． 【小问1详解】 解∶∵D为斜边的中点， ∴ ， ， 又∵， ∴是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ 平分， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 ①解∶由（1）及题意可知， ，， ∴ ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ∴ 设，则 ， ∴， 解得， ∴，， ∵ ， ∴ ， ， 又 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线 （1）求该抛物线的对称轴方程及抛物线与x轴的交点坐标； （2）若 当 时，求函数y的取值范围，并说明理由； （3）若 设直线 与抛物线 交于点 A，B，与抛物线 交于点 C，D，求线段与线段 的长度之比． 【答案】（1），和 （2） ， 若 ，则  ，对称轴为直线 ∴抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数y有最大值，最大值为 且抛物线上的点离对称轴越远，y值越小， ∴当时，y的值最小，最小值为 ， ∴当 时，y的取值范围为 ． （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称轴公式求出对称，令求出抛物线与x轴的交点坐标； （2）求出解析式，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可； （3）联立直线和抛物线，求出线段与线段 的长度，即可得出结果． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线 2； 令，则： ∵ ， ∴ ， 解得 ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为和 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当 时， 联立 ， 得 解得 联立 ， 得 解得 ， 即线段与线段 的长度之比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $