步步高【加练半小时】2017版高考数学（江苏专用，文科）专题复习：专题8 立体几何 （7份打包）

训练目标 会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系. 训练题型 (1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直. 解题策略 证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直. 1. 如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证： (1)AE⊥平面PBC； (2)平面PAC⊥平面PBC； (3)PB⊥EF. 2．(2015·南京、盐城第一次联考) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点． 求证：(1)OE∥平面BCC1B1； (2)平面B1DC⊥平面B1DE. 3．(2015·德阳四校联考) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点． (1)求证：AE⊥DA1； (2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG. 4．(2015·张掖第二次诊断) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点． (1)求证：直线AB1∥平面BC1D； (2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1； (3)求三棱锥C－BC1D的体积． 5. 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°. (1)证明：C1C⊥BD； (2)当的值为多少时，A1C⊥平面C1BD? 答案解析 1．证明　(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°， 即AC⊥BC. 因为PA⊥圆O所在平面， 即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC， 所以BC⊥PA. 又因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. 因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE. 又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C， PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC. (2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面PBC. (3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC， 所以AE⊥PB. 又AF⊥PB于F， 且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF， 所以PB⊥平面AEF. 又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF. 2．证明　(1)如图，连结BC1，设BC1∩B1C＝F，连结OF. 因为O，F分别是B1D与B1C的中点， 所以OF∥DC，且OF＝DC. 又E为AB的中点， 所以EB∥DC， 且EB＝DC， 从而OF∥EB，OF＝EB， 即四边形OEBF是平行四边形， 所以OE∥BF. 又OE⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1， 所以OE∥平面BCC1B1. (2)因为DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1， 所以BC1⊥DC. 又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C， DC⊂平面B1DC，BC1⊂平面B1DC， 所以BC1⊥平面B1DC. 而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC， 又OE⊂平面B1DE， 所以平面B1DC⊥平面B1DE. 3．(1)证明　 如图所示，连结BC1，AD1，由正方体的性质可知， DA1⊥AD1，DA1⊥AB. 又AB∩AD1＝A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1， ∴DA1⊥平面ABC1D1， 又AE⊂平面ABC1D1， ∴DA1⊥AE. (2)解　 如图所示，G点即为A1点． 证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，连结A1F，取CD的中点H，连结AH，EH， 因为DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，AH⊂平面AHE，EH⊂平面AHE， 所以DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE. 又DF∩A1D＝D，DF⊂平面DFA1，A1D⊂平面DFA1， ∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG. 4．(1)证明　连结B1C交BC1于点O，连结OD，如图， 则点O为B1C的中点． ∵D为AC的中点， ∴AB1∥OD. ∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D， ∴直线AB1∥平面BC1D. (2)证明　∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC， ∴AA1⊥BD. ∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A，AC⊂平面ACC1A1， ∴BD⊥平面ACC1A1. ∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1. (3)解　由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC， BD＝BCsin 60°＝3， ∴S△BCD＝×3×3＝， ∴